郭 鑫,史振霞,程萬鵬

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

19世紀初期以來, 為了揭示生態(tài)學與數(shù)學之間的自然關(guān)系, 人們對數(shù)學生態(tài)學的研究有了越來越濃厚的興趣, 而研究種群生長、死亡、競爭、捕食關(guān)系的種群生態(tài)學是數(shù)學上最為成熟的生態(tài)學領(lǐng)域之一.2019年, 何舜在文獻[1]中利用第一比較定理以及構(gòu)造Lyapunov函數(shù), 研究時滯互惠模型

得到了正奇點全局穩(wěn)定的充分條件, 其中：ri,Ki,αi(i=1,2)是正常數(shù)；εi,τi(i=1,2)是非負常數(shù)；τi(i=1,2)分別表示其中一個種群的生長孕期和成熟期.

在自然界中, 時滯一般表示資源再生時間、成熟周期、哺乳時間和反饋時間等, 反映的是種群的歷史狀態(tài)會對現(xiàn)在狀態(tài)產(chǎn)生影響[2,3]. 除時滯現(xiàn)象外, 空間擴散也是普遍存在的, 如在生物種群模型中, 每個個體一般以隨機的方式在走動, 并且它們在空間上的分布是不均勻的, 這就產(chǎn)生了種群在空間上的擴散過程. 在大多數(shù)模型建立時會假定每個個體在整個生命過程中的所有特征是一樣的,具有同樣的繁殖能力以及與其他種群競爭的能力. 然而對大多數(shù)生物來說, 這是不現(xiàn)實的, 因為幼體肯定比成體弱. 例如, 剛出生的幼體需要父母的撫育,它們根本沒有能力與其他個體競爭, 短時間內(nèi)也沒有繁殖能力. 為了區(qū)別各年齡段所具有的不同特征, 通常引入年齡結(jié)構(gòu)[4-5]. 因此,對具有年齡結(jié)構(gòu)和時滯的兩種群模型的研究具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義.

利用特征值法、Hurwitz法以及構(gòu)造輔助函數(shù),Aimei Huang等[6]研究了具有時滯的K型三維L-V擴散系統(tǒng), 得到了具有時滯的K型三維L-V擴散系統(tǒng)所有平衡點的穩(wěn)定性.

受文獻[6]中所用方法的啟發(fā), 此處考慮下列具有年齡結(jié)構(gòu)和時滯的兩種群模型

(1)

平衡點的穩(wěn)定性,其中di>0,ri>0,aij≥0是常量.

文章主要研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的兩種群互惠模型邊界平衡點的穩(wěn)定性, 同時給出了判斷兩種群互惠模型正平衡點漸近穩(wěn)定的一個充分條件.

1 兩種群模型邊界平衡點的穩(wěn)定性

(2)

這里a12,a21∈[0,1),且恒為常量, 則模型(2)有以下3個邊界平衡點:

由于a12,a21∈[0,1),顯然有1-a12a21>0,故而模型(2)存在正平衡點

(3)

其中

模型(3)有如下形式的非平凡解[7-10]:

uj(x,t)=cjeλt+iσx,j=1,2,

當且僅當把uj(x,t)=cjeλt+iσx,j=1,2代入模型(3)后所得系數(shù)矩陣所對應的行列式滿足:

(4)

其中:λ為復數(shù);σ為實數(shù).

定理1兩種群模型(2)的邊界平衡點E0(0,0)是不穩(wěn)定的.

存在σ>0,使得至少有一個djσ2-rj<0,j=1,2,則方程λ+djσ2-rj=0至少有一個正根, 故而模型(2)的邊界平衡點E0(0,0)是不穩(wěn)定的.

定理2兩種群模型(2)的邊界平衡點E1(1,0),E2(0,1)都是不穩(wěn)定的.

存在σ>0,使得d2σ2-r2(1+a21)<0, 故方程λ+d2σ2-r2(1+a21)=0有一個正根, 可得模型(2)的邊界平衡點E1(1,0)是不穩(wěn)定的. 而對于模型(2)的邊界平衡點E2(0,1), 其證明過程類似于其邊界平衡點E1(1,0)的證明過程, 故此處省略.

2 兩種群模型正平衡點的漸近穩(wěn)定性

正平衡點穩(wěn)定性反映了兩個物種是可以持續(xù)共存, 因此，正平衡點的研究對于生物種群模型來說是極其重要的. 下面, 討論模型(2)正平衡點E3的漸近穩(wěn)定性.

(5)

記

則方程(5)變成

λ2+ρ1(λ)λ+ρ2(λ)=0.

(6)

為了簡單起見, 引入符號:

有vi>0,i=1,2,3,4, 且由于aij∈[0,1)以及diσ2≥0, 則有

(7)

接下來, 分以下3種情形討論.

情形一：若τij=0(i,j=1,2), 則方程(6)變?yōu)?/p>

(8)

其中

由式(7)可得

情形二：若τii=0(i,j=1,2), 則方程(6)變成

(9)

其中

假設(shè)τij=0,i,j=1,2,i≠j.通過Rouche’s定理知, 只需證當方程(9)滿足條件(Q)時方程(9)沒有純虛根, 可得方程(9)的所有根都有負實部. 反之, 隨著τij(i,j=1,2,i≠j)從零遞增到某一正數(shù), 方程(9)部分根的實部將由負數(shù)遞增到零, 最終變?yōu)檎龜?shù). 若方程(9)有一個純虛根λ=iφ, 其中φ是一個有限實數(shù), 則由方程(9)可得

將上式的實部和虛部分開, 有

f(φ)=-φ2+v1v2-v3cos[φ(τ12+τ21)],

(10)

g(φ)=(v1+v2)φ+v3sin[φ(τ12+τ21)].

(11)

記

a:=v1+v2,
q(φ):=v1v2-v3cos[φ(τ12+τ21)],
b(φ):=v3sin[φ(τ12+τ21)],

則式(10)及式(11)變?yōu)?/p>

f(φ)=-φ2+q(φ),g(φ)=aφ+b(φ),

其中：

v1+v2-v3≤q(φ)≤v1+v2+v3,
-v3≤b(φ)≤v3.

下面構(gòu)造輔助函數(shù),

(12)

綜上，若條件(Q)成立, 易證式(10)無實根, 也就是說方程(9)無純虛根,它的根是實部不會隨τij(i,j=1,2，i≠j)的增加由負的變?yōu)榱?，最終變?yōu)檎?，即它所有的根都有負實?

情形三：當τjj(j=1,2)充分小時, 即當τjj(j=1,2)由零增加到充分小的正數(shù)時, 假設(shè)方程(6)有一個純虛根λ=iμ, 其中μ是一個有限實數(shù). 對于任意小的ε>0, 存在充分小的δ(ε)>0, 使得0<τjj<δ(ε)(j=1,2)時, 有

e-iμτjj=cos(μτjj)-isin(μτjj)=
1-O(ε)-iO(ε),j=1,2.

將上述等式代入方程(6)得

(iμ)2+ρ1(iμ)·iμ+ρ2(iμ)=0,

其中

分離上式的實部和虛部得

(13)

記

則式(13)變?yōu)?/p>

v1v2-v3≤q(μ)≤v1v2+v3,
-v3≤b(μ)≤v3

成立. 綜上, 如果τjj(j=1,2)由零增加到一個充分小的正數(shù)時,O(ε)只是一個非常小的擾動項,故而F(μ)和G(μ)受到式(12)的控制. 重復情形二的過程, 可得當條件(Q)成立時,式 (6)無純虛根, 即方程(6)所有的根都有負實部.

綜上可知，只要條件(Q)成立并且τjj,j=1,2充分小, 則(5)所有的根都有負實部, 故可得到以下定理.

注1如果條件(Q)成立并且τjj(j=1,2)充分小, 則系統(tǒng)(2)的正平衡點E+是唯一漸近穩(wěn)定的平衡點, 因此是全局漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)語

利用特征值法以及Horwitz法，研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的兩種群互惠模型邊界平衡點的穩(wěn)定性，由τij與0的關(guān)系分三種情形討論，得到當條件(Q)成立并且τjj(j=1,2)充分小時,該模型正平衡點是漸近穩(wěn)定的，進而得到該模型平衡點是唯一漸近穩(wěn)定的.