張輝 李應(yīng)岐 方曉峰

摘? 要：基于機器人終端TCP經(jīng)歷的空間三個不共線的點，利用兩種算法得到了通過此三點的空間圓弧圓心坐標的解析表達式，完善了已有文獻的方法和結(jié)論;同時對于給定空間三點的坐標值，利用新提出的算法得到了圓心坐標的值;最后給定三組三點坐標值進行MATLAB運行平均時間比較，新提出的算法運行效率最高，優(yōu)于已有文獻提出的算法可作為首選算法，為機器人利用示教過程進行現(xiàn)場應(yīng)用提供了有效支撐。

關(guān)鍵詞：機器人? 圓弧? 圓心? MATLAB? 向量積

中圖分類號：TP242? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）05（c）-0021-04

Center Algorithm of Three-Points arc in Robot Space and Its Realization with MATLAB

ZHANG Hui? LI Yingqi? FANG Xiaofeng

（Department of Basic Courses， Rocket Force University of Engineering， Xi'an， Shaanxi Province， 710025 China ）

Abstract： Based on the three non-collinear points in the space experienced by the robot terminal TCP， using two algorithms， the analytic expression of the space arc center coordinates through the three points is obtained， which improves the methods and conclusions of the existing literature; at the same time， for a given coordinate value of the three points in the space， the value of the center coordinates is obtained by using the new algorithm; finally， for the given three groups of three-point coordinate values， the average running time of MATLAB is compared. The new algorithm has the highest running efficiency， which is better than the algorithm proposed in the existing literature. It can be used as the preferred algorithm， and provides effective support for the robot to use the teaching process for field application.

Key Words： Robot; Arc; Center of circle; MATLAB; Vector product

在機器人編程的示教過程中，當曲線軌跡為空間圓弧時，除了示教圓弧起點（機器人當前位置）和終點外，至少還需要圓心或者圓弧上的一中間點。事實上，圓心往往是比較難給定的，因此機器人終端TCP的軌跡圓弧通常由示教的圓弧起點、中間點和圓弧終點決定，因而需要研究空間任意三點所確定的空間圓弧的圓心，進而可以得到空間圓弧的半徑和一般方程（或參數(shù)方程）。基于上述需求，該文研究機器人終端TCP通過空間任意不共線三點所確定空間圓弧的實現(xiàn)問題，關(guān)鍵是確定圓心的坐標，為機器人利用示教過程進行現(xiàn)場應(yīng)用提供了有效支撐。

1? 圓心的算法

根據(jù)機器人終端TCP[1-2]工作特點，現(xiàn)需要得到圓心M的坐標x0、y0和z0的解析表達式，下面首先介紹兩種算法進行求解并給出具體的過程和結(jié)果，進而可得半徑R的解析表達式。

1.1 利用圓心到空間三點的距離相等

利用圓心M到空間三點的距離相等和四點A、B、C和M都在空間平面π上這兩個特性，得到了空間圓弧 的圓心M的坐標[3]，但對于圓弧Γ所處的平面π平行于某個坐標面上需要特殊處理給機器人帶來了不便。為了有效解決此問題，可以利用空間四點A、B、C和M共面的充分必要條件為三向量、和共面這個重要的結(jié)論，即有混合積[4]?；谏鲜龇治?，下面給出此種方法詳細的求解過程。

1.2 利用圓心可由兩條邊的垂直平分線的交點確定

對于某具體問題，三個空間點、和坐標的值是已知給定的，可將三點坐標值代入到方程組（7）中得到關(guān)于參數(shù)t和r的三個線性方程的數(shù)值方程組，然后最后利用solve函數(shù)求解參數(shù)t和r的數(shù)值解，最后代入式（8）即得圓心的坐標。

1.3 利用克萊姆法則

需注意的是，已知空間不共線的三個點就可以得到一個空間三角形。而空間三角形在工程技術(shù)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[7-10]?？臻g三角形的五心（包括重心、內(nèi)心、垂心、外心和旁心）是空間解析幾何[11-12]中重要的知識點。如何判定某點是空間三角形的五心是一個較為復(fù)雜的研究問題，同時能否通過空間三角形三個頂點的坐標來確定五心坐標的解析表達式也是值得關(guān)注的問題。以上分析研究給出了空間三角形外心坐標求解方法和具體表達式，旨在對空間三角形的外心有更深入的理解和掌握。

2? 算法實例比較

以上對于給定空間三個點的坐標值，我們利用三種方法求得了空間三點A、B和C所確定的空間圓弧圓心M的坐標的值。此時一個重要的問題是：三種算法中哪種方法的運行時間最短，算法效率較高？考慮空間三組三點坐標，第1組為（0，0，0）（1，1，1）和（2，2，9），第2組為（2，5，9）（5，6，8）和（-6，8，10），第3組為（-2，-4，8）（8，5，-2）和（4，80，70），三種算法運行的平均時間結(jié)果見表1。

由表1可得，對于每一組三點坐標，算法2的運行時間最長，算法1的運行時間次之，而算法3運行時間最短，這是因為算法1需要求解逆矩陣，而算法2需用solve函數(shù)求線性方程組，這些都會增加MATLAB運行時間。通過實例驗證，可以發(fā)現(xiàn)該文提出的算法3（克萊姆法則）的運算效率最高，優(yōu)于文獻[3]和[5]提出的算法可作為首選算法。因此，在機器人的示教過程中推薦算法3來求解過空間三點的空間圓弧的圓心坐標，為機器人開展示教過程提供了應(yīng)用支撐。

3? 結(jié)語

該文基于機器人終端TCP經(jīng)歷的空間三個不共線的點，利用兩種算法得到了通過此三點的空間圓弧圓心坐標的表達式，完善了已有文獻的方法和結(jié)論;同時對于給定空間三點的坐標值，利用新提出的算法得到了圓心坐標的值，最后利用MATLAB運行進行平均時間比較說明。該文新提出的算法運行效率最高，優(yōu)于前兩種算法，為機器人利用示教過程進行現(xiàn)場應(yīng)用提供了有效支撐。

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