王 盟，翁 順，余興勝，閆俊鋒，殷鵬程

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2.華中科技大學(xué) 控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢 430063)

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)是大型土木工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、振動(dòng)控制和損傷識(shí)別等研究領(lǐng)域的重要參數(shù)之一[1]。由于材料非線性、幾何非線性和狀態(tài)非線性等原因，土木工程結(jié)構(gòu)本身是非線性的，其模態(tài)參數(shù)是時(shí)變的。結(jié)構(gòu)損傷是一種非線性發(fā)展過程，也體現(xiàn)為時(shí)變的模態(tài)參數(shù)。結(jié)構(gòu)損傷將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化，如頻率、阻尼和振型。結(jié)構(gòu)的振型包含了結(jié)構(gòu)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息，因此可以通過時(shí)變模態(tài)振型特征識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度。大多數(shù)傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法都是基于時(shí)域或者頻域[2]，如快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)、時(shí)序分析法以及分區(qū)模態(tài)綜合法等。這些傳統(tǒng)方法雖然能識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)[3]，但是也存在很多缺點(diǎn)：①頻域方法和時(shí)域方法都只能在頻域空間或時(shí)域空間中進(jìn)行，而不能獲得信號(hào)在頻域空間和時(shí)域空間內(nèi)的聯(lián)系，在實(shí)際應(yīng)用中存在某些限制，例如，傅里葉變換只能得到信號(hào)中包含的頻率，但是卻不能得到這些頻率所對(duì)應(yīng)的時(shí)域特征；②傳統(tǒng)方法大多數(shù)只適用于線性結(jié)構(gòu)，然而實(shí)際上土木工程結(jié)構(gòu)是非線性的，它的模態(tài)參數(shù)是時(shí)變的，傳統(tǒng)的識(shí)別方法難以展示時(shí)變特性。

目前時(shí)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法主要有短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform,STFT)、Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang transform,HHT)、Cohen類時(shí)頻分布、小波變換等[4]。STFT是使用一個(gè)固定的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換分析，通過移動(dòng)窗函數(shù)來逐步分析信號(hào)，從而得到信號(hào)的時(shí)變特性[5]。劉小峰等[6]通過STFT方法，成功地對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械信號(hào)進(jìn)行了精細(xì)時(shí)頻分析。STFT方法缺點(diǎn)在于其窗函數(shù)是固定的，因此它的分辨率是固定的，要改變分辨率必須更改窗函數(shù)。HHT方法主要包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和Hilbert變換，這種方法的自適應(yīng)性很強(qiáng)[7]。胡浩然等[8]結(jié)合奇異譜分析技術(shù)和HHT方法，準(zhǔn)確地識(shí)別了故宮木結(jié)構(gòu)古建筑的時(shí)變模態(tài)參數(shù)。HHT方法目前最大的問題是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)完整的理論基礎(chǔ)。Cohen類時(shí)頻分布主要包括偽Wigner-Ville分布、平滑偽Wigner-Ville分布、Choi-Willams分布等[9]。郭奇等[10]結(jié)合二次聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和Wigner-Ville分布方法，改善了模態(tài)混疊問題。Cohen類時(shí)頻分布方法的缺點(diǎn)在于無法完全消除交叉項(xiàng)影響，從而造成虛假頻率成分產(chǎn)生。小波變換是一種窗口大小固定但形狀可變，時(shí)域和頻域分辨率都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。它既克服了STFT分辨率固定的缺點(diǎn)，又能準(zhǔn)確分析信號(hào)的真實(shí)頻率成分，并且有嚴(yán)謹(jǐn)完整的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)成為分析時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的重要方法[11]。

利用小波變換的多分辨率特性和時(shí)頻特性，可以得到瞬時(shí)頻率以及瞬時(shí)振型。Lardies[12]通過對(duì)結(jié)構(gòu)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，成功識(shí)別了線性時(shí)不變結(jié)構(gòu)的頻率和振型。滕軍等[13]將復(fù)Morlet小波變換方法應(yīng)用于大跨度空間結(jié)構(gòu)，成功識(shí)別出了大跨度空間結(jié)構(gòu)的頻率和振型。王超等[14]提出了一種基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃提取多成分信號(hào)小波脊和瞬時(shí)頻率的方法，通過找到小波系數(shù)模極大值，提取小波脊線，從而識(shí)別出時(shí)變結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。

將結(jié)構(gòu)損傷當(dāng)作一種非線性，它將引起結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的時(shí)變特征，因此通過時(shí)變模態(tài)振型可以識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷狀況。閆桂榮等[15]總結(jié)了三大類結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法：基于模態(tài)域的方法、基于時(shí)間域的方法以及基于小波變換時(shí)頻域的方法。嚴(yán)平等[16]提出了一種基于單元模態(tài)應(yīng)變能和小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，在單元模態(tài)應(yīng)變能基礎(chǔ)上,利用小波變換系數(shù)的變化和分布情況構(gòu)建單元模態(tài)應(yīng)變能小波變換的結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)，準(zhǔn)確識(shí)別出了結(jié)構(gòu)的損傷位置以及損傷程度。目前，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)研究了多種高精度、高效率的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，但是對(duì)于能同時(shí)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷時(shí)間、位置以及程度的方法的研究依然匱乏。

基于時(shí)頻特征的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別不僅可以識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的位置和損傷程度，而且可以識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生的時(shí)間，特別適合于廣泛實(shí)施的實(shí)時(shí)健康監(jiān)測系統(tǒng)。因此，本文提出了一種基于時(shí)變模態(tài)振型小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，利用小波變換先識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變模態(tài)參數(shù)，然后對(duì)識(shí)別的時(shí)變振型差做小尺度的小波變換，通過小波系數(shù)的實(shí)部出現(xiàn)極大值的時(shí)間及其出現(xiàn)的位置識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)間與損傷位置，通過極大值的大小判斷損傷程度，應(yīng)用于懸臂梁結(jié)構(gòu)以及昌贛客運(yùn)專線贛江特大橋模型中，均成功識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷。

1 基本理論

小波變換是一種窗口大小固定但形狀可變，時(shí)域和頻域分辨率都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。它可以對(duì)非穩(wěn)態(tài)信號(hào)和非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的時(shí)頻分析和多分辨分析，已經(jīng)成為分析時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的重要方法。

1.1 小波變換原理

設(shè)ψ(t)∈L2(R)(L2(R)為平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間)為小波母函數(shù)，且ψ(t)滿足可容許條件

(1)

式中，ψ(ω)為小波母函數(shù)ψ(t)的傅里葉變換。將小波母函數(shù)通過伸縮和平移可以得到小波函數(shù)族

(2)

式中：a為尺度參數(shù)，可以控制小波母函數(shù)的伸縮；b為平移參數(shù)。

本文使用復(fù)Morlet小波作為小波母函數(shù)，其表達(dá)式為

(3)

式中：fb為帶寬參數(shù)；fc為小波的中心頻率，實(shí)際應(yīng)用中，可以通過修改這兩個(gè)參數(shù)來達(dá)到精度的要求。復(fù)Morlet小波的頻域表達(dá)形式[17]為

(4)

對(duì)于任意信號(hào)x(t)，其連續(xù)小波變換可表示為

(5)

1.2 基于小波變換的瞬時(shí)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

單自由度黏性阻尼系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)可以表示為

x(t)=Be-ζωntcos(ωdt+φ0)

(6)

xa(t)=x(t)+jH[x(t)]=Be-ζωntej(ωdt+φ0)

(7)

式中，H[x(t)]為x(t)的希爾伯特變換，將式(7)代入式(5)，并將Be-ζωnt在t=b附近泰勒展開得

(8)

(9)

多自由度黏性阻尼系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)可以表示為

(10)

同理，將式(10)代入式(5)，泰勒展開并忽略無窮小量可以得到

(11)

1.2.1 基于小波系數(shù)模極大值的瞬時(shí)頻率識(shí)別方法

對(duì)于單自由度黏性阻尼系統(tǒng)，設(shè)響應(yīng)信號(hào)的采樣頻率為fs，代入式(6)可得

(12)

(13)

本文使用的是復(fù)Morlet小波，將復(fù)Morlet小波母函數(shù)代入式(13)，并對(duì)小波系數(shù)取模可得

(14)

由式(14)可知，在時(shí)刻k=b，當(dāng)尺度參數(shù)a滿足aω′d=2πfc時(shí)，小波系數(shù)的模能取最大值。因此，在時(shí)刻k=b，只要找到能使小波系數(shù)模取最大值的尺度參數(shù)al，即可得到這一時(shí)刻的瞬時(shí)頻率為

(15)

因此，對(duì)于每個(gè)時(shí)刻，找到使小波系數(shù)模取最大值的尺度參數(shù)al，即可得到信號(hào)的瞬時(shí)頻率。

(16)

(17)

因此，在時(shí)刻k=b，只要找到能使小波系數(shù)模取第i個(gè)局部極大值的尺度參數(shù)ali，即可得到這一時(shí)刻的第i階瞬時(shí)頻率為

(18)

1.2.2 基于小波系數(shù)比值的瞬時(shí)振型識(shí)別方法

若一個(gè)結(jié)構(gòu)有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，假設(shè)：xp(t)為第p個(gè)節(jié)點(diǎn)的脈沖響應(yīng)信號(hào)；xr(t)為第r個(gè)節(jié)點(diǎn)的脈沖響應(yīng)信號(hào)。在尺度ali下對(duì)它們進(jìn)行連續(xù)小波變換，由1.2.1節(jié)可知，當(dāng)取aliω′di=2πfc時(shí)，多自由度系統(tǒng)就可解耦成只含第i階模態(tài)的系統(tǒng)。因此，Wψ,p(ali,b)和Wψ,r(ali,b)都只保留了各自節(jié)點(diǎn)的第i階模態(tài)振型。選取r節(jié)點(diǎn)為參照點(diǎn)，則在時(shí)刻t=bk，p節(jié)點(diǎn)相對(duì)于r節(jié)點(diǎn)的第i階振型χi,p,bk可表示為[18]

χi,p,bk=Wψ,p(ali,bk)/Wψ,r(ali,bk)

(19)

因此，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)信號(hào)都做同樣的小波變換，然后進(jìn)行歸一化處理，即可得到結(jié)構(gòu)在時(shí)刻t=bk的第i階瞬時(shí)振型

Φi,bk=[χi,1,bk,χi,2,bk,…,χi,r-1,bk,1,χi,r+1,bk,…,χi,m-1,bk,χi,m,bk]

(20)

同理，其他任意時(shí)刻的瞬時(shí)振型都可以由式(19)和式(20)得到，則結(jié)構(gòu)在任意時(shí)刻的第i階振型為

(21)

式中：w為時(shí)間步數(shù)；m為節(jié)點(diǎn)數(shù)。因此，結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的振型都可由式(21)得到。

1.3 基于時(shí)變振型差小波變換的損傷識(shí)別方法

結(jié)構(gòu)損傷是一種非線性發(fā)展過程，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的時(shí)變特征。結(jié)構(gòu)的振型包含了結(jié)構(gòu)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息，因此本文從結(jié)構(gòu)時(shí)變振型入手，利用小波變換的奇異性檢測能力和局部放大特性[19]，對(duì)結(jié)構(gòu)第一階時(shí)變振型差做小尺度的小波變換，通過變換后的結(jié)果來識(shí)別損傷。

對(duì)于一個(gè)含有m個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，假設(shè)結(jié)構(gòu)損傷前的第一階理論振型為

Φ1,0=[χ1,1,0,χ1,2,0,…,χ1,r-1,0,1,χ1,r+1,0,…,χ1,m,0]

(22)

結(jié)構(gòu)在任意時(shí)刻的振型可由式(19)以及式(20)計(jì)算得到，則結(jié)構(gòu)在時(shí)刻t=bk的第一階振型差可以表示為

ΔΦ1,bk=[Δχ1,1,bk,Δχ1,2,bk,…,Δχ1,r-1,bk,0,Δχ1,r+1,bk,…,Δχ1,m,bk],

(23)

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，損傷位置的振型變化會(huì)大于其他位置的變化[20]。因此，利用本文復(fù)Morlet小波實(shí)部的奇異性檢測能力和局部放大特性，對(duì)結(jié)構(gòu)的振型差做小尺度小波變換

(24)

若結(jié)構(gòu)在這個(gè)時(shí)刻(t=bk)有損傷，則小波系數(shù)實(shí)部出現(xiàn)極大值的位置即為結(jié)構(gòu)損傷位置。

同理，任意時(shí)刻的第一階振型差都可由式(23)得到，然后利用式(24)對(duì)振型差做小尺度小波變換，則小波系數(shù)的實(shí)部出現(xiàn)極大值的時(shí)間bk即為結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)間，出現(xiàn)極大值的位置即為結(jié)構(gòu)損傷位置，極大值的大小反映了損傷的程度。

2 數(shù)值仿真

2.1 懸臂梁算例

通過一個(gè)1 m長懸臂梁數(shù)值模型，驗(yàn)證時(shí)變模態(tài)參數(shù)小波變換方法用于損傷識(shí)別的有效性。懸臂梁由10.0個(gè)單元組成，其模型示意圖，如圖1所示。

圖1 懸臂梁結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The model of cantilever beam structure

結(jié)構(gòu)在未損傷前，各個(gè)單元的抗彎剛度EI=4.73×103N·m2，抗拉剛度EA=1.42×106N，密度ρ=2 500 kg/m3。為了驗(yàn)證本文方法的精確性，在懸臂梁上施加了Imperial Valley地震波，地震波采樣頻率為200 Hz，如圖2所示。

圖2 Imperial Valley地震波加速度曲線Fig.2 Acceleration curve of seismic wave in Imperial Valley

本文通過剛度改變模擬結(jié)構(gòu)非線性損傷，有利于定量損傷程度，通過減小單元彈性模量E的值模擬單元?jiǎng)偠葥p失。當(dāng)結(jié)構(gòu)施加如圖2的地震波時(shí)，假設(shè)：當(dāng)t=5 s時(shí)，結(jié)構(gòu)的單元2發(fā)生了10%損傷；當(dāng)t=10 s時(shí)，結(jié)構(gòu)的單元3發(fā)生了5%損傷。因此，整個(gè)損傷過程可以分為3個(gè)階段，如表1所示。

表1 懸臂梁損傷狀況表Tab.1 Damage stage table of the cantilever beam

對(duì)于每個(gè)階段，運(yùn)用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，由彈性模量以及密度等參數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，從而可以得到結(jié)構(gòu)每個(gè)階段的第一階理論頻率為：f1=3.849 9 Hz，f2=3.797 0 Hz，f3=3.780 2 Hz。將節(jié)點(diǎn)11作為參照節(jié)點(diǎn)r，還可以得到每個(gè)階段結(jié)構(gòu)的第一階理論振型，如圖3所示。由圖3可知：雖然結(jié)構(gòu)在不同階段有不同的損傷，但理論振型變化很細(xì)微，僅憑結(jié)構(gòu)在3個(gè)階段的振型變化難以識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。

圖3 懸臂梁第一階理論振型Fig.3 The first theoretical mode shape of the cantilever beam

施加地震波后，結(jié)構(gòu)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)可以由Newmark法模擬得到。本文選取位移響應(yīng)信號(hào)分析，節(jié)點(diǎn)11前20 s的原始位移響應(yīng)，如圖4所示。

圖4 節(jié)點(diǎn)11前20 s的位移信號(hào)Fig.4 The displacement signal for the first 20 s of node 11

2.1.1 瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)振型的識(shí)別

考慮到模擬損傷程度的大小和實(shí)際工程中噪聲的影響，本文在原始位移響應(yīng)中添加了1%的高斯白噪聲，分別探究無噪聲和有噪聲環(huán)境下本文算法的有效性。使用復(fù)Morlet小波作為母小波，設(shè)置小波中心頻率fc=3 Hz。將兩種情況下節(jié)點(diǎn)11的位移信號(hào)作為x(t)代入連續(xù)小波變換。由1.2.1節(jié)可知，只要找到能使小波系數(shù)模取第i個(gè)局部極大值的尺度參數(shù)ali，即可得到這一時(shí)刻的第i階瞬時(shí)頻率。因此，通過提取每個(gè)時(shí)刻滿足條件的尺度參數(shù)al1，代入式(18)，即可得到結(jié)構(gòu)的第一階瞬時(shí)頻率，如圖5所示。

由圖5可知，無噪聲識(shí)別結(jié)果比有噪聲識(shí)別結(jié)果得到的曲線更加光滑。兩種情況下，頻率在t=5 s以及t=10 s時(shí)都發(fā)生了突變，說明結(jié)構(gòu)在這兩個(gè)時(shí)刻發(fā)生了損傷。時(shí)變頻率分為3個(gè)階段，0～5 s對(duì)應(yīng)表1的階段1，5～10 s對(duì)應(yīng)表1的階段2，10～20 s對(duì)應(yīng)表1的階段3。將每個(gè)階段頻率的平均值作為識(shí)別值，與理論值的對(duì)比如表2所示。

圖5 懸臂梁第一階瞬時(shí)頻率Fig.5 First order instantaneous frequency of the cantilever beam

表2 懸臂梁頻率對(duì)比表Tab.2 Frequency comparison table of the cantilever beam Hz

由表2可知，兩種情況下，各個(gè)階段第一階頻率的識(shí)別值與理論值很相近。進(jìn)一步地，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩種情況下，各個(gè)階段識(shí)別值與理論值的相對(duì)誤差絕對(duì)值都在2%以下，說明本文小波變換方法能高精度地提取結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率，且具有一定的抗噪性。

在無噪聲和有噪聲這兩種情況下，分別對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移信號(hào)做同樣的小波變換，并選取節(jié)點(diǎn)11為參照節(jié)點(diǎn)r，運(yùn)用式(19)和式(20)即可計(jì)算結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的第一階瞬時(shí)振型，如圖6、圖7所示。

圖6 無噪聲下懸臂梁第一階瞬時(shí)振型Fig.6 First order instantaneous mode shape of the cantilever beam without noise

由圖6、圖7可知，瞬時(shí)振型曲線與理論振型相似，并且通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)每個(gè)階段識(shí)別的瞬時(shí)振型與對(duì)應(yīng)階段的理論振型的模態(tài)置信度(modal assurance criterion,MAC)值接近1，這說明通過小波變換方法能高精度地提取結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)振型。

圖7 有噪聲下懸臂梁第一階瞬時(shí)振型Fig.7 First order instantaneous mode shape of the cantilever beam under noise

2.1.2 損傷識(shí)別

圖8 無噪聲下第一階段損傷識(shí)別Fig.8 Damage identification of the first stage without noise

圖9 無噪聲下第二階段損傷識(shí)別Fig.9 Damage identification of the second stage without noise

圖10 無噪聲下第三階段損傷識(shí)別Fig.10 Damage identification of the third stage without noise

圖11 無噪聲下全過程損傷識(shí)別Fig.11 Damage identification of the whole stage without noise

圖12 有噪聲下全過程損傷識(shí)別Fig.12 Damage identification of the whole stage under noise

由圖8可知，沒有極大值出現(xiàn)，說明在階段1結(jié)構(gòu)無損傷；由圖9可知，在t=5 s之后，結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)3處(對(duì)應(yīng)單元2)有極大值，說明在階段2結(jié)構(gòu)的單元2發(fā)生了損傷；由圖10可知，在t=10 s之后，結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)3(對(duì)應(yīng)單元2)和節(jié)點(diǎn)4處(對(duì)應(yīng)單元3)均出現(xiàn)了極大值，說明階段3結(jié)構(gòu)的單元2、單元3都發(fā)生了損傷；由圖11和圖12可知，有噪聲和無噪聲環(huán)境下均能準(zhǔn)確識(shí)別出損傷位置；由圖8～圖12可知，結(jié)構(gòu)在t=5 s時(shí)，單元2發(fā)生損傷，在t=10 s時(shí)，單元2、單元3都發(fā)生損傷，識(shí)別的結(jié)果與表1中設(shè)置的剛度損失工況一樣，說明本文方法能夠精確的識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)間和損傷位置，且具有一定的抗噪性。

由表1可知，在階段2結(jié)構(gòu)發(fā)生了單損傷，在階段3結(jié)構(gòu)發(fā)生了多損傷。在階段2時(shí)，為了進(jìn)一步判斷損傷程度，依次設(shè)置單元2的損傷程度為10%，15%，20%，…，30%，用本文的方法依次提取每種損傷程度下振型差小波系數(shù)的實(shí)部相對(duì)極大值，如圖13所示。

圖13 不同損傷程度下單元2小波系數(shù)實(shí)部相對(duì)極大值Fig.13 The relative maximum value of the real part of the wavelet coefficients of unit 2 in different damage degree

由圖13可知，實(shí)部相對(duì)極大值隨著損傷程度的增大而增大，即可判斷：單損傷下，振型差小波系數(shù)的實(shí)部相對(duì)極大值越大，單元的損傷程度越大。

階段3結(jié)構(gòu)發(fā)生了多損傷，為了進(jìn)一步判斷單元3的損傷程度，保持單元2的損傷不變(10%)，依次設(shè)置單元3的損傷程度為5%，10%，15%，…，30%，用本文的方法依次提取每種損傷程度下單元3振型差小波系數(shù)的實(shí)部相對(duì)極大值，如圖14所示。

由圖14可知，實(shí)部相對(duì)極大值隨著損傷程度的增大而增大，即可判斷：多損傷下，在其他單元不變的情況下，所求單元振型差小波系數(shù)實(shí)部相對(duì)極大值越大，該單元的損傷程度越大。

圖14 不同損傷程度下單元3小波系數(shù)實(shí)部相對(duì)極大值Fig.14 The relative maximum value of the real part of the wavelet coefficients of unit 3 in different damage degree

綜上所述，本文方法能夠精確地識(shí)別出懸臂梁結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)間、損傷位置和損傷程度，且具有一定的抗噪性。

2.2 昌贛客運(yùn)專線贛江特大橋算例

昌贛客運(yùn)專線贛江特大橋(以下簡稱贛江橋)位于江西省贛州市，其主橋橋位位于章水、貢江兩江匯合口下游1.9 km處，位于既有贛江公路大橋上游1.1 km處。主橋結(jié)構(gòu)采用(35+40+60+300+60+40+35)m混合梁斜拉橋，半漂浮體系，全梁長572.1 m(含梁縫)。索塔全高分別為124.5 m，127.6 m，橋面以上塔高88 m，為主跨的1/3.409。斜拉索采用空間雙索面體系，扇形布置，全橋共48對(duì)斜拉索。本文通過贛江橋?qū)崪y響應(yīng)數(shù)據(jù)不斷進(jìn)行有限元模型修正，得到了實(shí)際橋梁的等效模型，其有限元模型如圖15所示。

圖15 贛江橋模型Fig.15 The model of Ganjiang River Bridge

橋梁的主跨由108個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)81～節(jié)點(diǎn)188)以及107個(gè)單元(單元79～單元185)組成。根據(jù)美國國家公路與運(yùn)輸協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)(AASHTO)對(duì)于船舶碰撞荷載提出的經(jīng)驗(yàn)公式，船橋正撞時(shí)的設(shè)計(jì)船舶撞擊力按式(25)計(jì)算

(25)

式中：P為撞擊力；DWT為載質(zhì)量噸位；v為船舶的速度?，F(xiàn)實(shí)中，船橋碰撞時(shí)，相撞船舶周圍水的質(zhì)量對(duì)荷載也有影響，可以將這部分影響以船體附加質(zhì)量的形式加以修正，即

DWT=m1+m2=(1+k)m1

(26)

式中：m1為船舶載質(zhì)量噸位；m2為附加水質(zhì)量；k為附加因子，一般取0.02～0.07，本文取0.05。

利用ANSYS軟件模擬速度為6 m/s，質(zhì)量為850 t的船撞向贛江橋的節(jié)點(diǎn)123(對(duì)應(yīng)單元120)，由式(25)、式(26)可得沖擊力為22 MN，使用ANSYS軟件完成了船橋碰撞瞬態(tài)分析，并通過有限元模型修正方法獲取了單元等效剛度損失為30%。為了便于定量損傷程度，本文通過設(shè)定碰撞后單元彈性模量折減30%證明本文方法的精度。通過設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)差為0.01的白噪聲激勵(lì)信號(hào)模擬環(huán)境激勵(lì)，當(dāng)t=5 s時(shí)，通過22 MN荷載模擬碰撞沖擊力，采樣頻率為50 Hz，由Newmark法模擬得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)，節(jié)點(diǎn)123碰撞前后10 s的位移響應(yīng)信號(hào)，如圖16所示。

圖16 節(jié)點(diǎn)123的位移信號(hào)Fig.16 The displacement signal of node 123

整個(gè)船橋碰撞過程分為兩個(gè)階段，如表3所示。當(dāng)t<5 s時(shí)，結(jié)構(gòu)為未損狀態(tài)；當(dāng)t≥5 s時(shí)，船橋碰撞，碰撞處發(fā)生了損傷。通過數(shù)值模型計(jì)算可以得到橋梁每個(gè)階段的第一階理論頻率為：f1=0.414 1 Hz，f2=0.412 9 Hz。將節(jié)點(diǎn)132作為參照節(jié)點(diǎn)r(振型為“1”的節(jié)點(diǎn))，進(jìn)行歸一化處理，還可以得到橋梁碰撞前后第一階理論振型，如圖17所示。

表3 “船撞橋”損傷狀況表Tab.3 Damage stage table of “ship-bridge collision”

圖17 橋梁碰撞前后第一階理論振型Fig.17 The first theoretical mode shape before and after collision

由圖17可知，雖然橋梁在碰撞后有損傷，但碰撞前后理論振型變化很細(xì)微，僅憑橋梁在碰撞前后振型變化難以識(shí)別橋梁損傷。

2.2.1 瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)振型的識(shí)別

使用復(fù)Morlet小波作為母小波，設(shè)置小波中心頻率fc=5 Hz。將節(jié)點(diǎn)123的位移信號(hào)作為x(t)代入連續(xù)小波變換。找到每個(gè)時(shí)刻滿足極大值條件的尺度參數(shù)al1，代入式(18)，即可得到結(jié)構(gòu)的第一階瞬時(shí)頻率，如圖18所示。

圖18 贛江橋第一階瞬時(shí)頻率Fig.18 First order instantaneous frequency of Ganjiang River Bridge

由圖18可知，頻率在t=5 s時(shí)發(fā)生了突變，說明結(jié)構(gòu)在這個(gè)時(shí)刻發(fā)生了損傷。時(shí)變頻率分為兩個(gè)階段，0～5 s對(duì)應(yīng)表3的階段1，5～10 s對(duì)應(yīng)表3的階段2，將每個(gè)階段頻率的平均值作為識(shí)別值，與理論值的對(duì)比如表4所示。

表4 贛江橋頻率對(duì)比表Tab.4 Frequency comparison table of Ganjiang River Bridge

由表4可知，第一階頻率的識(shí)別值與理論值相對(duì)誤差絕對(duì)值非常小，各個(gè)階段的誤差都在2%以下。充分說明了小波變換方法識(shí)別瞬時(shí)頻率的精確性。

對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移信號(hào)做同樣的小波變換，并選取節(jié)點(diǎn)132為參照節(jié)點(diǎn)r(振型為“1”的節(jié)點(diǎn))，運(yùn)用式(19)和式(20)可計(jì)算贛江橋任意時(shí)刻的第一階瞬時(shí)振型，如圖19所示。由圖19可知，瞬時(shí)振型曲線與理論振型相似，并且通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)每個(gè)階段識(shí)別的瞬時(shí)振型與對(duì)應(yīng)階段的理論振型的MAC值接近于1，這說明通過本文小波變換方法能高精度地提取贛江橋的瞬時(shí)振型。

圖19 贛江橋第一階瞬時(shí)振型Fig.19 First order instantaneous mode shape of Ganjiang River Bridge

2.2.2 損傷識(shí)別

圖20 碰撞前損傷識(shí)別Fig.20 Damage identification before collision

圖21 碰撞后損傷識(shí)別Fig.21 Damage identification after collision

圖22 全過程損傷識(shí)別Fig.22 Damage identification of the whole stage

由圖20可知，當(dāng)t=0～5 s時(shí)，沒有極大值出現(xiàn)，說明在這一階段橋梁無損傷；由圖21可知，當(dāng)t=5～10 s時(shí)，橋梁在節(jié)點(diǎn)123處(對(duì)應(yīng)單元120)有極大值，說明在這一階段橋梁的單元120發(fā)生了損傷。因此，可以判斷當(dāng)t=5 s時(shí)，發(fā)生了“船撞橋”事件，且撞擊的位置為單元120，識(shí)別的結(jié)果與損傷狀況吻合，說明本文方法能夠精確地識(shí)別出船橋碰撞的時(shí)間和位置。

3 結(jié) 論

(1)本文提出了一種基于時(shí)變模態(tài)振型小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。通過提取當(dāng)小波系數(shù)模取極大值時(shí)的尺度參數(shù)，識(shí)別出結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率。然后選取特定尺度參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，從而將信號(hào)解耦到只含某階模態(tài)，通過小波系數(shù)的比值進(jìn)行歸一化處理，從而得到結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)振型。最后，對(duì)結(jié)構(gòu)第一階時(shí)變振型差做小尺度的小波變換，通過小波系數(shù)的實(shí)部出現(xiàn)極大值的時(shí)間及其出現(xiàn)的位置識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)間與損傷位置，通過極大值的大小判斷損傷程度。

(2)將該方法應(yīng)用于一個(gè)地震波作用下的懸臂梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)果表明，該方法不僅能準(zhǔn)確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)單損傷、多損傷發(fā)生的時(shí)間，還能準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷的位置以及損傷程度。

(3)將該方法應(yīng)用于一個(gè)沖擊荷載作用下的“船撞橋”事件模擬。結(jié)果表明，該方法不僅能夠精確地識(shí)別出船橋碰撞的時(shí)間，并且能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出碰撞位置。