何惠瓊

摘 要：在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)含參函數(shù)單調(diào)性的討論過(guò)程中，學(xué)生比較難理解，但它卻是近幾年高考熱點(diǎn)之一，為了幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)，本文作者通過(guò)信息技術(shù)手段，用思維導(dǎo)圖進(jìn)行歸納小結(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，并給高考復(fù)習(xí)的師生分享經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：含參函數(shù);單調(diào)性;思維導(dǎo)圖;導(dǎo)函數(shù);變號(hào)零點(diǎn)

思維導(dǎo)圖模擬了人腦放射性的思維過(guò)程，具有形象性、發(fā)散性、趣味性等優(yōu)點(diǎn)，更適合人的記憶與思考。思維導(dǎo)圖可以為學(xué)生提供思考框架，與數(shù)學(xué)教學(xué)有共通之處，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中引入思維導(dǎo)圖，有助學(xué)生建構(gòu)完整知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。高考復(fù)習(xí)進(jìn)入“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”模塊，在高考中利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)熱點(diǎn)，尤其是含參函數(shù)的單調(diào)性，這是考查分類(lèi)與整合思想的主要命題知識(shí)點(diǎn)，在導(dǎo)數(shù)解答題中學(xué)生常感到不知怎么討論。為了幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)，我利用思維導(dǎo)圖的形象性、發(fā)散性、趣味性等優(yōu)點(diǎn)，幫助學(xué)生搭建思維框架，進(jìn)行發(fā)散性思考，加深記憶程度，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率。下面以《利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性》為例進(jìn)行分析。

含參函數(shù)單調(diào)性的研究問(wèn)題，關(guān)鍵要素是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要有明確的解題原理，條理清晰，循序漸進(jìn)，脈絡(luò)清晰，以好題為載體，把解題思路與方法融會(huì)貫通，前期復(fù)習(xí)做好以下兩點(diǎn)：

1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的原理

x x∈D1 x∈D2

f'（x） f'（x）>0 f'（x）<0

f（x） 在區(qū)間D1上單調(diào)遞增 在區(qū)間D2上單調(diào)遞減

結(jié)論 區(qū)間D1為單調(diào)遞增區(qū)間 區(qū)間D2為單調(diào)遞減區(qū)間

2.熟練掌握求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的解題步驟（思維導(dǎo)圖如下）

前期內(nèi)容學(xué)后總結(jié)與反思：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)是什么？

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)也是如此。

思考：

1.在求單調(diào)性時(shí)遇見(jiàn)參數(shù)一定要分類(lèi)討論嗎？

2.求含參函數(shù)的單調(diào)性需要討論時(shí)，討論的關(guān)鍵點(diǎn)是什么呢？

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，討論是因?yàn)榉匠蘤’（x）=0的根不確定而造成的，討論的目的是化不確定為確定。下面來(lái)看以下四個(gè)題組：

題組（一）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

分析導(dǎo)函數(shù)

2.（看下面詳解）

小結(jié)題組（一）特征：含參但不需討論（方程f’（x）=0的根是確定的）

例解：2.（2014山東）定義域?yàn)椋?，+∞）

由k≤0可得ex-kx>0，由f’（x）=0，得x=2

x （0，2） 2 （2，+∞）

f'（x） - 0 +

f（x） ↘ 極小值 ↗

故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）

題組（二）討論下列函數(shù)的單調(diào)性

分析導(dǎo)函數(shù)

1.（看下面詳解）

小結(jié)題組（二）特征：含參需討論（f’（x）=0的根不確定），導(dǎo)函數(shù)為一次型。

例解：1.f（x）=ax-a-lnx定義域{x|x>0}

當(dāng)a≤0時(shí)f'（x）<0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，由f'（x）=0，得，

x （0，） （，+∞）

f'（x） + 0 +

f（x） ↘ 極小值 ↗

綜上，當(dāng)a≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

（解題反思：1.關(guān)注定義域的限制;2.遵循先特殊后一般的原則）

題組（三）討論下列函數(shù)的單調(diào)性

分析導(dǎo)函數(shù)

1.（看下面詳解）

小結(jié)題組（三）特征：含參需討論（f'（x）=0的根不確定），導(dǎo)函數(shù)為二次型，可因式分解。

例解：1.定義域

（2）當(dāng)a<0時(shí)，由g（x）=0可得

①，恒成立∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)

綜上，當(dāng)a≥0，f（x）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)-2

題組（四）討論下列函數(shù)的單調(diào)性

分析導(dǎo)函數(shù)

1.（看下面詳解）

2.（2018全國(guó)1理21）

小結(jié)題組（四）特征：含參需討論（f'（x）=0的根不確定），導(dǎo)函數(shù)為二次型，不可因式分解。

例解：1.定義域?yàn)椋?，+∞）

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

（2）當(dāng)a>0時(shí)，記，

① 時(shí)g（x）≥0，則f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增

②時(shí)的解為

綜上，當(dāng)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，f（x）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

下面用思維導(dǎo)圖進(jìn)行梳理總結(jié)：

其中求導(dǎo)后的思維展開(kāi)如下：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)是從導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)的在定義域中的存在問(wèn)題入手，關(guān)注定義域的限制，遵循先特殊后一般的原則;以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及大小關(guān)系為線(xiàn)索，借思維導(dǎo)圖直觀形象思維導(dǎo)向的一臂之力，共同領(lǐng)略導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的工具價(jià)值的魅力，更重要的是能幫助學(xué)生逐步提高邏輯思維能力，積累利用導(dǎo)數(shù)建模解決與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的極值、最值問(wèn)題的方法與套路，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合解題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]向校榮.基于思維導(dǎo)圖的“三圖一評(píng)”教學(xué)模式在中職高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用——以數(shù)列章節(jié)復(fù)習(xí)為例[J].職業(yè)教育（中旬刊），2019，18（09）：67-70.