蘇 闊, 李同杰, 馬安幫， 李曉貞

(安徽科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100)

在機(jī)械傳動(dòng)裝置中，由相互嚙合的齒輪進(jìn)行傳動(dòng)的裝置應(yīng)用廣泛。隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)齒輪傳動(dòng)時(shí)的重合度、體積、質(zhì)量、振動(dòng)以及噪聲都提出很高的要求。而面齒輪相比其他形式的齒輪在以上方面都有其優(yōu)勢(shì)，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)面齒輪傳動(dòng)特性的研究比較，而對(duì)于非正交面齒輪動(dòng)力學(xué)仿真分析的卻很少。

本研究擬建立非正交面齒輪與直齒圓柱齒輪的裝配體，并在Adams中設(shè)置正確的連接關(guān)系與接觸參數(shù)來模擬真實(shí)的嚙合情況。通過接近真實(shí)的運(yùn)動(dòng)分析，得到所需要的數(shù)據(jù)將其與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證理論值是否符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。

1 非正交面齒輪齒面方程

1.1 坐標(biāo)系

非正交面齒輪齒面是由基于漸開線圓柱齒輪齒面經(jīng)過包絡(luò)而形成，因此可通過刀具圓柱齒輪齒面的曲面族矩陣變換得到非正交面齒輪齒面。

根據(jù)包絡(luò)加工時(shí)的位置關(guān)系，建立4個(gè)直角坐標(biāo)系(圖1)：

s

0-

o

x

0

y

0

z

0、

s

-

o

x

y

z

、

s

-

x

y

z

和

s

-

x

y

z

，分別對(duì)應(yīng)刀具齒輪

s

和被加工面齒輪毛坯2的兩個(gè)固定坐標(biāo)系，以及加工時(shí)隨它們進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系。圖中

O

點(diǎn)為直角坐標(biāo)系

s

0-

o

x

0

y

0

z

0和

s

-

o

x

y

z

的坐標(biāo)原點(diǎn)交點(diǎn)，

z

0和

z

以及

z

和

z

分別對(duì)應(yīng)刀具齒輪和被加工面齒輪毛坯加工時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。當(dāng)兩齒輪未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直角坐標(biāo)系

s

0-

o

x

0

y

0

z

0和

s

-

o

x

y

z

中的

y

0和

z

以及

x

0和

x

重合。

γ

為坐標(biāo)軸

z

0(

z

)和

z

(

z

)之間的夾角。

φ

為加工時(shí)刀具齒輪的轉(zhuǎn)角，

φ

為加工時(shí)被加工面齒輪毛坯的轉(zhuǎn)角。根據(jù)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換原理，進(jìn)行如下各坐標(biāo)系之間的矩陣轉(zhuǎn)換(式(1)～式(5))。

圖1 非正交面齒輪包絡(luò)加工坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of non-orthogonal surface gear envelope machining

(1)

(2)

(3)

可得：

(4)

[

M

2,]=[

M

,2]=[

M

2,0][

M

0,]=

(5)

1.2 刀具圓柱齒輪齒面方程

刀具曲面漸開線坐標(biāo)如圖2所示。刀具齒面對(duì)稱面為

y

，刀具齒面存在兩個(gè)參數(shù)

u

和

θ

，分別為刀具齒面的軸向參數(shù)和漸開線角度參數(shù)。圖中

θ

0為

y

到漸開線起始點(diǎn)的角度參數(shù)，可以由式(6)和(7)確定

圖2 刀具漸開線坐標(biāo)系Fig.2 Tool involute coordinate system

(6)

invα

=

tanα

-

α

(7)

式中，

N

為刀具齒數(shù)；

α

為刀具壓力角。刀具

S

的漸開線齒面∑的向量

r

和齒面法線向量

n

分別為：

(8)

(9)

1.3 非正交面齒輪齒面方程

通過轉(zhuǎn)換矩陣[

M

2，]將刀具齒面方程(8)轉(zhuǎn)換到

S

坐標(biāo)系中的曲面族為：

r

(

θ

,

φ

,

u

)=[

M

2，]

r

(

u

,

θ

)

(10)

式中，

φ

為包絡(luò)時(shí)角度參數(shù)(rad)。

根據(jù)嚙合原理正確嚙合條件：

n

·

v

(,2)=0

(11)

式中，

v

(,2)為嚙合點(diǎn)的相對(duì)速度。

根據(jù)包絡(luò)法以及刀具齒輪與非正交面齒輪的正確嚙合條件進(jìn)一步推導(dǎo)，得到刀具齒輪與非正交面齒輪的嚙合方程為：

f

(

u

,

θ

,

φ

)=

r

(1-

q

s

cosγ

)-

u

q

2

sinγ

cscφ

=0

(12)

式中，

q

2為非正交面齒輪齒數(shù)與刀具齒輪齒數(shù)之比；

φ

=

φ

±(

θ

0+

θ

)。當(dāng)式(10)中的

φ

值確定了，式(10)就是刀具齒輪

S

在直角坐標(biāo)系

s

-

x

y

z

中的共軛曲面。要求得共軛曲面上的瞬時(shí)接觸線，需要用式(12)將式(10)中的三個(gè)參數(shù)

θ

,

φ

,

u

進(jìn)行確定。通過公式的代換，得到兩個(gè)參數(shù)

θ

,

φ

表示的非正交面齒輪齒面方程為：

(13)

(14)

2 非正交面齒輪副

根據(jù)式(13)可以看出，非正交面齒輪齒面不再是一般的漸開線齒面，因此通過三維建模軟件直接建模是很困難的。根據(jù)式(13)非正交面齒輪齒面方程，在Visual Studio中編寫程序，計(jì)算齒面上有限個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，通過Visual Studio調(diào)用catia將計(jì)算出的點(diǎn)導(dǎo)入到catia中，將點(diǎn)連接成線，通過線擬合成曲面，再通過鏡像，旋轉(zhuǎn)，多截面實(shí)體等操作建立非正交面齒輪三維模型。本研究建立的非正交面齒輪相關(guān)參數(shù)如表1所示，建立的模型見圖3。

表1 面齒輪參數(shù)Table 1 Face gear parameters

根據(jù)包絡(luò)加工原理，可知刀具齒輪與被加工面齒輪之間是線接觸。在實(shí)際情況中，如果采用與刀具齒輪相同齒數(shù)的直齒圓柱齒輪與面齒輪組成齒輪副，由于加工以及安裝誤差等不可避免的原因，會(huì)使得線接觸被破壞。為使仿真結(jié)果與實(shí)際情況更加貼近，因此本文中使用的圓柱齒輪比刀具齒輪的齒數(shù)少 1 個(gè)齒，使面齒輪傳動(dòng)變?yōu)辄c(diǎn)接觸的傳動(dòng)形式，建立圓柱齒輪相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 圓柱齒輪參數(shù)Table 2 Cylindrical gear parameters

非正交面齒輪與圓柱齒輪的裝配體模型如圖4。將裝配好的模型保存再全英文路徑的文件夾下，并將格式更改為Adams可以讀取的格式如parasolid。

將非正交面齒輪齒輪副模型導(dǎo)入到Adams中，首先對(duì)模型的材料屬性進(jìn)行更改，本研究將模型材料屬性定義為Adams中steel。因圓柱齒輪與面齒輪都是做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以分別用轉(zhuǎn)動(dòng)副將圓柱齒輪和非正交面齒輪與大地進(jìn)行連接。參考全局坐標(biāo)系設(shè)置重力方向沿y軸負(fù)方向。

在圓柱齒輪與大地之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副上添加上30°/s的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，面齒輪上添加100 N·m的扭矩作為負(fù)載。圓柱齒輪與非正交面齒輪間定義為實(shí)體接觸，動(dòng)力學(xué)模型如圖5所示。

圖3 非正交面齒輪模型 Fig.3 Non-orthogonal face gear model圖4 非正交面齒輪與圓柱齒輪裝配體Fig.3 Non-orthogonal face gear and cylindrical gear assembly圖5 基于Adams的非正交面齒輪動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Non-orthogonal face gear dynamic model based on Adams

在Adams中碰撞力定義為：

(14)

表達(dá)式為：

(15)

表3 接觸力參數(shù)Table 3 Contact force parameters

在Adams中對(duì)圓柱齒輪和非正交面齒輪添加相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副，轉(zhuǎn)速以及扭矩。設(shè)置仿真時(shí)長(zhǎng)5 s，步數(shù)2 000步進(jìn)行交互式仿真。

3 動(dòng)力學(xué)仿真分析設(shè)置

3.1 仿真分析

仿真結(jié)束后，測(cè)量非正交面齒輪輸出轉(zhuǎn)速如圖6，非正交面齒輪嚙合力和嚙合力在坐標(biāo)軸上的分量如圖7和8所示。從圖6可以看出，在仿真開始瞬間由于負(fù)載扭矩存在的原因，面齒輪輸出轉(zhuǎn)速?gòu)?時(shí)刻快速增加到45°/s，然后因圓柱齒輪轉(zhuǎn)速的作用又突變到-9.5°/s，最后在0.25 s左右穩(wěn)定在-9.7°/s，并且在后面的仿真時(shí)間中面齒輪轉(zhuǎn)速一直在-9.7°/s附近呈現(xiàn)出很小范圍內(nèi)的波動(dòng)，體現(xiàn)了面齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性。根據(jù)圖7和圖8可以看出，面齒輪嚙合力、圓周力、徑向力、軸向力分別在641.34 N、580.95 N、100.42 N、290.25 N上下波動(dòng)。面齒輪的嚙合力是呈周期性變化的從而反映了面齒輪周期性嚙入嚙出的特點(diǎn)。相對(duì)正交面齒輪而言，非正交面齒輪嚙合力在軸線方向產(chǎn)生了分量，因此在安裝非正交面齒輪需要考慮軸向支撐。

圖6 面齒輪輸出轉(zhuǎn)速Fig.6 Output speed of face gear圖7 非正交面齒輪嚙合力Fig.7 Non-orthogonal surface gear meshing force圖8 非正交面齒輪嚙合力3個(gè)坐標(biāo)分量Fig.8 3 coordinate components of meshing force of non-orthogonal surface gear

3.2 理論計(jì)算驗(yàn)證

根據(jù)齒輪嚙合原理，輸出齒輪轉(zhuǎn)速等于輸入齒輪轉(zhuǎn)速乘以齒輪傳動(dòng)比，即：

(16)

式中,

ω

為角速度；

N

為齒數(shù)。

將圓柱齒輪角速度和齒數(shù)以及面齒輪齒數(shù)帶入上式得：

(17)

根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)受力分析計(jì)算非正交面齒輪名義法向載荷

F

，圓周力

F

、徑向力

F

及軸向力

F

：

(18)

(19)

F

=

F

tanαsinδ

(20)

F

=

F

tanαcosδ

(21)

d

=

d

(1-0

.

5

φ

)

(22)

(23)

(24)

將面齒輪有關(guān)參數(shù)帶入上述公式得：

F

=655.60 N、

F

=594.18 N、

F

=263.51 N、

F

=85.62 N。將圖4～6中的數(shù)值與理論值進(jìn)行比較，詳見表4。

表4 結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results

通過表4的對(duì)比結(jié)果可以看出，仿真分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果在轉(zhuǎn)速、法向載荷、圓周力和徑向力上相差較小，在軸向力上結(jié)果相差相對(duì)略大?？紤]到使動(dòng)力學(xué)仿真更加符合實(shí)際情況，在仿真過程中設(shè)置重力，摩檫力等因素的影響，總體來說仿真分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果基本一致。

4 結(jié)論

通過使用Visual Studio計(jì)算非正交面齒輪齒面上有限個(gè)點(diǎn)，導(dǎo)入到catia中建立非正交面齒輪副模型，使用Adams對(duì)非正交面齒輪副進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，得到如下結(jié)論：

(1)借助Visual Studio計(jì)算能力以及catia的強(qiáng)大的曲面設(shè)計(jì)能力，兩者配合能使得建立的非正交面齒輪模型接近理想模型。

(2)通過Adams進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，驗(yàn)證了非正交面齒輪輸出轉(zhuǎn)速、法向載荷、圓周力、徑向力和軸向力與理論計(jì)算結(jié)果一致。為基于非正交面齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)提供較為真實(shí)的動(dòng)力學(xué)仿真基礎(chǔ)。

(3)根據(jù)嚙合力隨時(shí)間變化的關(guān)系，驗(yàn)證了面齒輪傳動(dòng)具有周期性嚙入嚙出的嚙合特性。