■王佩其

綱舉才能目張,抓住重點(diǎn),方可事半功倍,集合學(xué)習(xí)亦如此。那么,學(xué)習(xí)集合要抓住哪些重點(diǎn)?

一、集合的基本概念

例1下列各式中,正確的序號(hào)是____。(寫出所有正確的序號(hào))

①?={0};②??{0};③?∈{0};④0={0};⑤0∈{0};⑥{1}∈{1,2,3};⑦{1,2}?{1,2,3};⑧{a,b}?{b,a}。

解:?不含任何元素,{0}是以0 為元素的集合,①錯(cuò)誤。?是任何集合的子集,②正確。?是一個(gè)集合,集合與集合之間不能用屬于符號(hào),③錯(cuò)誤。0 是一個(gè)數(shù),不是集合,它與集合之間不能使用等于符號(hào),④錯(cuò)誤。{0}是以0為元素的集合,則0∈{0},⑤正確。{1}和{1,2,3}都是集合,集合與集合之間不能用屬于符號(hào),⑥錯(cuò)誤。{1,2}和{1,2,3}都是集合,{1,2}中的元素都在{1,2,3}中,則{1,2}?{1,2,3},⑦正確。{a,b}和{b,a}都是集合,兩個(gè)集合中的元素完全相同,則{a,b}?{b,a},⑧正確。答案為②⑤⑦⑧。

方法歸納:研究集合問題時(shí),首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么,即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他集合,然后看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么,從而準(zhǔn)確把握集合的含義。利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí),要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性。

二、集合間的基本關(guān)系

例2已知集合A={x|x2-4=0},B={x|ax=1},若B?A,則實(shí)數(shù)a的值是( )。

解:易得A={x|x2=4}={2,-2}。由B?A,可對(duì)B分情況討論求解。

當(dāng)B={2}時(shí),由2a=1,可得a=;當(dāng)B={-2}時(shí),由-2a=1,可得a=-;當(dāng)B=?時(shí),可得a=0。

綜上可得,a=0或a=±。應(yīng)選C。

方法歸納:已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系。解決這類問題要合理利用數(shù)軸、Venn圖,化抽象為直觀進(jìn)行求解。用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意集合的代表元素。

三、集合的基本運(yùn)算

例3設(shè)集合M={x∈R|-2

(1)若t=2,求M∩(?RN)。

(2)若M∪(?RN)=R,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解:(1)當(dāng)t=2 時(shí),M={x∈R|-2

(2)若M∪ (?RN)=R,則N?M。

當(dāng)2-t≥3t+1,即t≤時(shí),N=?,滿足題意;當(dāng)2-t<3t+1,即t>時(shí),令可得。綜上可得,實(shí)數(shù)t的取值范圍是。

方法歸納:進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí),先看集合能否化簡(jiǎn),能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn),再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算。離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算,常借助Venn圖求解;連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算,常借助數(shù)軸求解,運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心。