李應(yīng)治，馬釬朝，于匯宇，周艷民，谷海峰，孫中寧

(哈爾濱工程大學(xué) 黑龍江省核動力裝置性能與設(shè)備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

當(dāng)核電站發(fā)生堆芯融毀的嚴(yán)重事故時，會出現(xiàn)攜帶放射性氣溶膠的氣體流經(jīng)液池形成離散氣泡的現(xiàn)象。放射性氣溶膠在氣泡內(nèi)因受到布朗擴(kuò)散、重力沉降和慣性碰撞等去除機(jī)制的作用而被液相所滯留，此過程稱為池式鼓泡過濾[1-2]。相似的事故場景還可能會出現(xiàn)在沸水堆中氣體排放進(jìn)入抑壓水池的過程、壓水堆中氣體排放進(jìn)入穩(wěn)壓器泄壓水箱的過程、SGTR事故以及安全殼過濾排放系統(tǒng)(FCVS)主動排氣泄壓的濕式過濾部分[3-5]。因此有必要評估氣溶膠在液池中的去除特性。

在事故源項(xiàng)分析中常用去污因子(DF)來表征液池對氣溶膠的去污性能。DF的定義是過濾前后氣溶膠質(zhì)量濃度之比。因DF是氣溶膠尺寸的函數(shù)，因此欲獲得多分散氣溶膠的DF須掌握詳細(xì)的氣溶膠尺度分布信息，但許多情況下氣溶膠的尺度分布信息無法詳細(xì)獲得。對數(shù)正態(tài)矩方法通過合理假設(shè)顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，將顆粒尺寸的演化問題簡化為對3個分布參數(shù)(數(shù)量濃度N、幾何平均直徑dpg以及幾何標(biāo)準(zhǔn)差σg)演化的追蹤問題。該方法簡單直觀，易于編程實(shí)現(xiàn)，且計(jì)算效率很高。國內(nèi)外許多學(xué)者已成功運(yùn)用此方法分析了氣溶膠的成核、冷凝、凝并以及封閉空間內(nèi)的沉積問題，得到了對應(yīng)的解析解，極大地方便了實(shí)際應(yīng)用[6-9]。因此本文以池式鼓泡過濾氣溶膠為研究背景，假設(shè)氣溶膠顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，通過矩方法分析氣溶膠3個分布參數(shù)的演變與初始條件、時間以及氣溶膠沉降系數(shù)之間滿足的關(guān)系。

1 理論

1.1 對數(shù)正態(tài)矩方法求解顆粒沉降問題

顆粒的動力學(xué)行為可用通用的氣溶膠動力學(xué)方程(GDE)來描述。如果只考慮顆粒沉降，則GDE方程可簡化為如下形式：

(1)

式中：dp為顆粒直徑；n(dp，t)為顆粒的數(shù)量濃度；α(dp)為顆粒的沉降系數(shù)。

顆粒的沉降系數(shù)通常表示為如下形式：

(2)

式中：Ai和λi為與沉降過程有關(guān)的常數(shù)；υ為沉降系數(shù)中不同顆粒直徑指數(shù)的項(xiàng)數(shù)。

1)υ=1

對式(1)分離變量并積分即可得到顆粒數(shù)量隨時間的變化：

(3)

對數(shù)正態(tài)矩方法假定顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(4)

式中：N為顆粒的總數(shù)量濃度；dpg為顆粒的幾何平均粒徑；σg為顆粒直徑的幾何標(biāo)準(zhǔn)差。這3個分布參數(shù)決定了顆粒的尺度分布特性和數(shù)量濃度，本文利用矩方法來分析這3個分布參數(shù)的演化規(guī)律，而不需要顆粒尺度分布的具體信息以及對式(1)進(jìn)行積分求解。

矩方法求解的是顆粒的各階矩而非顆粒的尺度分布函數(shù)。對于任意常數(shù)k，顆粒尺度分布函數(shù)的k階矩定義為：

(5)

(6)

同時，對數(shù)正態(tài)分布的各階矩和3個分布參數(shù)之間滿足如下關(guān)系：

(7)

將k=0、-λ和λ代入式(6)，k=0、-λ、λ和2λ代入式(7)，消去公式中的矩可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2)υ≥2

此時繼續(xù)采用上述方法將無法獲得解析解，因此采用近似的方法進(jìn)行處理。

(14)

故：

(15)

(16)

(17)

1.2 鼓泡過濾氣溶膠理論

對于鼓泡過濾氣溶膠，其實(shí)質(zhì)是氣溶膠在氣泡內(nèi)的沉降，這一沉降過程受到眾多沉降機(jī)制的影響，本文主要考慮布朗擴(kuò)散、重力沉降和慣性碰撞的影響。其他的去除機(jī)制在一定的合理假設(shè)條件下可忽略。如當(dāng)氣泡與液池保持熱質(zhì)平衡時，熱泳、擴(kuò)散泳、蒸汽冷凝對顆粒沉降的影響可忽略[10]。當(dāng)氣泡在液池中上升的時間尺度小于顆粒凝并所需的時間尺度時，顆粒凝并對顆粒尺寸以及去除效率的影響也可忽略[11]。氣溶膠的沉降系數(shù)可認(rèn)為是3種沉降機(jī)制對應(yīng)的沉降系數(shù)的加和：

α(dp)=αB(dp)+αG(dp)+αI(dp)

(18)

對于鼓泡過濾問題，用氣泡上升高度H代替時間t。其中布朗沉降系數(shù)αB(dp)為：

(19)

重力沉降系數(shù)αG(dp)為：

(20)

慣性碰撞系數(shù)αI(dp)為：

(21)

式中：h(E)、g(E)為只與氣泡形變E相關(guān)的表達(dá)式；K為玻爾茲曼常數(shù)；T為氣體溫度；μg為氣體黏度；ρp為顆粒密度；db為氣泡直徑；vb為氣泡上升速度；Cc為坎寧漢滑移修正系數(shù)[12]。

(22)

式中，lmf為氣體分子平均自由程。

假定氣泡為橢球體，其在上浮過程中速度和形變保持恒定。氣泡的上升速度vb采用Park提出的參數(shù)化關(guān)系式[13]計(jì)算：

(23)

式中：μl為液體黏度；ρl為液體密度；g為重力加速度；σ為液體表面張力。

氣泡的形變E可采用下式[14]計(jì)算：

E=(1+0.45EoRe)0.08

(24)

為便于利用矩方法分析，需將沉降系數(shù)處理成式(2)的形式。但因坎寧漢滑移修正系數(shù)Cc是dp的函數(shù)，小顆粒的沉降主要受布朗擴(kuò)散機(jī)制的影響，而大顆粒的沉降主要受重力沉降和慣性碰撞的影響，因此對Cc做如下近似處理。

1) 對于αB(dp)：

(25)

2) 對于αG(dp)和αI(dp)：

(26)

假定氣泡直徑db=5 mm，利用原始公式(精確結(jié)果)和近似公式(近似結(jié)果)計(jì)算得到的沉降系數(shù)示于圖1?？煽闯鰞烧呶呛陷^好，平均相對誤差為1.7%。只有當(dāng)顆粒尺寸處于過渡區(qū)(dp=0.2～0.4 μm)時，近似公式得到的結(jié)果略小于原始公式的結(jié)果，最大相對誤差為21.2%。

圖1 原始公式與近似公式計(jì)算的沉降系數(shù)對比Fig.1 Comparison of original and approximate equations for deposition coefficient

2 解析解驗(yàn)證與分析

前文給出了利用對數(shù)正態(tài)矩方法獲得的顆粒尺度分布的3個分布參數(shù)(N、dpg、σg)隨氣泡上升高度H變化的近似解析解。如果顆粒的初始尺度分布信息已知，采用離散分區(qū)法，結(jié)合式(3)也可計(jì)算出顆粒尺度分布的演化趨勢。因此本文利用離散分區(qū)法得到的精確解來驗(yàn)證對數(shù)正態(tài)分布得到的解析解，同時計(jì)算單分散顆粒的去除過程。離散分區(qū)法的分區(qū)思路為：在10-3～10 μm顆粒尺寸范圍內(nèi)按照式(27)劃分nbin個節(jié)點(diǎn)。

(27)

為保證離散分區(qū)法的計(jì)算精度，本文取nbin=1 000。

2.1 布朗擴(kuò)散區(qū)

圖2 dpg0=0.05 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.2 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=0.05 μm and σg0=1.5

2.2 慣性區(qū)

db=5 mm、dpg0=2.5 μm、σg0=1.5時，3個分布參數(shù)隨H變化的近似解析解和精確解對比示于圖3。因大顆粒(dp>1 μm)的沉降主要受重力沉降和慣性碰撞機(jī)制的影響，顆粒直徑越大，鼓泡過濾的效率越高。因此隨著氣泡上升高度H的增大，dpg和σ均減小，這導(dǎo)致單粒徑計(jì)算的顆粒去除速率高于精確解和解析解。因重力沉降和慣性碰撞去除系數(shù)與顆粒直徑的平方呈正比，因此采用單粒徑計(jì)算顆粒去除份額的誤差較大。當(dāng)氣泡上升高度為1 m時，顆粒的數(shù)量濃度已減少至原來的1%左右。同時，對比結(jié)果也表明對數(shù)正態(tài)矩方法得到的解析解與精確解在顆粒處于慣性區(qū)時吻合較好。在計(jì)算的氣泡上升高度1 m范圍內(nèi)，N/N0、dpg/dpg0、σg/σg0的最大相對誤差分別為23.4%、1.5%、8.4%。

圖3 dpg0=2.5 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.3 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=2.5 μm and σg0=1.5

2.3 過渡區(qū)

從圖1可看出，當(dāng)顆粒處于過渡區(qū)(0.1 μm

圖4 dpg0=0.3 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.4 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=0.3 μm and σg0=1.5

2.4 氣溶膠的去污因子

許多實(shí)際情況下，能獲取的氣溶膠信息是氣溶膠的質(zhì)量濃度和質(zhì)量中值粒徑(dM)，而非數(shù)量濃度和數(shù)量中值粒徑(dpg)。相比數(shù)量中值粒徑，質(zhì)量中值粒徑更能反映一個對數(shù)正態(tài)分布的氣溶膠群的質(zhì)量分布特征，也更適合計(jì)算氣溶膠的去污因子DF。對于對數(shù)正態(tài)分布，dM和dpg之間滿足下式：

dpg=dMexp(-3ln2σg)

(28)

因氣溶膠的質(zhì)量濃度正比于顆粒尺度分布函數(shù)的3階矩M3。根據(jù)式(7)可得氣溶膠質(zhì)量濃度的衰減為：

(29)

計(jì)算條件為：氣泡直徑db=5 mm，多分散氣溶膠的初始參數(shù)dM0=2.5 μm、σg0=1.5，根據(jù)式(28)、(29)可得氣溶膠質(zhì)量濃度隨氣泡上升高度H的衰減過程，計(jì)算結(jié)果如圖5所示?？砂l(fā)現(xiàn)圖5與圖2a完全相同。這是因?yàn)楫?dāng)dM=dpg時，1個質(zhì)量中值粒徑為dM的對數(shù)正態(tài)質(zhì)量分布與1個質(zhì)量中值粒徑為dpg的對數(shù)正態(tài)數(shù)量分布對矩方法來說是完全相同的。因此可直接將式(12)、(15)中的dpg0替換為dM0，即可得到M3/M3，0的演變規(guī)律。

圖5 質(zhì)量濃度衰減的解析解和精確解對比 (dM0=2.5 μm、σg0=1.5)Fig.5 Comparison of analytical solution with exact solution in term of mass concentration decay for dM0=2.5 μm and σg0=1.5

因此，根據(jù)DF的定義可得：

(30)

3 結(jié)論

本文采用對數(shù)正態(tài)矩方法分析了鼓泡過濾氣溶膠的特性，假設(shè)多分散氣溶膠的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，考慮布朗擴(kuò)散、重力沉降和慣性碰撞這3種沉降機(jī)制對氣溶膠去除的影響。通過在矩方法分析中適當(dāng)近似以及對坎寧漢滑移修正系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)簡化，得到了氣溶膠尺度分布的3個分布參數(shù)(N、dpg、σg)的演變與其初始值、氣泡上升高度以及沉降系數(shù)之間滿足的解析關(guān)系。通過與離散分區(qū)法得到的精確解對比，對數(shù)正態(tài)矩方法推導(dǎo)的解析解表現(xiàn)出良好的預(yù)測精度。只有氣溶膠的尺度處于過渡區(qū)時解析解的誤差較顆粒尺度處于布朗區(qū)和慣性區(qū)時的稍大，但絕對誤差仍不大，而且在嚴(yán)重事故條件下進(jìn)行源項(xiàng)評估時對氣溶膠去除速率略微低估是可接受的。最后，給出了氣溶膠去污因子的解析解。本文給出的解析解可在不需要?dú)馊苣z尺度分布具體信息而僅需要一些初始分布參數(shù)的情況下對氣溶膠的去除特性進(jìn)行快速評估。