郭佳強 劉 旭 李珊瑚

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業(yè)大學(xué)） 天津 300130 2. 河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室 天津 300130）

0 引言

可變磁通磁阻電機（Variable Flux Reluctance Machine, VFRM）是一種定子勵磁的無刷同步電機[1]，其轉(zhuǎn)子上沒有繞組或永磁體。VFRM的散熱性能良好，調(diào)速范圍寬，性能穩(wěn)定，成本低[2-3]，具有良好的應(yīng)用前景。在VFRM中使用集成勵磁繞組和電樞繞組，繞組中注入含有交流和直流分量的定子電流。定子電流的交流分量作為電樞電流，直流分量作為勵磁電流[4]。根據(jù)零序分量的定義[5-11]，定子電流的直流分量是零序電流。為了給零序電流提供回路，在VFRM的控制系統(tǒng)中使用共直流母線的雙逆變器結(jié)構(gòu)[12-13]。

VFRM的反電動勢幅值與轉(zhuǎn)速成正比，因此在額定負載下，當(dāng)電機的速度超過基速時，逆變器的輸出電壓將無法滿足需求[14]。為了拓寬調(diào)速范圍，需要通過弱磁控制將d軸電流調(diào)節(jié)為負值，從而削弱反電動勢[15]。弱磁控制通常分為基于反饋的方法或基于前饋的方法[16-25]。在基于反饋的方法中，通常通過電流環(huán)的輸出電壓與最大電壓之間的偏差來調(diào)制d軸電流。在基于前饋的方法中，通常通過等轉(zhuǎn)矩曲線，電流或電壓極限圓的交點來計算弱磁區(qū)中的工作點。在基于前饋的方法中，為了簡化電流參考值的計算，通常忽略電阻壓降。文獻[26]分析了忽略電阻壓降對弱磁控制的影響：當(dāng)忽略繞組電阻壓降時，參考電流將高于電機的實際需求，使得電流環(huán)飽和，從而導(dǎo)致逆變器飽和，這不僅增加了電流諧波，還將使電機失控甚至損壞?？紤]電阻壓降后計算出的電流參考值可以使電機在弱磁區(qū)域內(nèi)沿著最佳的電流軌跡穩(wěn)定運行。文獻[27-28]提出基于插值的參考電流計算方法，該方法考慮了弱磁區(qū)域的dq軸上的電阻壓降。文獻[29]分析了繞組和逆變器中的電阻壓降，并用來補償q軸電壓，從而使電機沿著最佳電流軌跡運行。文獻[30]提出一種基于牛頓拉夫遜算法的參考電流在線計算的方法。然而，上述研究針對的都是永磁同步電機中dq軸（電樞繞組）上的電阻壓降。與永磁同步電機相比，VFRM除了電樞繞組上的電阻壓降外，還有零序回路中的電阻壓降，如果要準(zhǔn)確計算弱磁區(qū)中的參考電流，需要同時考慮電樞和零序回路上的電阻壓降。

為了解決上述問題，本文對VFRM在弱磁區(qū)內(nèi)考慮電阻壓降的電流參考值計算進行分析?；陔妷汉碗娏鞯募s束方程，采用拉格朗日乘數(shù)法計算出弱磁區(qū)中VFRM的最優(yōu)參考電流方程，并用牛頓拉夫遜算法進行迭代求解。首先介紹VFRM的拓撲和數(shù)學(xué)模型；然后分析了考慮電阻壓降的最優(yōu)工作點軌跡的計算方法；最后將該方法在一臺6/4VFRM上實現(xiàn)，通過實驗結(jié)果對該方法進行驗證。

1 VFRM的模型

圖1為使用零序電流勵磁的6/4V FRM的拓撲結(jié)構(gòu)。VFRM的電樞繞組和勵磁繞組并聯(lián)。在VFRM的繞組中，定子電流含有交流和直流分量。定子電流的交流分量充當(dāng)電樞電流，而直流分量充當(dāng)勵磁電流。為了給零序電流提供回路，采用公共直流母線的雙逆變器結(jié)構(gòu)。三相電流的表達式為

式中，ia、ib、ic為三相電流；iac為相電流的交流分量幅值；idc為相電流的直流分量（在后文中用i0表示）；ωe為電角速度。

圖1 使用零序電流勵磁的6/4 VFRM的拓撲結(jié)構(gòu) Fig.1 Topology of zero-sequence current excited 6/4 VFRM

VFRM在dq0坐標(biāo)系的電壓方程如式（2）所示，其中，3次諧波分量為靜止坐標(biāo)系中的2次諧波在dq0平面上的映射[31]。

式中，ud、uq和u0分別為dq0軸電壓分量；id、iq、i0分別為dq0軸電流分量；Rs為繞組的電阻；Ls為定子電感的恒定分量；Lδ為定子電感的變化分量；θe為電角度。

由式（2）可知，在正弦電流條件下，反電動勢中含有諧波，而基波電流環(huán)只能輸出正弦電壓，不能補償這些諧波，在實際控制中會造成電流畸變?；兊碾娏鞑焕谌醮艆^(qū)中的電流控制，還會降低控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加電機的損耗。因此，在本文中，通過諧波電流環(huán)對基波電壓進行補償，從而抑制電流的畸變[24]。通過諧波電流環(huán)，一方面對反電動勢中的諧波進行補償，抑制了諧波電流；另一方面，可以將定子電壓分離為基波分量和諧波分量，有利于弱磁區(qū)中參考電流的計算。在使用諧波電流環(huán)對電壓進行補償后，在弱磁控制中推導(dǎo)參考電流時，可以只使用電壓方程的基頻分量。這時，將電壓方程式（2）中的3次分量忽略，得到VFRM的簡化電壓方程為

VFRM的瞬時轉(zhuǎn)矩為

式中，Nr為轉(zhuǎn)子極數(shù)；β為超前電流角。

弱磁控制中參考電流的計算僅涉及平均轉(zhuǎn)矩。因此，僅使用電磁轉(zhuǎn)矩方程式的平均轉(zhuǎn)矩表達式。平均轉(zhuǎn)矩是式（4）中的恒定分量，即

2 弱磁區(qū)控制方法

2.1 電流和電壓約束

基于逆變器或電機的溫度限制，可以確定最大定子電流imax[32]。參考電流應(yīng)滿足

最大電壓umax由直流母線電壓和脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation, PWM）策略決定[32]。在VFRM中，反電動勢中的諧波會降低直流母線電壓的利用率[4]。相電壓的峰值大于基波幅值。因此，當(dāng)相電壓的峰值達到Udc時，相應(yīng)的基波分量幅值被確定為最大電壓，從而避免逆變器飽和。考慮零序電壓后，電壓約束關(guān)系為

將式（3）代入式（7）并忽略dq軸上的電阻性電壓降，可以將電壓約束重寫為

2.2 最優(yōu)電流工作點的計算

在弱磁區(qū)中，VFRM有3個電流分量需要控制。為了計算最優(yōu)的電流參考值，采用拉格朗日乘子法計算id、iq和i0。為求轉(zhuǎn)矩的極大值，根據(jù)轉(zhuǎn)矩公式，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為

使用電壓和電流限制方程作為約束條件。得到拉格朗日函數(shù)FL為

式中，λ1和λ2為拉格朗日乘子。

對拉格朗日函數(shù)中變量id、iq和i0以及λ1、λ2求偏微分可得

在方程組式（11）中，消去λ1和λ2，則得到以下方程組。該方程組的根即考慮電阻壓降后弱磁區(qū)內(nèi)的最優(yōu)id、iq、i0值。

id和iq可以用i0表示。利用式（12）第二個等式可以得到id的表達式為

利用式（12）第三個等式和式（13）可以得到iq為

由式（12）第一個等式，設(shè)函數(shù)N0()f i為

函數(shù)N0()f i中id和iq可由式（13）和式（14）表示。對于i0，可以通過牛頓拉夫遜算法，對N0()f i= 0迭代求解得出。函數(shù)N0()f i的導(dǎo)數(shù)為N0()f i′ 。每次迭代后的根為i0(k+1)。當(dāng)相鄰兩次迭代結(jié)果的差滿足精度要求時，將完成迭代。迭代過程為

設(shè)置初始值為1，當(dāng)所需精度為0.01A時，可以用多次迭代來完成計算。求得i0的給定值后，通過式（13）和式（14）可以求得id和iq的給定值。

dq平面中的電壓極限圓方程為

電壓極限圓的中心坐標(biāo)為

忽略電阻壓降時，將Rs設(shè)置為0。電壓極限圓心的坐標(biāo)為

圖2為忽略Rs時，電壓和電流極限圓隨轉(zhuǎn)速升高的變化情況。從式（19）可以看出，電壓極限圓的圓心始終在d軸上。隨著速度的增加，電壓極限圓縮小。為了保持在弱磁區(qū)輸出最大功率，根據(jù)式（12），i0將隨速度增加。并且，電壓極限圓的圓心向d軸的負方向移動。此外，根據(jù)式（6），隨著i0的增加，電流極限圓的半徑減小。電壓極限圓與電流極限圓的交點即為當(dāng)前工作點。

圖2 忽略電阻壓降的電流軌跡 Fig.2 Current trajectory with zero-sequence resistive voltage drop neglected

圖3為考慮電阻壓降時電壓和電流的極限圓隨速度的增加而變化的示意圖。電機從零開始加速，負載增加到定子電流達到最大值。在此過程中，電機在A點處工作。當(dāng)轉(zhuǎn)速為基速時，電機運行到達恒定轉(zhuǎn)矩區(qū)域的邊界。如果轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升，需要進行弱磁控制。在弱磁區(qū)，工作點將移動到dq電流平面的第二象限，其軌跡為AB，如圖3所示。與A和B所在電壓圓對應(yīng)的圓心分別為O1和O3。

圖3 考慮電阻壓降的電流軌跡 Fig.3 Current trajectory with zero-sequence resistive voltage drop considered

圖4為當(dāng)轉(zhuǎn)速達到恒定轉(zhuǎn)矩區(qū)域的邊界時考慮和忽略電阻壓降的工作點分析。圖4中的電壓圓1和2分別是忽略和考慮電阻壓降的情況。A點是實際工作點。如果忽略電阻壓降，根據(jù)電壓圓1，電機尚在恒轉(zhuǎn)矩區(qū)域，而根據(jù)電壓圓2，則達到了逆變器的最大輸出電壓。如果轉(zhuǎn)速繼續(xù)升高，在忽略電阻壓降時，由于控制系統(tǒng)認為電機仍在恒轉(zhuǎn)矩區(qū)，所以仍將根據(jù)恒定轉(zhuǎn)矩區(qū)域的規(guī)則計算參考電流。由于電壓和電流的限制，電機電流將無法跟蹤該參考電流值，在這種情況下，電流調(diào)節(jié)器會飽和，從而導(dǎo)致電機失去控制。為了使電機穩(wěn)定運行，工作點保持在電壓極限圓內(nèi)，必須減小負載。這樣，輸出功率將降低。相應(yīng)地，考慮電阻壓降后，可以準(zhǔn)確獲取電機工作所需的電流參考值。

圖4 恒轉(zhuǎn)矩區(qū)邊界時工作點情況 Fig.4 Operating point at the boundary of constant torque region

2.3 最大電壓計算

根據(jù)第2.2節(jié)分析可知，VFRM的定子電壓獲取對判斷是否進入弱磁區(qū)和參考電流的計算非常重要。然而，定子電壓的峰值與基波分量的幅值不一致，這給電壓約束計算帶來了困難。因此本節(jié)將對最大電壓進行分析。

圖5 相電壓波形及其諧波分析 Fig.5 Phase voltage waveforms and corresponding harmonic analysis

根據(jù)電壓方程式（2）可知，VFRM的dq軸電壓中含有3次諧波變化分量。這部分3次諧波變化分量是相電壓的2次諧波在dq平面中的映射[27]。在轉(zhuǎn)速400r/min、iq為2A、id=0A的條件下，根據(jù)式（2）計算出dq軸電壓的波形后通過Park反變換，可以得到相電壓的波形，如圖5所示[33]。為了抑制相電流中的諧波，本文使用了指定諧波次數(shù)抑制 法[31]。在指定諧波次數(shù)抑制法中，需要抑制的諧波電流都有對應(yīng)的諧波電流環(huán)。

以2次諧波電流為例。為了抑制2次諧波電流，構(gòu)建了2次諧波電流環(huán)，并將參考值設(shè)為零。2次諧波的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣為

穩(wěn)態(tài)下，特定次數(shù)的諧波在相應(yīng)次數(shù)下的dq分量是恒定值，但是其他次數(shù)諧波在本次數(shù)dq坐標(biāo)系中的映射是交流分量。例如，基波在2次dq坐標(biāo)系下表現(xiàn)為3次諧波，其變換矩陣為

因此，可以通過截止頻率低于基頻的低通濾波器來提取對應(yīng)次數(shù)的dq分量。2次諧波電流環(huán)如圖6所示。通過2次dq變換和低通濾波，可以獲得2次諧波的dq軸分量。將調(diào)制后的二階αβ 軸電壓疊加在基頻上，可以達到抑制2次諧波電流的目的。圖6中，帶“*”的變量代表該變量是給定值。本文后面“*”的含義也相同。

圖6 2次諧波電流環(huán)框圖 Fig.6 Scheme of second harmonic current loop

通過諧波電流環(huán)，一方面對反電動勢中的諧波進行補償，抑制了諧波電流；另一方面，將相電壓分為了基波分量和2次諧波分量。對于弱磁控制，需要基波的電壓幅值，這樣，基波相電壓的dq軸分量被分離出，更容易求取定子電壓的基波分量。

從圖5a可知，式（2）計算出的相電壓波形與真實值比較接近。因此可以推測相電壓峰值為

式中，ud和uq采用式（2）進行計算。

最大電壓umax=36V情況下，根據(jù)式（22）計算出的定子電壓在轉(zhuǎn)速0～2 000r/min范圍內(nèi)峰值的最大值約為62V?？紤]5%的電壓裕度后，65V的直流母線電壓可以使電機的最大基波定子電壓為36V。

圖7 弱磁控制系統(tǒng)框圖 Fig.7 Drive scheme with flux-weakening control

整個弱磁控制系統(tǒng)框圖如圖7所示。參考電流 由最大轉(zhuǎn)矩電流比（Maximum Torque Per Ampere, MTPA）和弱磁模塊計算。共直流母線的雙逆變器用來為零序電流提供回路。電壓補償模塊用于對反電動勢中特定次數(shù)的諧波進行補償。另外，通過使用有限元法生成的電感表來考慮不同工作條件下的電感變化[34]。如圖8所示為電感隨電流變化的有限元仿真結(jié)果。電流的變化范圍是id（?1.2～0A），iq（1～2A），i0為1A, 2A?？梢?，電感隨電流變化的范圍很小，可以認為電機沒有進入飽和區(qū)。

圖8 電感隨電流變化的情況 Fig.8 Inductance variation according to currents

3 實驗分析

為了驗證考慮電阻壓降的弱磁控制方法，搭建了基于6/4 VFRM的雙逆變器控制系統(tǒng)。表1是實驗中使用電機的參數(shù)。實驗平臺如圖9所示。實驗中使用的控制器為dSPACE；VFRM由雙逆變器驅(qū)動；IGBT的開關(guān)頻率設(shè)置為10kHz；電機的輸出轉(zhuǎn)矩由奇石樂4 502A傳感器測量；本實驗使用的示波器為橫河DL850W；功率、效率和功率因數(shù)等參數(shù)的測量采用橫河WT3000E功率分析儀。

表1 VFRM參數(shù) Tab.1 Parameters of VFRM

圖9 實驗平臺 Fig.9 Picture of the experimental setup

當(dāng)轉(zhuǎn)速為100r/min時，增加負載轉(zhuǎn)矩使定子電流達到最大值。然后，增加轉(zhuǎn)速并記錄電流、速度、轉(zhuǎn)矩等變量。圖10為在穩(wěn)態(tài)下測得的dq0軸電流以 及A相電流的波形。此時的轉(zhuǎn)速為1 500r/min，轉(zhuǎn)矩為0.32N·m。VFRM這時處于弱磁區(qū)，id為負值。圖11為隨著轉(zhuǎn)速的增加，測得的id、iq、i0的變化。在0～930r/min階段，電機處于恒轉(zhuǎn)矩區(qū)，負載轉(zhuǎn)矩約為0.41N·m，其中，id=0，iq和i0保持固定比例。在930～2 000r/min階段，電機處于弱磁區(qū)，負載轉(zhuǎn)矩隨著速度的增加而減小。當(dāng)電阻壓降被忽略并且定子電壓被低估時，參考電流將繼續(xù)根據(jù)恒轉(zhuǎn)矩區(qū)的規(guī)則進行計算。但是，由于電壓和電流的限制，電機在轉(zhuǎn)速提高后會無法跟蹤參考電流。為了使VFRM可控，必須降低輸出轉(zhuǎn)矩?？紤]電阻壓降后，VFRM可以沿著弱磁區(qū)的最佳電流軌跡運行。圖12為考慮和忽略電阻壓降時的轉(zhuǎn)矩-轉(zhuǎn)速曲線。由于忽略了電阻壓降，所以電機在弱磁區(qū)中無法跟隨參考電流，這限制了電機在高速時功率的輸出。

圖10 穩(wěn)態(tài)電流波形（1 500r/min） Fig.10 Current waveforms at steady state (speed at 1 500r/min)

圖11 VFRM在弱磁區(qū)內(nèi)dq0軸電流隨轉(zhuǎn)速的變化 Fig.11 Currents of the VFRM varies with speed in flux-weakening region

圖12 轉(zhuǎn)矩-轉(zhuǎn)速曲線 Fig.12 Torque-speed curves

如圖13所示為實驗測得的考慮和忽略電阻壓降時的功率-轉(zhuǎn)速曲線。采用文中控制后，可變磁通磁阻電機可以準(zhǔn)確判斷并進入弱磁區(qū)。因此，采用考慮電阻壓降的弱磁控制后，樣機可以在弱磁區(qū)內(nèi)沿著最優(yōu)電流軌跡運行，并輸出最大功率。而忽略電阻壓降時，對于本實驗中使用的樣機，由于控制系統(tǒng)不能準(zhǔn)確判斷其進入弱磁控制的時刻，因此在高速時的輸出功率下降。

圖13 功率-轉(zhuǎn)速曲線 Fig.13 Power-speed curves

圖14為實驗測得的采用文中方法前后的電機效率。不考慮電阻壓降，電機在高速時定子電流幅值減小，因此銅耗也減小。在輸入輸出功率均減小的情況下，其效率反而比考慮電阻壓降時的高。但是在其輸出功率減小的情況下，效率高沒有意義。

圖14 效率-轉(zhuǎn)速曲線 Fig.14 Efficiency-speed curves

圖15為實驗測得的不同轉(zhuǎn)速下功率因數(shù)變化情況。在恒轉(zhuǎn)矩區(qū)中，有功功率中的銅耗較大，因此功率因數(shù)在低速區(qū)很高。隨著轉(zhuǎn)速的升高，無功功率上升，銅耗占比減小，功率因數(shù)也逐漸減小。在弱磁區(qū)中，考慮電阻壓降控制下，由于樣機能沿著最優(yōu)電流軌跡運行，電流和電壓的有效值均不變，因此視在功率不變。在這種情況下，功率因數(shù)與有功功率的趨勢有關(guān)。電流有效值不變時，銅耗相對變化較小。因此功率因數(shù)在弱磁區(qū)中與輸出功率的變化趨勢一致，均是先增加后趨于平穩(wěn)。而在未考慮電阻壓降控制下，高速時電機的輸入輸出功率均減小。

圖16為在0～2 000r/min的過程中轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和電流的變化情況。當(dāng)給出轉(zhuǎn)速指令時，為了使電機加速，控制系統(tǒng)會增加iq和i0，以使電機的輸出轉(zhuǎn)矩迅速增加，達到升速的目的。同時，在速度增加到基速后，電機進入弱磁區(qū)。為了削弱反電動勢，id被調(diào)節(jié)為負值。在速度達到2 000r/min后，電機重新恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。

圖15 功率因數(shù)-轉(zhuǎn)速曲線 Fig.15 Power factor-speed curves

圖16 電機升速（0～2 000r/min）時的實驗結(jié)果 Fig.16 The experimental results while the speed increases from 0r/min to 2 000r/min

4 結(jié)論

本文提出考慮電阻壓降的VFRM的弱磁控制策略?；陔姍C的電壓方程和電壓、電流約束，使用拉格朗日乘數(shù)法和牛頓拉夫遜法來計算考慮電樞和零序回路電阻壓降的最優(yōu)參考電流。另外，分析了定子電壓最大值的計算。最后在一臺6/4 VFRM上實現(xiàn)了本文的控制策略并驗證了其有效性。實驗結(jié)果表明，如果忽略電樞和零序回路上的電阻壓降，則弱磁區(qū)中電流參考值的計算會受到影響。在這種情況下，逆變器將會飽和，電機中的電流將不能跟隨給定值。因此，忽略電阻壓降會造成電機在弱磁區(qū)的輸出功率下降。而考慮了電樞和零序回路電阻壓降后，VFRM可以在弱磁區(qū)沿著最優(yōu)電流軌跡穩(wěn)定運行并保持最大功率輸出。