張 璇，劉海濤

(河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津市 300401)

0 引言

壓電超材料在執(zhí)行器、傳感器、超聲成像儀、水聽(tīng)器和回聲心電圖等各種設(shè)備中得到廣泛應(yīng)用[1]。Muliana[2]指出壓電超材料獨(dú)特的力電耦合特性在先進(jìn)的多功能復(fù)合材料工業(yè)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。穆鍵等[3]介紹了壓電超材料在柔性結(jié)構(gòu)和振動(dòng)控制上的應(yīng)用；陳恒等[4]研究了壓電超材料在人工耳蝸應(yīng)用中的效果。Khan等[5]提出了一種基于有限元的細(xì)觀力學(xué)建模方法來(lái)研究基于蜂窩網(wǎng)絡(luò)的壓電超材料的力電性能，可以設(shè)計(jì)出具有可調(diào)力電性能和負(fù)泊松比性能的壓電超材料；Khan等[6]研究了基于蜂窩結(jié)構(gòu)變體的負(fù)泊松比和零泊松比壓電超材料的力電性能，并將其應(yīng)用在水聽(tīng)器中；Smith等[7]研究表明負(fù)泊松比聚合物基體提高了壓電復(fù)合材料的性能；Shi等[8]采用漸近均勻化方法分析了多孔壓電超材料的有效熱電機(jī)械性能，研究了微孔結(jié)構(gòu)和極化方向?qū)χ芷谛远嗫讐弘姵牧系膹椥?、介電和壓電性能的影響；Bao等[9]提出一種具有非線性同步電感開(kāi)關(guān)阻尼雙連接電子網(wǎng)絡(luò)的壓電超材料，為彈性波操縱與振動(dòng)控制提供一種與壓電超材料耦合的新型電介質(zhì)。Kar-Gupta等[10]研究發(fā)現(xiàn)多孔壓電材料的力電性能取決于孔隙率的形狀、取向和分布、連通性和極化方向。

負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)在抗剪切性、抗斷裂性等力學(xué)性能方面相比于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)具有一定的優(yōu)勢(shì)，在傳感器、醫(yī)療器械等領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用前景[11]，因此具有負(fù)泊松比特性的壓電超材料具有更好的性能。Gibson[12]提出的內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)是一種典型的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)。Fey等[13]以帶鑄和燒結(jié)壓電陶瓷為材料，制備了二維輔助晶格結(jié)構(gòu)，并對(duì)其力學(xué)和壓電應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行了研究。

本文提出了一種具有負(fù)泊松比特性的圓弧蜂窩壓電超材料結(jié)構(gòu)?；趬弘姵牧系谋緲?gòu)方程和相應(yīng)的邊界條件，通過(guò)有限元軟件ABAQUS建立了模型進(jìn)行仿真分析，給出了結(jié)構(gòu)角度的改變和極化方向的變化對(duì)壓電結(jié)構(gòu)的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)等力電性能的影響規(guī)律。本文結(jié)果可以為壓電超材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析起到一定的借鑒作用。

1 壓電超材料的有限元分析

1.1 壓電超材料的設(shè)計(jì)

基于內(nèi)凹六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出了一種圓弧蜂窩壓電超材料結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的蜂窩結(jié)構(gòu)相比，能夠減小應(yīng)力集中的影響，并且壓電單胞結(jié)構(gòu)之間采取陣列連接，如圖1所示。

壓電單胞結(jié)構(gòu)的具體尺寸參數(shù)為X=16 mm，Y=16 mm，h=1 mm，單胞的厚度取為0.5 mm，通過(guò)改變角度θ的大小來(lái)獲得不同的結(jié)構(gòu)類(lèi)型，如圖2所示。

圖2 單胞結(jié)構(gòu)尺寸圖Fig. 2 Structural dimension diagram of unit cell

5個(gè)角度對(duì)應(yīng)的圓弧半徑如表1所示。

表1 各角度圓弧半徑Tab.1 Arc radius of each angle

1.2 壓電超材料的本構(gòu)方程

壓電材料力電耦合本構(gòu)方程如下[5]

(1)

(2)

1.3 壓電超材料有限元模型

以45°單胞結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行有限元建模與仿真分析。選擇的材料是PZT-5H壓電材料，定義彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)。在利用ABAQUS對(duì)壓電材料進(jìn)行建模分析時(shí)，材料參數(shù)是以x-y平面為材料的等參面，z軸為極化軸給出的。若極化軸發(fā)生改變，材料參數(shù)的輸入也會(huì)發(fā)生改變。本文假設(shè)該結(jié)構(gòu)分別在z軸極化(Longitudinal Poling，LP)和x軸極化(Transverse Poling，TP)來(lái)進(jìn)行比較分析。PZT-5H材料參數(shù)[5]如表2所示。

表2 PZT-5H壓電材料參數(shù)Tab.2 Electromechanical properties of the PZT-5H

單胞結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分為十節(jié)點(diǎn)二次型壓電四面體單元(C3D10E)，C3D10E中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有4個(gè)自由度，包括3個(gè)位移(u1，u2，u3)和一個(gè)電勢(shì)(φ)。網(wǎng)格劃分模型及其對(duì)應(yīng)邊界面如圖3所示。

為了將微觀和宏觀行為耦合起來(lái)，采用均勻化方法獲得不同整體載荷條件下的結(jié)構(gòu)的整體性能。利用體積平均法計(jì)算平均應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

圖3 單胞結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分(C3D10E)及對(duì)應(yīng)邊界面Fig. 3 Mesh generation of unit cell (C3D10E) and corresponding boundary faces

平均電場(chǎng)和電位移定義為

(4)

考慮到牽引力的連續(xù)性，宏觀平均應(yīng)力可以表示為

(5)

考慮到電荷連續(xù)性，宏觀平均電位移可以表示為

(6)

單胞結(jié)構(gòu)的周期性邊界條件[14]表示為

(7)

(8)

通過(guò)上述定義，確定壓電單胞結(jié)構(gòu)的邊界條件詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

2 結(jié)果及討論

[CE]=[SE]-1，[e]=[d][CE]。

2.1 有效彈性響應(yīng)

圖4 壓電超材料中全部彈性常數(shù)隨不同角度的變化關(guān)系Fig. 4 The variation of all elastic constants of piezoelectric metamaterial at various angles

沿z軸極化和沿x軸極化的彈性常數(shù)隨θ的增大呈現(xiàn)出非線性變化。對(duì)于該結(jié)構(gòu)，z方向的法向彈性常數(shù)C33通常大于x方向和y方向的彈性常數(shù)C11和C22，這是因?yàn)閦方向的變形是由拉伸所主導(dǎo)的，而x方向和y方向的變形則由彎曲主導(dǎo)。面外剛度系數(shù)C23沒(méi)有呈現(xiàn)隨θ的增大而單調(diào)變化的趨勢(shì)，這是因?yàn)槊嫱獠此杀圈?3沒(méi)有隨角度θ的增加而單調(diào)變化，并且C23與μ23變化趨勢(shì)相似。面內(nèi)剪切彈性常數(shù)C44和C55隨角度θ的增大非線性變化，相對(duì)密度和角度θ之間的非線性關(guān)系可能是其原因。然而，面外彈性常數(shù)C66隨角度θ的變化呈現(xiàn)出線性趨勢(shì)。

圖5給出了各個(gè)方向泊松比隨角度θ的變化趨勢(shì)?？梢钥闯鲈摻Y(jié)構(gòu)隨著角度的變化，泊松比μ12的變化范圍比較大，泊松比的變化可以用來(lái)產(chǎn)生可調(diào)諧的傳感器。該壓電超材料可以在不同的泊松比水平下產(chǎn)生獨(dú)特的彈性特性。

圖5 壓電超材料中全部泊松比隨不同角度的變化關(guān)系Fig.5 The variation of all Poisson’s ratio of piezoelectric metamaterial at various angles

對(duì)于所考慮的單胞結(jié)構(gòu)，對(duì)于邊界條件1，在單軸載荷作用下，在某一方向上的位移云圖如圖6(a)所示；對(duì)于邊界條件4，在剪切載荷作用下，在一個(gè)方向上的位移云圖如圖6(b)所示，對(duì)于邊界條件7，施加0.1 MV/m的電場(chǎng)獲得的電勢(shì)云圖如圖6(c)所示，在晶胞中心部位觀察到均勻電勢(shì)，負(fù)載的相對(duì)面之間電勢(shì)存在線性變化。

圖6 具有45°圓弧壓電超材料的位移和電勢(shì)云圖Fig.6 Displacement and electric potential contours in the unit cell with a 45° angle

2.2 有效壓電性能

壓電超材料有效壓電常數(shù)隨角度θ的變化趨勢(shì)如圖7所示?？梢钥吹?，極化的方向?qū)υ摻Y(jié)構(gòu)的壓電性能影響是比較大的。

沿z軸極化時(shí)，該結(jié)構(gòu)的剪切壓電特性呈現(xiàn)不同狀態(tài)，e15隨角度θ的增大而減小，e24數(shù)量級(jí)非常低。不同方向的法相壓電常數(shù)的變化趨勢(shì)也不同，e32隨著角度θ的增大而將減小，而e31、e33隨著角度θ的增大而增大。壓電常數(shù)e33通常被認(rèn)為是壓電超材料在各種應(yīng)用中最重要的參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)e33隨著角度θ的增加而增大，這說(shuō)明該結(jié)構(gòu)隨著角度的增大，結(jié)構(gòu)的壓電敏感度越大，壓電性能越好。沿x軸極化時(shí)，該結(jié)構(gòu)不同方向的壓電常數(shù)的數(shù)量級(jí)都很小。e24隨著角度θ的增大而減小，其他常數(shù)和角度的關(guān)系不是單調(diào)的，其中e31、e32、e33的變化趨勢(shì)相似。結(jié)果表明，該結(jié)構(gòu)沿z軸極化時(shí)壓電性能比較優(yōu)良。

2.3 有效介電性能

壓電超材料的有效介電常數(shù)隨角度θ的變化趨勢(shì)如圖8所示?？梢钥吹皆摻Y(jié)構(gòu)不同角度的κij具有顯著的變化，沿z軸極化和沿x軸極化的結(jié)構(gòu)的有效介電常數(shù)變化趨勢(shì)相同。κij隨角度θ的增大呈現(xiàn)出非線性變化，κ11和κ22隨角度θ的增加單調(diào)遞減，這與電荷沿x軸和y軸的散射路徑有關(guān)，而κ33隨著角度θ的增加而增加。

圖7 壓電超材料中全部壓電常數(shù)隨不同角度的變化關(guān)系Fig.7 The variation of all piezoelectric constants of piezoelectric metamaterial at various angles

圖8 壓電超材料中全部介電常數(shù)隨不同角度的變化關(guān)系Fig.8 The variation of all dielectric constants of piezoelectric metamaterial at various angles

3 結(jié)論

本文在力電耦合效應(yīng)下對(duì)負(fù)泊松比圓弧蜂窩壓電超材料的力電性能進(jìn)行了有限元分析。主要結(jié)論如下：

1) 沿z軸極化和沿x軸極化的彈性常數(shù)隨角度的增大呈現(xiàn)出非線性變化。

2) 在壓電性能方面，隨著角度的增加，壓電常數(shù)的壓電性能越來(lái)越好；在介電性能方面，隨著角度的增加，介電性能越來(lái)越好。

3) 壓電單胞結(jié)構(gòu)在沿z軸方向極化的力電性能優(yōu)于沿x軸方向極化的力電性能。