王衛(wèi)東

摘 要 數(shù)學(xué)拓展課是對(duì)教材中“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的有效補(bǔ)充，其意在豐富拓展課程資源、滲透數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)拓展課時(shí)，可遵循以下六個(gè)原則：科學(xué)性原則、實(shí)踐性原則、趣味性原則、整體性原則、開放性原則及發(fā)展性原則?；谝陨显O(shè)計(jì)原則，例舉了三種常用的設(shè)計(jì)路徑：延伸教材內(nèi)容，完善認(rèn)知體系;引入實(shí)際問題，激發(fā)多向思維;聚焦數(shù)學(xué)發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)造能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)拓展課 綜合與實(shí)踐? 設(shè)計(jì)原則? 設(shè)計(jì)路徑

數(shù)學(xué)拓展課屬于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，它是課程校本化實(shí)施的重要載體，是對(duì)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的有效補(bǔ)充，其意在豐富拓展課程資源、滲透數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。作為校本課程資源，數(shù)學(xué)拓展課沒有系統(tǒng)的、配套的教學(xué)素材，因此，“教什么”便成為數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)首先要面臨的難題。為了解決這個(gè)問題，一方面，教師要充分運(yùn)用好教材中的資源，在深刻解讀不同版本教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學(xué)需要，對(duì)教材中的素材或進(jìn)行深度挖掘，或進(jìn)行合理補(bǔ)充，或進(jìn)行重新整合;另一方面，教師要充分挖掘教材以外的資源，可以是數(shù)學(xué)發(fā)展中的歷史故事，可以是事關(guān)當(dāng)下的熱門科技，還可以是生活中遇到的現(xiàn)實(shí)問題，等等。

一、數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)原則

雖然數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)資源來源寬泛、內(nèi)容豐富，但很多資源往往不能直接加以引用，這就需要教師從教育教學(xué)的角度將它們分門別類、取舍整合。為了更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，在開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課時(shí)，我們應(yīng)遵循以下幾個(gè)設(shè)計(jì)原則。

1.科學(xué)性原則

數(shù)學(xué)教材中內(nèi)容的選擇與編排是經(jīng)過眾多專家、知名教師審核確定的，其科學(xué)性與合理性能得到最大程度的保證。但處于教材范圍之外的數(shù)學(xué)拓展課，它的設(shè)計(jì)則帶有一定的“草根性”，為此，教師要選取渠道正規(guī)、論證權(quán)威的教學(xué)資源，確保教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)性。

2.實(shí)踐性原則

作為教材的有效補(bǔ)充，拓展課不受教學(xué)進(jìn)度的限制，學(xué)生將會(huì)有更多的時(shí)間與機(jī)會(huì)參與實(shí)踐活動(dòng)中來。教師要發(fā)揮引領(lǐng)者的作用，對(duì)學(xué)生的實(shí)踐行為給予適時(shí)的指導(dǎo)，從“想做”到“能做”，從“會(huì)做”到“樂做”，體驗(yàn)到實(shí)踐活動(dòng)帶來的快樂。

3.趣味性原則

兒童是學(xué)習(xí)的主體，拓展課同其他類型的課一樣，都應(yīng)尊重兒童的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。為此，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)拓展課時(shí)，要引入生動(dòng)活潑、貼近兒童的素材;在加工素材時(shí)，要力求用兒童的語言來表達(dá)數(shù)學(xué)，將教學(xué)活動(dòng)潤物無聲地、有趣地加以推進(jìn)。

4.整體性原則

當(dāng)下社會(huì)是信息爆炸的社會(huì)，如何將眾多的信息甄選取舍、有機(jī)整合呢？這離不開整體性的設(shè)計(jì)考量。在組織素材時(shí)，我們可以圍繞教學(xué)目標(biāo)設(shè)定一條教學(xué)主線，或呈現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，或展現(xiàn)事物間遞進(jìn)的邏輯關(guān)系，或引領(lǐng)知識(shí)、思想、智慧的逐步提升。借力教學(xué)主線能篩選、貫串、統(tǒng)領(lǐng)、協(xié)調(diào)各部分教學(xué)資源。

5.開放性原則

數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)內(nèi)容是開放的，是對(duì)現(xiàn)行教材的補(bǔ)充與豐富，以此來對(duì)接學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn);也可以關(guān)注實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題，以此來體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值;還可以從數(shù)學(xué)發(fā)展史里汲取素材，以此來感悟文化的魅力與精神的力量。

6.發(fā)展性原則

數(shù)學(xué)拓展課理應(yīng)突顯數(shù)學(xué)中的智慧，聚焦理性精神與創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、思辨反省、概括總結(jié)的過程中實(shí)現(xiàn)智慧的萌發(fā)與生長，從而為培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)添磚加瓦，為學(xué)生的終生發(fā)展定基石。

二、數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)路徑

不同的數(shù)學(xué)拓展課承載著不同的學(xué)習(xí)任務(wù)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的不同、資源類型的不同，可以擬定富有個(gè)性化的設(shè)計(jì)路徑。下面，筆者基于數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)原則，例談三種常用的設(shè)計(jì)路徑，以求起到拋磚引玉的作用。

1.延伸教材內(nèi)容，完善認(rèn)知體系

受到認(rèn)知能力以及教學(xué)時(shí)間的局限，數(shù)學(xué)教材在編排一些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，難免會(huì)存在體系不夠完整，內(nèi)容不夠豐富的現(xiàn)象，而這正好為數(shù)學(xué)拓展課的教學(xué)留下了很好的“接口”。通過數(shù)學(xué)拓展課的延伸，可引領(lǐng)學(xué)生從新的視角重新審視以往的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而更深刻地去理解知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步豐富、完善學(xué)生的認(rèn)知體系。

【案例】“長方體與正方體中的點(diǎn)、線、面、體”

1.正方體中的點(diǎn)、線、面、體

（1）出示棱長為1厘米、2厘米、3厘米的正方體，完成下表。

（2）觀察這些正方體點(diǎn)、線、面、體的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？

2.長方體中的點(diǎn)、線、面、體

（1）正方體與正方體之間的規(guī)律，對(duì)長方體來說，還適用嗎？請(qǐng)舉例說明。

（2）現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

指出：只要兩個(gè)長方體的形狀一樣，它們也存在著上述規(guī)律。

3.運(yùn)用關(guān)系解決問題

粉刷一個(gè)小長方體需要用油漆0.4千克，照這樣計(jì)算，粉刷長、寬、高都是它的2倍的大長方體，需要油漆多少千克？

……

“長方體與正方體”是蘇教版六年級(jí)上冊的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)正方體（長方體）棱長變化引起的表面積、體積變化，認(rèn)識(shí)比較模糊。為什么會(huì)這樣呢？研讀教材時(shí)不難發(fā)現(xiàn)：本單元缺少對(duì)點(diǎn)、線、面、體的橫向與縱向的綜合比較，沒能揭示其中蘊(yùn)藏的聯(lián)系。為了彌補(bǔ)這樣的缺憾，筆者帶領(lǐng)學(xué)生先研究正方體，從不同的空間維度理解點(diǎn)、線、面、體之間的變化關(guān)系，即當(dāng)“線”擴(kuò)大（或縮?。﹏倍時(shí)（n不為0），“面”會(huì)擴(kuò)大（或縮?。﹏2倍，“體”會(huì)擴(kuò)大（或縮小）n3倍。在此基礎(chǔ)上研究長方體，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有長方體之間都存在上述規(guī)律時(shí)，引發(fā)思辨，學(xué)生感悟到相似體的特殊性及規(guī)律的局限性，從而貫通了知識(shí)間的聯(lián)系，在豐富策略的同時(shí)完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)了整體思維。

2.引入實(shí)際問題，激發(fā)多向思維

在數(shù)學(xué)拓展課中引入生活中的現(xiàn)實(shí)問題，可讓學(xué)習(xí)活動(dòng)更鮮活、更生動(dòng)。用數(shù)學(xué)的眼光來觀察生活，用數(shù)學(xué)的思維來解決問題，用數(shù)學(xué)的語言來描述世界，通過現(xiàn)實(shí)情景中問題的解決，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)是有用的，與此同時(shí)，他們也認(rèn)識(shí)到解決問題的策略是多樣的，解決問題的途徑是多元的，以此來激發(fā)他們的多向思維。

【案例】“一片銀杏葉有多大”

一片銀杏葉的面積大約有多大？怎樣測量呢？

1.數(shù)出面積

用透明的方格紙（每個(gè)小方格邊長為1厘米），把它覆蓋在一片銀杏葉上，根據(jù)“整格的按整格算，不滿整格按半格算”的計(jì)算方法，數(shù)出葉子的面積。

2.算出面積

依據(jù)皮克定理“多邊形面積=多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)+多邊形邊上格點(diǎn)數(shù)÷2-1”，算出面積。

3.量出面積

選出10片差不多大小的銀杏葉，測量出厚度。把它們放入量杯中測量出總體積，用總體積除以厚度，得出了底面積，即葉子的面積。

4.稱出面積

取厚的紙片，在上面描出一片銀杏葉的輪廓后剪下來。在同樣厚的紙片上剪出若干個(gè)邊長為1厘米的小方格。在天平的一邊放上樹葉狀的厚紙片，在天平的另一邊不斷添加小方格狀的厚紙片，直至天平的兩邊平衡。此時(shí)，根據(jù)小方格的個(gè)數(shù)就可知曉銀杏葉的面積大小。

5.推出面積

銀杏葉大小可能不一樣，但形狀大致差不多，即它們之間存在著相似形的關(guān)系。利用兩片葉子中“線”的關(guān)系（3：2）可推理出“面”的關(guān)系（32：22），接下來就可以根據(jù)一片已知面積的葉子來推算另一片葉子的面積了。

在學(xué)習(xí)完平行四邊形、三角形等平面圖形的面積計(jì)算公式之后，教材引入了不規(guī)則圖形面積的測量方法，即“數(shù)格子”的方法。我們由此受到啟發(fā)，求不規(guī)則平面圖形的面積，還有其他方法嗎？為此，筆者從“一片銀杏葉的面積大約是多少？怎樣測量呢？”引發(fā)學(xué)生思考與討論，帶領(lǐng)他們經(jīng)歷不同的探索過程。豐富的解決策略沖破了固有思維的局限，知識(shí)從單一到綜合、方法從一元到多元、思路從禁錮到開放，學(xué)生深刻地體驗(yàn)到了策略運(yùn)用的靈活性，真切地感受到了從不同角度思考問題帶來的成功與喜悅。

3.聚焦數(shù)學(xué)發(fā)展，培養(yǎng)創(chuàng)造能力

數(shù)學(xué)發(fā)展史是數(shù)學(xué)拓展課的資源寶庫，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與認(rèn)知水平，可引入適合的數(shù)學(xué)歷史素材，介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的由來與發(fā)展，“見證”數(shù)學(xué)創(chuàng)造的巔峰時(shí)刻，讓學(xué)生在浸潤數(shù)學(xué)文化的同時(shí)樹立創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)造能力。

【案例】“莫比烏斯環(huán)”的教學(xué)

1.什么是莫比烏斯環(huán)

介紹莫比烏斯環(huán)的由來及制作方法。

2.一剪莫比烏斯環(huán)

學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)：把莫比烏斯環(huán)的環(huán)寬平均分成兩份，即在的地方剪開，可以得到一個(gè)大紙環(huán);把莫比烏斯環(huán)的環(huán)寬平均分成三份，在莫比烏斯環(huán)的地方剪開，可以得到兩個(gè)相連的小紙環(huán)。

3.再剪莫比烏斯環(huán)

順著剛才的實(shí)驗(yàn)及結(jié)論，接下來，你又會(huì)有怎樣的猜想呢？

學(xué)生猜想：如果在莫比烏斯環(huán)的、、處剪開，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？如果把一張長方形紙條的一端旋轉(zhuǎn)540°，再把兩端粘接起來，情況又會(huì)怎樣呢？

對(duì)莫比烏斯環(huán)的教學(xué)，筆者沒有止步于數(shù)學(xué)文化的簡單介紹，而是關(guān)注了文化背后的創(chuàng)造意義。一個(gè)個(gè)大膽的猜想點(diǎn)燃了探索的熱情、激發(fā)了創(chuàng)造的潛能。

對(duì)數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)而言，凸顯拓展性固然重要，但我們也不要忽視了拓展課中的“數(shù)學(xué)味”，要重視拓展資源背后的數(shù)學(xué)思想與方法，重視拓展課中蘊(yùn)藏的反思能力與創(chuàng)造能力、批判精神與理性精神，這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)拓展課的育人價(jià)值。

[責(zé)任編輯：陳國慶]