鞏建輝，喻剛強，姚 靜，嚴碧歌

(1.商洛職業(yè)技術學院，陜西 商洛 726000；2.陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西 西安 710062)

0 引言

變幅桿具有振幅放大作用，是超聲加工系統(tǒng)中的重要部件，隨著超聲系統(tǒng)應用的日益廣泛，對變幅桿的放大倍數(shù)及性能指標要求越來越高，單一變幅桿因為放大系數(shù)有限不能滿足實際生產(chǎn)的需要，所以從單一變幅桿發(fā)展到了復合變幅桿。為了獲得性能優(yōu)良的變幅桿，廣大學者對新型變幅桿的設計和研究從未停止，趙洪博等[1]利用替代法設計了寬端接圓柱桿的懸鏈形復合變幅桿；靳濤等[2]將圓柱和圓錐桿進行組合，對圓錐復合變幅桿進行了研究；崔曉娟等[3]將指數(shù)桿和圓錐桿進行組合，對指數(shù)復合變幅桿進行了優(yōu)化設計；孫濤等[4]設計了正弦圓柱形復合變幅桿，該變幅桿的放大倍數(shù)和形狀因數(shù)皆優(yōu)于階梯形變幅桿。本文采用等效電路法設計了一種半波長復合變幅桿，即指數(shù)懸鏈線形復合變幅桿，得出了該變幅桿的頻率方程以及放大倍數(shù)，并對變幅桿進行了優(yōu)化設計和有限元分析。

1 變幅桿的模型構(gòu)建

該復合型變幅桿由指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ組合而成，如圖1所示。指數(shù)桿的長度為l1，大小端面的面積分別為S1和S，大小端面的半徑分別為R1和R。懸鏈線桿的長度為l2，大小端面的面積分別為S和S2，大小端面的半徑分別為R和R2。

圖1 指數(shù)懸鏈線形復合變幅桿模型

2 變幅桿的設計理論

2.1 等效電路法

變幅桿常用的設計方法有解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法、分段趨近法和表觀彈性法等[5]，其中等效電路法設計思路清晰、物理意義明確，故采用等效電路法對指數(shù)懸鏈線形復合變幅桿進行理論分析。所謂等效電路法就是對于任何一個單一形狀的變幅桿，通過力電類比都可以等效為一個四端網(wǎng)絡電路模型，如圖2所示[6]。圖2中，F(xiàn)1和F2是變幅桿兩端所受的力，相當于電路中的電壓；v1和v2為變幅桿兩端的振速，相當于電路中的電流；Z1、Z2和Z3為力阻抗，相當于電路中電阻抗。

圖2 等效四端網(wǎng)絡電路模型

2.2 復合變幅桿的等效電路

依據(jù)等效電路法理論，分別得出復合變幅桿左邊指數(shù)桿和右邊懸鏈線桿的等效四端網(wǎng)絡電路并連接在一起，可以得到復合變幅桿的等效電路如圖3所示。由于變幅桿振動速度連續(xù)，所以有v12=v21。

圖3 復合變幅桿等效電路模型

左邊指數(shù)桿等效電路參數(shù)為：

(1)

(2)

(3)

右邊懸鏈線桿等效電路參數(shù)為:

(4)

(5)

(6)

2.3 復合變幅桿的參數(shù)求解

當變幅桿兩端自由時，復合變幅桿等效電路圖3中F1=F2=0，輸入端AB和輸出端CD可視為短路，依據(jù)基爾霍夫回路電壓定律(KVL)可得以下表達式。

回路Ⅰ：

v11(Z11+Z13)-v12Z13=0

(7)

回路Ⅱ：

-v11Z13+v12(Z13+Z12+Z21+Z23)-

v22Z23=0

(8)

回路Ⅲ：

-v12Z23+v22(Z23+Z22)=0

(9)

將式(7)的v11和式(9)的v22代入式(8)可得到復合變幅桿的頻率方程為

(10)

由式(7)和式(9)消去v12,并代入相應的力阻抗可以得出復合變幅桿的放大系數(shù)為

(11)

3 復合變幅桿的優(yōu)化設計

3.1 設計實例

該復合形變幅桿選用45號鋼，材料密度ρ=7.81×103kg/m3，楊氏模量E=20.92×1010N/m2，泊松比μ=0.28，聲速c=5 169 m/s,設計頻率f=20 kHz，指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面的半徑R1=26 mm，指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ交界面的半徑R=16 mm，懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面的半徑R2=8 mm，假設指數(shù)桿Ⅰ的長度為l1=78 mm,則可以利用MATLAB對頻率方程(10)求數(shù)值解，算出懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=71 mm，再由式(11)求出復合形變幅桿的放大系數(shù)MP=3.7。

3.2 優(yōu)化分析

為了尋找放大系數(shù)更大的變幅桿，將對變幅桿進行優(yōu)化設計，優(yōu)化的思路是通過改變指數(shù)桿的長度l1和交界面的半徑R，從而改變懸鏈線桿和復合變幅桿的諧振長度以及放大系數(shù)。

在保持指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面半徑R1和懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面半徑R2不變的情況下，復合變幅桿的諧振長度l1+l2和放大系數(shù)MP隨交界面的半徑R和指數(shù)桿的長度l1的變化關系分別如圖4和圖5所示。

圖4 復合變幅桿的長度變化規(guī)律

圖5 復合變幅桿的放大系數(shù)變化規(guī)律

從圖4可知，復合變幅桿的諧振長度l1+l2隨著指數(shù)桿的長度l1的增大而增大，懸鏈線桿的長度l2隨著指數(shù)桿的長度l1的增大而減小，在45 mm

從圖5可知，復合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長度l1的增大先增大后減小，在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大，在放大系數(shù)MP達到最大值后對應的指數(shù)桿長度隨交界面的半徑R的增大而減小。當R=16 mm時放大系數(shù)MP達到最大值對應的指數(shù)桿長度為l1=53 mm，懸鏈線桿的長度為l2=84 mm，將參數(shù)代入式(11)可以求出優(yōu)化后變幅桿的放大系數(shù)為4.2，比優(yōu)化前提高了13.5%。

4 有限元分析

為了檢驗理論設計和優(yōu)化分析的正確性，利用ANSYS軟件對復合形變幅桿進行有限元分析。除指數(shù)桿Ⅰ長度取l1=53 mm和懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=84 mm外，復合形變幅桿的材料參數(shù)、幾何尺寸和諧振頻率均和3.1節(jié)設計實例相同。

4.1 模態(tài)分析

首先建立復合變幅桿的幾何模型，依據(jù)設計尺寸計算出關鍵點的坐標并生成關鍵點，將關鍵點依次連接成線再生成面，以復合變幅桿中心線為軸旋轉(zhuǎn)360°成體，選用SOLID95實體單元，采用掃掠網(wǎng)格劃分，共得到7 861個節(jié)點和1 584個單元。運用分塊蘭索法(block Lanczos)分析，模態(tài)提取頻率范圍為18～22 kHz，使用Solve求解并提取與設計頻率最接近的諧振模態(tài)如圖6所示。由圖6可以看出當諧振頻率f′=19 839 Hz時，變幅桿做縱向振動狀態(tài)良好，與理論設計基本吻合。

圖6 復合變幅桿的位移云圖

4.2 諧響應分析

在模態(tài)分析的基礎上，采用完全法(full)進行諧響應分析，這種方法是運用完整的系統(tǒng)矩陣來計算響應的。在圓柱桿的左端面加載幅值為1.1 μm的正弦變化的周期位移載荷，在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應曲線如圖7所示，從響應曲線可以看出，在諧振頻率為19 839 Hz附近出現(xiàn)了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖8所示，從圖8可以看出變幅桿大小端面位移分別為1.1 μm和4.6 μm，可得到放大倍數(shù)約為4.1，將有限元分析結(jié)果與理論計算值進行比較，諧振頻率相差0.8 %，放大倍數(shù)相差2.3 %，有限元分析結(jié)果與理論設計基本一致，符合變幅桿設計要求。

圖7 諧響應曲線

圖8 變幅桿的軸向位移曲線

5 結(jié)束語

利用等效電路法設計了一種新型的指數(shù)懸鏈線形復合變幅桿，并對變幅桿的設計進行優(yōu)化和有限元分析。結(jié)果表明：

a.復合變幅桿的諧振長度隨著指數(shù)桿長度l1的增大而增大，但懸鏈線桿的長度l2隨著指數(shù)桿長度的增大而減小；復合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長度l1的增大先增大后減小，在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大，在放大系數(shù)MP達到最大值后對應的指數(shù)桿長度隨交界面的半徑R的增大而減??；通過優(yōu)化設計使復合變幅桿的放大系數(shù)從3.7增加到4.2，提高了13.5 %，為找到性能更優(yōu)的變幅桿提供了思路。

b.利用等效電路法設計復合形變幅桿思路清晰，物理意義明確，設計精度符合要求，采用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進行組合得出新型變幅桿，為變幅桿的優(yōu)化設計提供了參考，有一定的實用價值。

c.有限元分析結(jié)果與理論設計基本一致，進一步證明了復合形變幅桿設計及優(yōu)化的可靠性。