楊 志 勛，英 璽 蓬，閻 軍*，楊 亮，朱 鵬 程，曹 鵬

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；3.中海石油氣電集團(tuán)有限責(zé)任公司技術(shù)研發(fā)中心，北京 100028)

0 引 言

波紋結(jié)構(gòu)由于其特殊的力學(xué)性能特征，且加工方便，為工程中常見的一種結(jié)構(gòu)形式．如沖壓成型的波紋板應(yīng)用于土木工程中，以及各式各樣的波紋管應(yīng)用于工業(yè)傳輸裝置[1]．波紋結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：保證其中一方向力學(xué)性能不變的同時(shí)，增加了另一方向結(jié)構(gòu)的柔度；形成波紋的厚度，一定程度上增加了波紋結(jié)構(gòu)在厚度方向上的抗彎能力，從而提高承載能力．隨著工程應(yīng)用環(huán)境的不同，波紋結(jié)構(gòu)的截面形式呈現(xiàn)多種多樣，波紋板考慮實(shí)用功能性常常采用鋸齒型；而波紋管大多采用波浪式截面，從而避免管道受荷載時(shí)呈現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象[2]．

對(duì)于波紋結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究，始于波紋板的力學(xué)行為分析．如趙金濤等[3]借用平面曲梁的思想，波紋的曲率決定弧線截面的中性軸位置，通過應(yīng)變能守恒分析了波紋板軸向拉伸行為，給出了圓弧形波紋板承受拉伸荷載時(shí)變形及應(yīng)力應(yīng)變的表達(dá)式．對(duì)于波紋板的彎曲性能，由于波紋板大多呈現(xiàn)正交各向異性性能，王小平等[4]基于層合板殼理論推導(dǎo)了適用于任意截面形式的波紋板兩個(gè)方向上的彎曲剛度與面外的扭轉(zhuǎn)剛度．但由于其基于截面幾何慣性矩求得，忽略了波紋截面的具體形狀，因此求得的力學(xué)性能參數(shù)同實(shí)際結(jié)構(gòu)存在較大誤差．相比于波紋板，波紋管由于微觀存在曲率的影響，其力學(xué)性能的分析相對(duì)較難．因此20世紀(jì)后半葉大量學(xué)者對(duì)其做了相關(guān)力學(xué)性能研究，最初同樣將波紋管簡化為梁模型進(jìn)行分析．后來隨著薄殼理論的發(fā)展完善，波紋管被看作圓環(huán)殼與環(huán)板的組合，Zhu等[5]采用了攝動(dòng)法、Xia等[6]采用了漸近積分法、Biancolini[7]采用了能量法分別給出了波紋管基本力學(xué)行為的理論解．但是由于波紋結(jié)構(gòu)形式的特殊性，理論通常難于求得準(zhǔn)確解，且計(jì)算過程復(fù)雜、煩瑣．隨著有限元計(jì)算技術(shù)的后期發(fā)展，形式多樣的波紋結(jié)構(gòu)往往可借助數(shù)值方法分析相關(guān)結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為．例如，Xia等[8]采用了商業(yè)有限元軟件建立多層波紋管數(shù)值模型分析多層波紋管的基本力學(xué)性能，以及沖壓成型所致殘余應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響．但是對(duì)特殊截面的波紋結(jié)構(gòu)建立數(shù)值模型需要較大工作量．

上述研究僅僅局限于求解波紋結(jié)構(gòu)的局部細(xì)節(jié)力學(xué)行為．當(dāng)波紋結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜或波紋結(jié)構(gòu)較大、較長時(shí)，工程實(shí)踐中往往更關(guān)注波紋結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性能與行為．如幅面遠(yuǎn)大于波紋高度的波紋板，或者長度遠(yuǎn)大于截面直徑的波紋管．此時(shí)波紋的宏觀力學(xué)性能參數(shù)往往更受到關(guān)注．因此，鄧兵等[9]將等效的分析方法引入波紋結(jié)構(gòu)的分析中，顯著地提高了分析效率．但其對(duì)波紋單胞的選取方法以及幾何曲率的影響并未做詳細(xì)的討論和探究．本文通過漸近均勻化方法新格式[10-13]，借用商業(yè)有限元軟件的二次開發(fā)程序，求解波紋單胞結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能參數(shù)．同時(shí)研究單胞選取的不同對(duì)等效性能參數(shù)的影響．其所得規(guī)律為波紋結(jié)構(gòu)的等效分析提供單胞選取規(guī)則．此外，針對(duì)某一波紋板結(jié)構(gòu)建立精細(xì)有限元模型，通過與等效模擬基本力學(xué)行為的比較，驗(yàn)證該方法的有效性，為工程實(shí)用波紋結(jié)構(gòu)快速設(shè)計(jì)提供參考．

1 波紋結(jié)構(gòu)漸近均勻化方法

波紋板和波紋管結(jié)構(gòu)分別見圖1、2．假設(shè)波紋結(jié)構(gòu)截面如圖3(a)所示，為了求解波紋的整體力學(xué)性能，理論方法由于存在大量假設(shè)往往得不到精確解，而數(shù)值模擬由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性建模往往煩瑣，相對(duì)耗時(shí)．考慮到波紋結(jié)構(gòu)具有周期性，本文引入漸近均勻化方法通過分析波紋單胞，獲取波紋結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能參數(shù)，并將其轉(zhuǎn)化為彈性本構(gòu)參數(shù)．從而原始結(jié)構(gòu)只需要建立等效殼模型即可，進(jìn)而分析波紋結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，有效提高分析效率，為波紋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供新的有效途徑．

圖1 波紋板Fig.1 Corrugated plate

圖2 波紋管Fig.2 Corrugated pipe

1.1 波紋結(jié)構(gòu)理論分析

波紋結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)的理論求解方法是基于小變形彈性假設(shè)的，當(dāng)其承受面內(nèi)拉伸荷載時(shí)，假定波紋為無線寬度的曲梁，其應(yīng)變基于預(yù)計(jì)變形求導(dǎo)得到．依據(jù)能量法原理推導(dǎo)求得拉伸過程位移的表達(dá)式．假如波紋結(jié)構(gòu)由兩半圓弧構(gòu)成(圖3(b)所示)，其拉伸剛度表達(dá)式如式(1)所示．其中E為波紋板材料彈性模量，R1、R2分別為波紋板的外徑與內(nèi)徑．由式(1)可知，垂直截面的拉伸行為僅與面積、材料彈性模量有關(guān)．

(a)鋸齒型波紋板

(1)

對(duì)于平面外的力學(xué)性能，如兩個(gè)方向的彎曲行為與垂直于波紋結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)行為，依據(jù)薄殼理論可以近似求得其彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度如式(2)～(4)所示．其中μ為波紋板材料泊松比，l為波長，H為波高，δ為波紋厚度(假定為一定厚度結(jié)構(gòu))．

(2)

(3)

(4)

1.2 漸近均勻化方法及其新格式

如前所述，傳統(tǒng)理論方法假設(shè)太多且不具有精確性，而數(shù)值模擬需要耗費(fèi)大量的精力．本文引入的漸近均勻化方法恰恰克服了上述兩弊端，是兩者較好的結(jié)合，在保證精度的同時(shí)也提高了分析效率[14]．板殼結(jié)構(gòu)其他兩個(gè)方向的尺寸明顯大于厚度尺寸，在20世紀(jì)，通過彈性理論求解板殼的力學(xué)行為得到了重要的發(fā)展．而對(duì)于具有周期性結(jié)構(gòu)的板殼結(jié)構(gòu)，近半個(gè)世紀(jì)發(fā)展完善的均勻化方法為分析周期性板殼結(jié)構(gòu)提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解方法[14-15]．如圖4(a)所示為典型的周期性板殼結(jié)構(gòu)，其中單胞結(jié)構(gòu)如圖4(b)所示；α1、α2和γ為對(duì)應(yīng)于單胞的正交曲線坐標(biāo)系．板殼的厚度遠(yuǎn)小于整體尺寸，并假定微觀單胞尺寸特征最小量為δ．因此，單胞Ω尺寸通過表達(dá)式(5)、(6)定義．其中δh1和δh2為單胞中面尺寸，F(xiàn)為單胞上下加強(qiáng)部分幾何函數(shù)表達(dá)式．

(a)周期性板殼結(jié)構(gòu)

-δh1/2<α1<δh1/2
-δh2/2<α2<δh2/2
γ-<γ<γ+

(5)

γ-=±δ/2±δF±(δh1/2，δh2/2)

(6)

引入快坐標(biāo)ξ=(ξ1，ξ2)，z，如式(7)所示．其中A1、A2為中面坐標(biāo)兩個(gè)方向上的拉梅系數(shù)．位移與應(yīng)力攝動(dòng)展開如式(8)、(9)所示．

ξ1=α1A1/δh1
ξ2=α2A2/δh2
z=γ/δ

(7)

(9)

考慮到結(jié)構(gòu)基于能量表達(dá)的控制方程式(10)，將攝動(dòng)展開量代入方程中，并考慮等價(jià)攝動(dòng)量對(duì)應(yīng)的系數(shù)必須相等，通過系列推導(dǎo)可以得到位移與應(yīng)力的表達(dá)式為式(11)．

?v(x)∈VΩε

(10)

(11)

基于單胞上的平衡方程求得等效后均勻化板的荷載與應(yīng)變表達(dá)式(12)，其中定義〈·〉的運(yùn)算形式如式(13)所示，相應(yīng)的剛度陣表達(dá)形式為式(14)．其中A為拉伸剛度系數(shù)，B為耦合剛度系數(shù)，D為彎曲剛度系數(shù)．

(12)

(13)

(14)

(15)

同時(shí)通過簡化坐標(biāo)及數(shù)值計(jì)算的方法可以得到結(jié)構(gòu)均勻化后的等效板殼剛度系數(shù)表達(dá)式為

(16)

其中ε0與ε*為單胞單位應(yīng)變場與周期性條件下對(duì)應(yīng)的位移場．進(jìn)一步根據(jù)文獻(xiàn)[13]對(duì)漸近均勻化格式進(jìn)行調(diào)整，如式(17)所示．具有周期性單胞結(jié)構(gòu)的板殼等效剛度系數(shù)表達(dá)式如式(18)所示．其中f0λμ和f*λμ分別為單位應(yīng)變對(duì)應(yīng)單胞節(jié)點(diǎn)反作用力和周期性邊界條件對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)反作用力．

(17)

(18)

首先對(duì)單胞施加單位位移對(duì)應(yīng)的位移場χ0(λμ)，并通過商業(yè)有限元軟件提取單胞上節(jié)點(diǎn)反作用力f0λμ；然后，對(duì)單胞施加周期性邊界條件，將上步所得節(jié)點(diǎn)反作用力作為荷載f0λμ施加其上，得到單胞特征位移場χ*λμ；根據(jù)特征位移場求得其對(duì)應(yīng)的單胞結(jié)構(gòu)反作用力f*λμ．最后依據(jù)式(18)求得周期性均勻化板殼的等效剛度系數(shù)．

2 波紋板等效力學(xué)性能分析

波紋板常見的截面形式如圖5所示．在提供相同抗彎剛度前提下，波浪型(圖5(a))相比于鋸齒型(圖5(b)～(d))波紋板節(jié)省材料；但是波浪型波紋板相較于鋸齒型制造工序復(fù)雜．本章選取經(jīng)典的波紋板截面圖5(a)、(b)進(jìn)行等效剛度計(jì)算以及尺寸敏感性分析，建立波紋板精確模型進(jìn)行誤差分析對(duì)比．

(a)波浪型波紋板

2.1 基于波紋單胞的等效剛度參數(shù)計(jì)算

(a)波浪型波紋板

對(duì)于單位應(yīng)變場對(duì)應(yīng)的位移場，不同的單元類型其相應(yīng)的位移場不同，當(dāng)劃分單胞采用實(shí)體單元時(shí)，其單位應(yīng)變對(duì)應(yīng)的位移場如式(19)所示；當(dāng)采用殼體單元時(shí)，由于各個(gè)節(jié)點(diǎn)包含6個(gè)自由度，其單位應(yīng)變對(duì)應(yīng)的位移場如式(20)所示．

(19)

(20)

變換格式后的漸近均勻化方法，有利于借助商業(yè)有限元軟件為黑箱子實(shí)現(xiàn)快速運(yùn)算，避免了以前格式煩瑣的編程實(shí)現(xiàn)．本文基于漸近均勻化理論方法，考慮有限元軟件ANSYS為使用者提供的便捷腳本語言APDL，不僅方便單胞有限元建模，同時(shí)相關(guān)的公式運(yùn)算均能依靠二次開發(fā)實(shí)現(xiàn)，無須引入其他高級(jí)編程語言便可實(shí)現(xiàn)波紋結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能參數(shù)的求解．依據(jù)前述波浪型與鋸齒型單胞幾何尺寸建立有限元模型，如圖7、8所示，最后求得的兩種波紋板等效力學(xué)性能參數(shù)如表1、2所示．

(a)實(shí)體單元

(a)實(shí)體單元

表1 波浪型波紋板等效剛度參數(shù)Tab.1 Equivalent stiffness parameters of wave corrugated plate

為了驗(yàn)證漸近均勻化方法應(yīng)用于波紋結(jié)構(gòu)的有效性，本文引用現(xiàn)有的分析方法如代表體元等效方法(RVE)[16]以及簡化理論分析方法作為對(duì)比．由結(jié)果數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)代表體元等效方法與漸近均勻化方法所求結(jié)果誤差不到5%，但兩者結(jié)果同經(jīng)驗(yàn)公式相比誤差相對(duì)較大．同時(shí)基于漸近均勻化方法求解得等效剛度系數(shù)較代表體元等效方法結(jié)果大．而基于殼體單元的計(jì)算結(jié)果同基于實(shí)體單元相比誤差更小，但殼體單元的采用大大地提升了效率．

表2 鋸齒型波紋板等效剛度參數(shù)Tab.2 Equivalent stiffness parameters of sawtooth corrugated plate

2.2 單胞尺寸敏感性分析

從對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)漸近均勻化方法推導(dǎo)的過程中，單胞尺寸選取對(duì)結(jié)果的影響起著主要的作用．為準(zhǔn)確選擇單胞的形狀與尺寸，從而保證所選取的單胞能夠較好地代表結(jié)構(gòu)的力學(xué)基本性能參數(shù)[17]，本節(jié)以波浪型波紋板為例，選取不同波紋周期和寬度的單胞進(jìn)行尺寸效應(yīng)研究．

選取寬度一定，包括不同周期數(shù)目的單胞結(jié)構(gòu)如圖9所示，通過漸近均勻化方法等效求解得到其等效剛度參數(shù)如表3所示．在保持寬度一定的條件下，單胞所包含的周期逐漸增大時(shí)，除了垂直于波紋截面方向等效剛度不發(fā)生明顯變化外，其他等效力學(xué)性能參數(shù)均隨著周期數(shù)目的增加而減小；分析其原因?yàn)楫?dāng)單胞包含的最小單元越多，其力學(xué)性能越柔順，同時(shí)越能體現(xiàn)真實(shí)大尺度波紋板的力學(xué)行為．

(a)1個(gè)周期

表3 波紋板等效剛度參數(shù)隨周期數(shù)目的變化Tab.3 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different cycles

波紋周期一定，不同寬度的單胞結(jié)構(gòu)如圖10所示．當(dāng)寬度逐漸增大時(shí)，從表4可以發(fā)現(xiàn)等效力學(xué)性能參數(shù)幾乎不發(fā)生變化．這是因?yàn)閷挾确较蛏喜牧虾蛶缀涡螤顩]有明顯的變化，因此寬度對(duì)單胞力學(xué)性能幾乎不產(chǎn)生任何影響．

(a)小寬度

表4 波紋板等效剛度參數(shù)隨寬度的變化Tab.4 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different widths

選定寬度同波紋周期長度相等的波紋結(jié)構(gòu)作為周期單胞時(shí)，不同比尺的單胞結(jié)構(gòu)如圖11所示．通過表5可以發(fā)現(xiàn)隨著單胞尺寸兩個(gè)方向同比例逐漸增大，等效剛度參數(shù)仍然呈現(xiàn)減小的趨勢．但是，相對(duì)寬度固定、周期數(shù)增加的情況，波紋板等效力學(xué)性能參數(shù)變化程度較弱，特別是中比尺與大比尺之間的結(jié)果相差較?。?/p>

(a)小比尺

表5 波紋板等效剛度參數(shù)隨比尺的變化Tab.5 Equivalent stiffness parameters of corrugated plate with different scales

綜上3種敏感性分析，為了更準(zhǔn)確地通過漸近均勻化方法等效波紋結(jié)構(gòu)力學(xué)性能參數(shù)，單胞應(yīng)選取2～3個(gè)周期波數(shù)為宜；而寬度方向的尺寸以不小于1個(gè)波長為宜，計(jì)算求解時(shí)綜合計(jì)算工作量確定單胞的幾何尺寸與形狀．

3 波紋板等效模型分析及對(duì)比

為了驗(yàn)證等效方法的準(zhǔn)確性，本章建立真實(shí)波紋板的精細(xì)有限元模型，在基本力學(xué)行為下分析對(duì)比精細(xì)模型與等效模型的變形響應(yīng)，進(jìn)一步確定漸近均勻化方法的適用范圍．

3.1 等效有限元模型

憑借漸近均勻化方法求解的波浪型與鋸齒型等效剛度參數(shù)并不能直接應(yīng)用于等效數(shù)值模型中．依據(jù)幾何特點(diǎn)可知兩種波紋板等效結(jié)構(gòu)表征為典型的正交各向異性，其力與位移的關(guān)系表達(dá)式如式(21)所示．根據(jù)復(fù)合材料板殼結(jié)構(gòu)理論相關(guān)公式(22)～(24)，以波浪型波紋板為例等效各向異性殼的厚度t可通過式(25)求解，通過取平均計(jì)算可以得到殼體的厚度t=5 mm；材料本構(gòu)關(guān)系通過前述參數(shù)可以求得，如式(26)所示．

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.2 基本力學(xué)行為對(duì)比分析

依據(jù)上述求得的材料參數(shù)借助商業(yè)有限元軟件建立長寬均為50 cm的波紋板等效數(shù)值模型以及精細(xì)模型，相應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與前述單胞模型相同．

實(shí)際中應(yīng)用的波紋板，在節(jié)省材料的同時(shí)能夠提升截面抗彎剛度．為了驗(yàn)證實(shí)際波紋板與等效各向異性板的抗彎能力，本文建立經(jīng)典的四邊固支板模型，在整個(gè)結(jié)構(gòu)中心處施加壓力荷載．在集中力作用下變形響應(yīng)如圖12、13所示，在100 N 荷載作用下，結(jié)構(gòu)中心位置的位移響應(yīng)分別為3.567 mm和3.498 mm，兩者之間的誤差為1.93%．可見等效板能夠模擬原始波紋板的宏觀位移響應(yīng)．但是在離中心荷載位置較遠(yuǎn)的區(qū)域，等效模型不能較好地模擬其變形行為．這是因?yàn)榈刃ЯW(xué)性能參數(shù)等效時(shí)忽略了耦合行為對(duì)其造成的影響．

圖12 波紋板結(jié)構(gòu)變形響應(yīng)Fig.12 Deformation response of corrugated plate structure

圖13 等效板結(jié)構(gòu)變形響應(yīng)Fig.13 Deformation response of equivalent corrugated plate

4 結(jié) 論

(1)漸近均勻化方法能夠快速有效地實(shí)現(xiàn)波紋結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能求解，同傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)公式與代表體元等效方法相比，誤差不到2%．

(2)通過單胞尺寸效應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，單胞尺寸和形狀的選取對(duì)等效性能參數(shù)的影響明顯，單胞包含的最小單元越多，其結(jié)果越接近真實(shí)情況．建立的單胞包含周期以2～3個(gè)為宜，而寬度方向不低于1個(gè)周期長度即可．

(3)當(dāng)開展基于波紋單胞的宏觀結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析時(shí)，基于漸近均勻化方法的等效力學(xué)性能分析能夠在保證精度的前提下提高分析效率．

(4)對(duì)于相對(duì)精細(xì)的有限元模型，其等效模型的力學(xué)性能參數(shù)通過線性位移場假設(shè)求得，因此無法準(zhǔn)確地模擬完整模型的非線性行為．

綜上所述，漸近均勻化方法為波紋結(jié)構(gòu)的分析及設(shè)計(jì)提供了一種新的高效求解方法，為工程設(shè)計(jì)制造提供了有益參考．