司君如

摘要：對于非數(shù)學(xué)系的學(xué)生來說，大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，線性代數(shù)是最為抽象的一門課，從初等數(shù)學(xué)到線性代數(shù)的思維跨度比到微積分和概率統(tǒng)計的思維跨度要大得多。很多本科生會覺得這門課很難理解，內(nèi)容很抽象。本文從線性代數(shù)的三大基本概念出發(fā)，談一談在教學(xué)中如何由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生理解這門課的核心思想。

關(guān)鍵詞：線性方程組;矩陣;向量

《線性代數(shù)》課程是理工和經(jīng)管專業(yè)的本科生的必修課，一般放在大學(xué)一年級開設(shè)，在大學(xué)里它不需要先修課程。線性代數(shù)在自然科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如計算機學(xué)、密碼學(xué)、線性規(guī)劃等都以線性代數(shù)為理論和算法的基礎(chǔ)。十九大報告指出，“推動互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能和實體經(jīng)濟深度融合”，如果想從事數(shù)據(jù)分析或深度學(xué)習(xí)（人工智能的子領(lǐng)域）等新興行業(yè)，學(xué)好線性代數(shù)是先決條件之一。

縱觀國內(nèi)教材，涉及的內(nèi)容一般包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、相似對角化和二次型，有些教材會涉及到線性空間和線性變換。因為內(nèi)容抽象和課時有限等原因，往往很難在授課中講解線性空間和線性變換。一般我們可以把線性代數(shù)中的內(nèi)容分成三個層次：1.線性方程組、行列式、矩陣、向量;2.特征值和特征向量、二次型;3.線性空間、線性變換。在難度上，這三個層次的內(nèi)容是層層加深的。

從實際授課和學(xué)生學(xué)情來看，學(xué)生更擅長進行線性代數(shù)的數(shù)值計算，而對線性代數(shù)的理解往往不盡如意。因為就計算來說，《線性代數(shù)》只是規(guī)定了數(shù)字的算法或規(guī)則，這是連中學(xué)生也能勝任的事情。如果僅停留在計算層面，雖然應(yīng)付考試沒有問題，但是從長遠(yuǎn)來看，概念比計算更重要，很多考試得高分的同學(xué)仍然覺得并不能理解線性代數(shù)。在授課中，需要盡量從原理層和認(rèn)知層去抽繭剝絲，向?qū)W生揭示一些底層的更本質(zhì)的東西，而不是僅僅把定義告訴他們。

學(xué)生對線性代數(shù)的認(rèn)知也可以分成三個層次。第一層次，線性代數(shù)就是解線性方程組，而向量、矩陣和行列式都為之服務(wù);第二層次，線性代數(shù)的重點是向量，而向量是應(yīng)用廣泛的一個數(shù)學(xué)工具，如深度學(xué)習(xí)背后的核心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是基于向量的;第三層次，線性代數(shù)是關(guān)于變換的，核心是線性空間以及它上面的線性變換。在不同的認(rèn)知層次下，學(xué)生對概念的理解會不一樣，隨著認(rèn)知層次的提升，對概念的理解也會更深入，反之亦然。

在實際授課中，如何盡量去提升學(xué)生的認(rèn)知層次是一個很重要的問題。本文打算以線性代數(shù)的三大概念——線性方程組、矩陣和向量為例，談一談在教學(xué)過程中以提升學(xué)生的理解力為目標(biāo)，如何向?qū)W生盡可能的展示線性代數(shù)深刻的理念和獨特的思維方式，而不止于計算。

線性空間是研究空間里的向量（或點），線性變換是研究向量到向量的躍遷，線性變換是對線性空間里的向量進行作用，看看效果如何。我們從中學(xué)生都熟知的線性方程組出發(fā)，分成兩種路徑，最終這兩個路徑交織在一起。

本文以線性代數(shù)中的幾個基本概念為例，探討了教學(xué)過程中如何講授概念和概念之間的關(guān)系，并將這種關(guān)系盡量深刻的傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生感受到線性代數(shù)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)工具和語言，對支撐其它學(xué)科起到了不可忽略的作用。

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[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第六版），高等教育出版社，2014.

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[4]Gilbert Strang， Introduction to Linear Algebra （4th Ed.）， Wellesley Cambridge Press，2009.

杭州電子科技大學(xué)教育教學(xué)改革研究資助項目，項目名稱：卓越理工科《高等代數(shù)》教學(xué)創(chuàng)新研究與實踐，項目編號：YBJG202148。