夏崢嶸，李榮青，童 悅， 徐小雪

(淮南師范學院 物理系 安徽 淮南 232038)

兩個頻率相差不大、振動方向相同的簡諧振動在空間疊加時，合振動的振幅隨時間作周期性變化，這一現(xiàn)象稱為“拍”現(xiàn)象. 如： 兩個固有頻率相差不大的音叉發(fā)出的聲波進行疊加時，會聽到“嗡嗡”的聲音，就是聲音產生的“拍”現(xiàn)象. “拍”現(xiàn)象被廣泛應用于光學測量[1-2]、傳感技術[3-4]和機械動力系統(tǒng)[5]等領域,理解“拍”現(xiàn)象的形成原因和特點有利于加深學習者對其本質的認識.近年來，對“拍”現(xiàn)象教學研究主要集中在 “拍”現(xiàn)象的實驗展示[6-8]和合振動包絡曲線為零處前后半振動損失討論[9-11]兩個方面.在此研究基礎上，本文針對“拍”現(xiàn)象這一教學內容，運用旋轉矢量圖[12,13]的優(yōu)點，直觀形象地分析 “拍”現(xiàn)象振動規(guī)律的構建過程，解釋拍現(xiàn)象中振幅變化特點及相位突變的形成原因.這種分析方法能直觀呈現(xiàn) “拍”現(xiàn)象的物理特點，幫助學習者深刻理解“拍”現(xiàn)象的本質，有效提高課堂教學效果.

1 “拍”現(xiàn)象的一般教學方法

現(xiàn)設兩個振動方向相同，頻率相差不大的簡諧振動方程分別為

x1=A1cos (ω1t+φ10)

(1)

x2=A2cos (ω2t+φ20)

(2)

其中A1、A2分別為兩個分振動的振幅，ω1、ω2為兩個分振動的頻率，φ10、φ20分別為兩個分振動的初相.為研究問題的方便，設振幅A1=A2=A0，初位相φ10=φ20=φ0，且ω1>ω2.根據(jù)三角函數(shù)運算法則可知兩個簡諧振動疊加形成的合振動為

(3)

這種合振動的振幅不再是一恒定值，而隨時間作周期性變化的現(xiàn)象，稱之為“拍”現(xiàn)象.其振幅變化規(guī)律為：

(4)

(5)

(6)

通過三角函數(shù)的運算能從理論上簡潔地獲得 “拍”現(xiàn)象的變化規(guī)律，但是對“拍”現(xiàn)象的形成過程機制缺少直觀形象的展示和分析，學生對“拍”現(xiàn)象的認知局限在抽象的理論公式層面，缺少對其變化規(guī)律及其本質的深刻理解.而旋轉矢量圖示法因其直觀、形象的特點被廣泛地應用于機械振動和機械波的教學研究中.下面我們將通過旋轉矢量圖示法具體直觀地呈現(xiàn)“拍”現(xiàn)象的形成過程，從而加深對“拍”現(xiàn)象中變化規(guī)律的深刻認識.

2 “拍”現(xiàn)象的直觀教學方法

2.1 旋轉矢量圖示法

如圖1所示，畫坐標軸OX，從原點O點作一矢量A(稱為振幅矢量)，矢量的長度等于振幅A，矢量初始與Ox軸之間的夾角為簡諧振動的初相φ0.然后使得振幅矢量A在平面內以等于圓頻率w的角速度繞O點逆時針勻速旋轉，經過t時間振幅矢量轉過wt的角度，與Ox軸之間的夾角為(ωt+φ0)，此時的夾角即為簡諧振動在t時刻的相位.那么振幅矢量A的端點在Ox軸上投影點的位移恰好為簡諧振動的位移，即

x=Acos (ωt+φ0)

(7)

故振幅矢量A任一時刻在x軸上的投影恰好描述了一個簡諧振動.

圖1 簡諧振動的旋轉矢量圖表示法

2.2 “拍”現(xiàn)象的旋轉矢量圖示法

在簡諧振動的旋轉矢量圖示法中，式(1)、(2)中兩個簡諧振動的振幅矢量A1和A2分別以角速度ω1和ω2繞O點逆時針勻速轉動，如圖2所示.由于兩個分振動的角速度不同，導致兩個分振動的振幅矢量A1和A2之間的相對位置(即Δφ)隨時間周期性變化，合振動的振幅矢量大小也將隨時間作周期性變化，即形成“拍”現(xiàn)象.下面我們將以一個周期為例探討論“拍”現(xiàn)象中各物理量的變化規(guī)律.

圖2 “拍”現(xiàn)象形成的旋轉矢量圖

2.2.1 “拍”現(xiàn)象中合振幅的變化規(guī)律

初始時刻分振幅矢量之間的夾角Δφ為0，故此時合振幅A最大，為2A0；隨著時間的增大，分振幅矢量之間的夾角Δφ逐漸增大，合振幅逐漸減??；直至兩分振幅矢量之間的夾角Δφ為π時，合振幅A減至最小值0.同理，當分振幅矢量之間的夾角Δφ從π逐漸增大到2π時，其合振幅A又從0逐漸增大為2A0，此時振幅矢量完成了一個周期內的變化.

根據(jù)矢量合成法則，對矢量A1與A2進行矢量疊加，容易導出合振動的振幅矢量A的變化規(guī)律和式(4)相同，這里不再贅述.

2.2.2 “拍”現(xiàn)象的周期和頻率

振幅矢量A2相對A1以ω2-ω1角速度逆時針勻速轉動，其相對位置是周期性變化的，導致合振幅矢量的大小也呈周期性變化的規(guī)律，其相對位置變化的周期即為合振幅變化的周期，如圖2所示.根據(jù)圓周運動的規(guī)律可知振幅矢量A2相對于A1旋轉一周需要的時間，即

根據(jù)周期和頻率的關系即可得到拍頻率，形如式(6).

3 “拍”現(xiàn)象中相位突變的討論

根據(jù)旋轉矢量圖知當兩分振幅矢量的夾角Δφ=π時，其合振幅為0.而當Δφ=π-δ(δ→0)時，其合振動的相位在圖3(a)中標注的位置，其相位為

(8)

當Δφ=π+δ時，其合振動的相位在圖3(b)中標注的位置，其相位為

(9)

故在合振幅A=0前后，“拍”現(xiàn)象中合振幅矢量的相位發(fā)生了π的相位突變，相位突變在一定條件下會給合振動振幅矢量帶來半振動損失[6-8].

圖3 “拍”現(xiàn)象中合振幅矢量的相位突變

當然，根據(jù)旋轉矢量圖示的振幅和相位變化規(guī)律，很容易獲得“拍”現(xiàn)象的運動方程式(3)，這里不再詳述.

4 結束語

本文利用旋轉矢量的方法，借助幾何圖形直觀形象地呈現(xiàn)了“拍”現(xiàn)象中振幅變化的原因和規(guī)律，同時利用旋轉矢量圖清晰地展示了“拍”現(xiàn)象的周期、頻率及形成過程中相位變化的特點及相位突變的原因.這種方法在一定程度上有助于學生形成“拍”模型的清晰表象，讓學習者不僅掌握“拍”現(xiàn)象的變化規(guī)律，更能理解形成這些規(guī)律的本質原因，從而加深對“拍”現(xiàn)象相關知識的理解和認識，留下深刻永久的知識圖像.