王賓賓

(中鐵第一勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司 軌道交通工程信息化國家重點實驗室， 西安 710043)

鐵路客運、貨運專線穿越高山峻嶺時需要穿越隧道，城市地鐵線路幾乎全程運行于隧道之中，而隨著我國軌道交通工程的迅速發(fā)展，隧道開挖里程日益增加。隧道結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性一直是人們關(guān)注的焦點，直接影響鐵路運行安全，隧道結(jié)構(gòu)的變形監(jiān)測與分析能夠及時發(fā)現(xiàn)安全隱患，有助于及時采取措施避免安全事故的發(fā)生[1-2]。

變形分析中常用的去噪方法有時間序列、灰色系統(tǒng)分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和卡爾曼濾波等[3-7]?？柭鼮V波是一種動態(tài)系統(tǒng)分析方法，它將物體的運動過程用一組狀態(tài)微分方程和觀測方程描述，通過不斷預(yù)測與修正實現(xiàn)對動態(tài)運動過程的濾波和預(yù)測?？柭鼮V波不需要存儲大量的歷史數(shù)據(jù)，可以跟隨觀測值邊觀測邊預(yù)測，處理效率高，因此在變形分析中得到了廣泛應(yīng)用?？柭鼮V波初值的選取對濾波過程影響較大，且狀態(tài)向量的隨機模型只能根據(jù)經(jīng)驗得到，不合理的初值和隨機模型可能引起濾波發(fā)散。許國輝等[8]對濾波初值的選擇和模型的確定進(jìn)行了探討，并通過實例證明了方法的有效性。方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波可以利用剩余觀測值的預(yù)測殘差估計動態(tài)噪聲的方差并予以修正，可有效避免濾波發(fā)散。

1 經(jīng)典卡爾曼濾波算法模型

卡爾曼濾波根據(jù)系統(tǒng)的時間特點可分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)[9]。隧道結(jié)構(gòu)沉降監(jiān)測是按照一定的時間間隔對監(jiān)測點進(jìn)行觀測，確定監(jiān)測點的周期變化量，其處理過程是一個典型的離散線性系統(tǒng)濾波問題。

1.1 離散線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

離散線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由一個具有隨機初始狀態(tài)，并帶有動態(tài)噪聲的線性微分方程和離散觀測方程描述。離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程為[10-12]：

(1)

式中：Xk、Xk-1為狀態(tài)向量，Ωk-1為動態(tài)噪聲，Lk為觀測值向量，Δk為觀測噪聲，Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γk,k-1為動態(tài)噪聲系數(shù)，Bk為觀測方程系數(shù)。

1.2 離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程

設(shè)Ωk，Δk是零均值白噪聲，且兩者之間完全不相關(guān)，X0的先驗期望為(0/0)，方差為DX(0)，X0與Ωk、Δk不相關(guān)。按照廣義二乘原理，增加虛擬觀測值并逐次平差后可得卡爾曼濾波遞推方程為：

(2)

(3)

式(2)為一步預(yù)測公式，式(3)為修正公式。

2 方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法模型

經(jīng)典卡爾曼濾波由于數(shù)學(xué)模型不合理，動態(tài)噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)不準(zhǔn)確，以及遞推過程中的舍入誤差影響，可能會導(dǎo)致狀態(tài)估計值偏離實際狀態(tài)越來越遠(yuǎn)，出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象。常用的克服卡爾曼濾波發(fā)散的方法有漸消記憶法、限定記憶法、限定下界法和方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法等。方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法應(yīng)用廣泛，該方法是在利用觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波時，不斷對未知的或不確切的模型參數(shù)以及噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)進(jìn)行估計和修正，減少模型誤差[11]208-212，215。

2.1 動態(tài)噪聲方差陣的估計

定義第l步預(yù)測的殘差Vk+l為：

Vk+l=Lk+l-k+l

(4)

式中：Vk+l為第l步預(yù)測的殘差，Lk+l為第k+l期觀測值，k+l為第k+l期最佳預(yù)測值，k+l=Bk+lΦk+l,kk，Vk+l服從正態(tài)分布N(0,Dvv)。

由式(4)可得Vk+l的方差Dvv為[13-15]：

(5)

假定DΩ(k+i-1)在第k期之后的N期時間段上為常量對角陣，即：

(i=1,…,l)

(6)

(7)

式(7)中：δk+l為零均值隨機變量，l=1,…,N。

令：

(8)

將式(7)代入式(8)并顧及式(5)可得：

(9)

此時，令：

(10)

由式(9)、式(10)可得：

Wk+l=C(k,k+l)MT+δk+l

(11)

以M作為參數(shù)，由式(11)可得誤差方程的一般形式：

(12)

即有：

(13)

按最小二乘原理，當(dāng)N≥r時T有唯一解，組成法方程并求逆得M的估計值為：

(14)

式中：C=[C(k,k+1),…,C(k,k+N))]T，W=[Wk+1,…,Wk+N]T。

2.2 方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法流程

方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波在進(jìn)行濾波時利用預(yù)測值和剩余觀測值估計動態(tài)噪聲的方差，并以動態(tài)噪聲方差估計值進(jìn)行新的濾波，算法流程如圖1所示。

圖1 方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波的算法流程Fig.1 Algorithm flow of variance compensation adaptive Kalman filter

3 應(yīng)用實例

3.1 項目概況

廣州某新建高速鐵路站前工程，設(shè)計橋梁共9座，總長27.23 km；涵洞11座；隧道4座，總長4.92 km；區(qū)間路基共8段，總長1.26 km。按照相關(guān)規(guī)范要求，施工期間必須對沿線路基、涵洞、橋梁和隧道等進(jìn)行動態(tài)沉降變形觀測，通過對沉降觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析和評估，驗證和調(diào)整設(shè)計參數(shù)與措施，使路基、橋涵、隧道等線下工程達(dá)到規(guī)定的變形控制要求。本標(biāo)段線下工程沉降變形觀測工作以橋涵、路基、隧道等建(構(gòu))筑物的垂直位移觀測為主。

3.2 布網(wǎng)方案

本項目隧道垂直位移監(jiān)測要求采用沉降變形等級三等(國家二等水準(zhǔn)測量)施測，根據(jù)沉降變形測量精度要求高的特點，以及標(biāo)志的作用和要求不同，垂直位移監(jiān)測網(wǎng)布設(shè)分為基準(zhǔn)點網(wǎng)、工作基點網(wǎng)和沉降變形觀測網(wǎng)三級。

本項目要求觀測隧道的仰拱部分，隧道水準(zhǔn)路線觀測按二等水準(zhǔn)測量精度要求形成閉合或附合水準(zhǔn)路線，沉降觀測點位布設(shè)于觀測斷面隧道仰拱頂面，圖2為附合水準(zhǔn)路線示意，圖3為觀測點位埋設(shè)示意。

圖2 附合水準(zhǔn)路線示意Fig.2 Diagram ofannexed leveling line

圖3 觀測點位埋設(shè)Fig.3 Diagram of points buried

3.3 濾波分析

以該項目中隧道閉合水準(zhǔn)線路L93764為例，線路起閉于JM237點，共觀測18個點，其中JM237和JMX- 4為工作基點不計算沉降量，中間設(shè)置16個監(jiān)測點，觀測方案見表1，該線路觀測頻率為1次/5天，共觀測26期數(shù)據(jù)。

表1 L93764水準(zhǔn)線路觀測方案

以087440S2點的26期數(shù)據(jù)為例，對文中方法進(jìn)行可行性和有效性的驗證與分析，原始沉降數(shù)據(jù)見表2，表2中的首期數(shù)據(jù)不計算沉降量和沉降速率。

表2 087440S2原始沉降數(shù)據(jù)

選取該點前5期沉降量和沉降速率的平均值作為初值，分別利用經(jīng)典卡爾曼濾波算法和方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行分析，經(jīng)過濾波后的沉降量如圖4所示，可以看出經(jīng)卡爾曼濾波處理后的沉降量大大降低了測量噪聲，且隨著時間的推移，波動量逐漸變小并能更加合理地反映監(jiān)測點的沉降趨勢。

圖4 卡爾曼濾波結(jié)果Fig.4 Graph of Kalman filter results

圖5 卡爾曼濾波殘差Fig.5 Graph of Kalman filter residual

4 結(jié)論

本文分別利用經(jīng)典卡爾曼濾波算法和方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行沉降分析，通過工程項目算例得出如下結(jié)論：

1)隧道結(jié)構(gòu)的沉降測量中伴隨著各種測量噪聲，若直接利用原始測量值對監(jiān)測點進(jìn)行分析，在沉降量比較小、信噪比較低的情況下，測量噪聲對隧道結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性判定影響非常大，因此必須采用濾波方法降低測量噪聲。

2)卡爾曼濾波算法能夠有效減小沉降分析中的誤差影響，使測量數(shù)據(jù)能夠更加真實反映隧道結(jié)構(gòu)的沉降趨勢。

3)方差補償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法在進(jìn)行濾波時利用剩余的測量數(shù)據(jù)對動態(tài)噪聲方差進(jìn)行預(yù)計和修正，濾波后的精度高于經(jīng)典卡爾曼濾波，且不易受測量誤差的影響而發(fā)散。