秦 玲 黃美發(fā) 唐哲敏 劉廷偉

(①桂林信息科技學(xué)院，廣西 桂林 541004； ②桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

圓柱度誤差是機(jī)床軸類零件的一項(xiàng)重要幾何誤差，它在國標(biāo)和ISO中的嚴(yán)格評定方法是最小區(qū)域法[1-2]。

圓柱度最小區(qū)域的幾何判別條件比較復(fù)雜、條目繁多，標(biāo)準(zhǔn)中列舉了7條幾何判別條件，并指出還存在其他幾何判別條件變式。

為了減少圓柱度等形狀誤差的判別條件款項(xiàng)，丁喜波等和熊有倫從不同角度提出了基于幾何學(xué)的統(tǒng)一判別方法[3-5]，統(tǒng)一了各類形狀誤差的判別，但具體操作和計(jì)算仍較復(fù)雜，因此，目前幾何誤差的最小區(qū)域判別方法大多與具體評定算法相關(guān)。凸包法等計(jì)算幾何方法先歸納所有可能的包容區(qū)域，再通過枚舉找到其中最小者，即判別方法為數(shù)值上的“區(qū)域最小”[6-7]，這類方法能準(zhǔn)確判定最小區(qū)域，但不適合測點(diǎn)較多的情況。自適應(yīng)變動體法、搜索逼近、旋轉(zhuǎn)投影法等基于圓柱或同軸圓柱的幾何特性來構(gòu)造邊界圓柱并搜索大小更合適的包容邊界，直至滿足最小區(qū)域的幾何判別條件[8-11]。極差法、切比雪夫逼近法及有效集法等從各自優(yōu)化理論的角度建立形狀誤差的模型后，分別提出與各自優(yōu)化理論適應(yīng)的判別方法[12-14]。牛頓法、二分法等傳統(tǒng)優(yōu)化方法和差分進(jìn)化算法、混合教與學(xué)算法等智能優(yōu)化算法的判別方法通常為兩次迭代間步長或函數(shù)值的變化較小[15-18]；當(dāng)出現(xiàn)爭議時，這類方法仍需要采用幾何判別方法裁定。

綜上所述，在經(jīng)常需要處理大量測點(diǎn)數(shù)據(jù)的當(dāng)下，還缺乏一種一般化的、程式化的最小區(qū)域判別方法，以便在出現(xiàn)評定爭議時裁定算法是否找到了最小區(qū)域。因此，本文基于邊界點(diǎn)矩陣研究圓柱度的一般化的、程式化的判別方法。分析圓柱測點(diǎn)集與最小區(qū)域邊界之間的空間關(guān)系以及最小區(qū)域成立條件的數(shù)理邏輯形式，并利用邊界點(diǎn)集矩陣的性質(zhì)提出一種最小區(qū)域的一般化判別方法。最后，通過1個評定實(shí)例驗(yàn)證了提出的圓柱度一般化判別方法。

1 圓柱度包容區(qū)域模型

1.1測點(diǎn)集與包容區(qū)域的空間關(guān)系

孔軸的圓柱度誤差是包容孔軸表面測點(diǎn)集的兩個同軸圓柱間“環(huán)形柱”區(qū)域的大小，其數(shù)值與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。因此可以將坐標(biāo)系z軸固定于同軸圓柱的共同軸線上，以便于描述最小區(qū)域問題中的基本要素——測點(diǎn)集、邊界圓柱，如圖1所示。

在建立的坐標(biāo)系中，測點(diǎn)集可以描述為測點(diǎn)pi的集合{pi|pi= (xi,yi,zi),i= 1, 2, …}；測點(diǎn)pi到邊界圓柱軸線(z軸)的距離為ri= (xi2+yi2)1/2；外圓柱的半徑RU= maxri，內(nèi)圓柱的半徑RV= minri，截面環(huán)尺寸L=RU-RV；測點(diǎn)集{pi}自由度方向?yàn)檠豿、y軸的平動dx、dy和繞x、y軸的轉(zhuǎn)動dα、dβ。

當(dāng)按自由度方向調(diào)整測點(diǎn)集相對于邊界圓柱的方位時，邊界測點(diǎn)pi的方位變化趨勢dpi如公式和圖1所示。

(1)

式中：Rdα、Rdβ分別為測點(diǎn)繞x軸、y軸運(yùn)動的坐標(biāo)變換矩陣，E3×3為單位矩陣；自由度趨近于0，因此sin dα趨近于dα，sin dβ趨近于dβ，自由度的余弦值趨近于1，自由度的積趨近于0。

1.2 包容區(qū)域的大小及其變化趨勢

邊界圓柱和測點(diǎn)集有相對方位變化趨勢時，邊界圓柱的大小變化趨勢僅取決于邊界測點(diǎn)pi。邊界測點(diǎn)pi到z軸距離的變化趨勢dri，即dpi在徑向上的投影，如圖2所示。將pi處指向z軸的徑向單位向量Ni= (-xi/ri, -yi/ri, -zi/ri)T代入公式，可以得到dri的代數(shù)表達(dá)式，如式(2)所示：

為便于分析，可以將式(2)中pi自由度運(yùn)動趨勢合記為運(yùn)動趨勢向量Ψ= [dx, dy, dα, dβ]T，Ψ的系數(shù)合記為運(yùn)動系數(shù)向量Ai，如式(3)所示。

Ai= [xi/ri,yi/ri, -ziyi/ri,zixi/ri]

(3)

將Ai、Ψ代入式(3)，可以得到dri的線性向量表達(dá)式，如式(4)所示。

AiΨ=dri

(4)

記v∈V、u∈U分別為與內(nèi)、外圓柱接觸的測點(diǎn)序號集，則內(nèi)圓柱變化趨勢dRV= min drv，外圓柱變化趨勢dRU= min dru，兩個同軸圓柱間的“環(huán)形柱”大小變化趨勢dR= dRU- dRV。代入式(4)，可以得到dR的向量表達(dá)式，如式(5)所示。

dR= max dru- min drv=max(Au-Av)Ψ

(5)

2 圓柱度最小區(qū)域的一般化表達(dá)

2.1 圓柱度最小區(qū)域邏輯的基本形式及變形

測點(diǎn)集圓柱度的最小區(qū)域可以一般性地描述為：測點(diǎn)集與“環(huán)形柱”間的相對方位已調(diào)整至最佳，相對方位發(fā)生任意改變時，在內(nèi)外圓柱上各至少存在1個邊界測點(diǎn)使“環(huán)形柱”不會更小。據(jù)此可以建立最小區(qū)域邏輯的基本形式，如公式所示，其中dru,v為上邊界點(diǎn)pu和下邊界點(diǎn)pv到z軸距離的變化趨勢之差。

(?Ψ)(?(u,v))((Au-Av)Ψ=dru,v≥0)

(6)

式(6)并不便于分析，因此轉(zhuǎn)而分析其互斥的否命題形式，如式(7)所示。

(?Ψ)(?(u,v))(Au,vΨ

(7)

其中，記b<0，Au,v=Au-Av為pu與pv的運(yùn)動系數(shù)差向量。如果公式不成立，則“環(huán)形柱”為測點(diǎn)集的最小區(qū)域。否則，“環(huán)形柱”不是最小區(qū)域。記A= […,Au,v, …]T為邊界點(diǎn)集的運(yùn)動系數(shù)差矩陣,b= […, dru,v, …]T，則公式(6)等價于公式(7)。

(?Ψ)(?(u,v))((AΨ=b)∧(dru,v

2.2 基于邏輯表達(dá)式的一般化判別方法

設(shè)外圓柱測點(diǎn)數(shù)目為m1，內(nèi)圓柱測點(diǎn)數(shù)目為m2，rank(A) =r，則Au,v共有m=m1m2個，A共有m行。當(dāng)rank([A,b]) =rank(A) =r時，AΨ=b總是有解，公式總是成立，“環(huán)形柱”不是最小區(qū)域。下面討論rank([A,b]) >r時公式的成立條件。

定義1：在AΨ=B中任選r個線性無關(guān)的運(yùn)動系數(shù)差向量Au,v、對應(yīng)的dru,v及常數(shù)項(xiàng)b，分別集合成矩陣Ar、常數(shù)項(xiàng)br及常數(shù)項(xiàng)Br；線性方程組ArΨ=Br的解集Fj= {Ψ}j就是不等式組{Au,vΨ

通過定義1，可以將式(8)中AΨ=b的行重新排列，如式(9)所示。

(9)

因?yàn)閞ank(A) =r，所以可以得到關(guān)于Au,vΨ界限的性質(zhì)，如公式所示。

(?Ψ)(?(u,v)∈s)(Au,vΨ≠b)

(10)

記

則由式(10)可以得到關(guān)于Au,vΨ大小的性質(zhì)：

(11)

由式(11)可知，可以先求解方程ArΨ=Br的1個解Ψ*，然后考察Ψ*是否滿足P2(Ψ*)，即可判斷相應(yīng)的基本解集Fj= {Ψ*}是否為有效基本解集。

總結(jié)本節(jié)內(nèi)容，可以得到空間直線度最小區(qū)域統(tǒng)一判別方法的基本流程，如圖3所示。

3 實(shí)例驗(yàn)證

本節(jié)以實(shí)際軸的同一組測點(diǎn)數(shù)據(jù)為對象，分別用自適應(yīng)變動體法[8]和優(yōu)化法[15]評定實(shí)際軸的圓柱度。

針對2種方法的評定結(jié)果的爭議，用本文提出的方法辨別哪種方法準(zhǔn)確構(gòu)建了圓柱度的最小區(qū)域，以驗(yàn)證提出的判定方法。

3.1實(shí)際軸的圓柱度評定

本例用三坐標(biāo)測量機(jī)(Hexagon Metrology, Qing Dao, GLOBAL CLASSIC SR 07. 10. 07)對軸表面進(jìn)行光學(xué)掃描，測點(diǎn)如圖4所示。

在MATLAB R2014a中，自編程序?qū)崿F(xiàn)文獻(xiàn)[8]中的自適應(yīng)變動體法，得到被測軸的圓柱度為0.156 mm，構(gòu)成最小區(qū)域的邊界測點(diǎn)的序號為1 560、95、67、90、1 527、48，如表1所示。自適應(yīng)變動體法基于圓柱的幾何特性來構(gòu)造邊界圓柱并逐步搜索更小的包容邊界，直至滿足最小區(qū)域的幾何判別條件，流程較為復(fù)雜，限于篇幅，請感興趣的讀者自行查閱文獻(xiàn)[8]。

表1 評定結(jié)果 mm

在MATLAB R2014a中，根據(jù)文獻(xiàn)[15]建立圓柱度最小區(qū)域優(yōu)化函數(shù)，如式(12)所示，其中：Vx、Vy、Vα和Vβ是自由變量，Vx、Vy分別為“環(huán)狀柱”相對于原始坐標(biāo)系x軸、y軸的微小平移量，Vα、Vβ分別為“環(huán)狀柱”相對于原始坐標(biāo)系x軸、y軸的微小旋轉(zhuǎn)量，Xi、Yi分別為測點(diǎn)pi相對于“環(huán)狀柱”軸線的坐標(biāo)。

(12)

用線性高斯牛頓法(MATLAB R2014a中內(nèi)置的fminun函數(shù))求解相同的軸的圓柱度(測點(diǎn)數(shù)據(jù)相同)，得到被測軸的圓柱度為0.176 mm，構(gòu)成最小區(qū)域的邊界測點(diǎn)的序號為11 936、1 595、1 560，如表1所示。高斯牛頓法主要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造迭代公式，以逐步找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解、最優(yōu)值，是傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，在MATLAB R2014a中有集成的函數(shù)。因此，文中僅列出圓柱度最小區(qū)域優(yōu)化函數(shù)，恕不詳述高斯牛頓法求解過程。

3.2 評定結(jié)果的爭議和判別

從表1中可以看到，自適應(yīng)變動體法和線性高斯牛頓法找到的邊界點(diǎn)集不同，即兩種方法的解不同。同時，從表1中還可以看到，兩種方法求得的結(jié)果(圓柱度)也不相同。兩種方法的評定對象相同，而解和結(jié)果不同，出現(xiàn)了爭議。為了裁定2個評定結(jié)果間的爭議，基于提出的判別方法，用自編程序分別判別兩種方法是否構(gòu)造了最小區(qū)域。

(1)用提出的方法考察自適應(yīng)變動體法

將自適應(yīng)變動體法求得的邊界測點(diǎn)代入公式，可以求出運(yùn)動系數(shù)向量Ai及運(yùn)動系數(shù)差向量Au,v，如：A1 560,90的計(jì)算如公式所示。

A1 560,90=[A1 560-A90]

=[1.103 1 3.815 4 -22.860 2 12.678 9]

(13)

(2)用提出的方法考察線性高斯牛頓法

出于一般性考慮，表1中線性高斯牛頓法的結(jié)果是在初始解為零向量的條件下計(jì)算得到的。同時，為了減少計(jì)算誤差和截?cái)嗾`差對判別結(jié)果的影響，距離內(nèi)外邊界圓柱小于0.001 mm的點(diǎn)都考慮為邊界點(diǎn)。將線性高斯牛頓法求得的邊界測點(diǎn)代入公式可以求出運(yùn)動系數(shù)向量Ai及運(yùn)動系數(shù)差向量Au,v，如A1 936,48為：

A1 936,48=[A1 936-A48]

=[1.103 1 3.815 4 -22.860 2 12.678 9]

(15)

將m=m1m2= 3×2 = 6個Au,v集合為A，如式(16)所示。

指定(m= 6)個(b=-1)并將其集合為b，可以求出rank([A,b]) =rank(A) = 4；因此，公式總是成立，“環(huán)形柱”不是最小區(qū)域。

(3)用基于梯度的方法考察線性高斯牛頓法

內(nèi)置函數(shù)輸出標(biāo)識符顯示線性高斯牛頓法迭代精度達(dá)到10-6mm后終止迭代。結(jié)合判別結(jié)果可知，初步估計(jì)線性高斯牛頓法陷于局部最優(yōu)解。

為驗(yàn)證線性高斯牛頓法是否確實(shí)陷入局部最優(yōu)解，將自適應(yīng)變動體法求得的“環(huán)狀柱”相對于原始坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)量作為線性高斯牛頓法的初始解。此時，線性高斯牛頓法的最優(yōu)解與自適應(yīng)變動體法一致，為0.156 mm，如表2所示。求得的邊界點(diǎn)也與自適應(yīng)變動體法一致。這證實(shí)了高斯牛頓法所求得解是局部最優(yōu)解。

3.3 判別結(jié)果及結(jié)論

如表2所示，當(dāng)線性高斯牛頓法的迭代解處函數(shù)梯度較小時，基于梯度的判別方法會認(rèn)定算法找到了最小區(qū)域，以保證算法效率。然而，這種方法有可能會被局部最優(yōu)解或局部低梯度區(qū)域所誤導(dǎo)，不適合作為出現(xiàn)評定爭議時的裁定方法。

從表2中還可以看出，提出的判別方法能判定自適應(yīng)變動體法求得的“環(huán)狀柱”為最小區(qū)域；能判定以零向量為初解的線性高斯牛頓法陷入了局部最優(yōu)解，未找到最小區(qū)域；還能判定以自適應(yīng)變動體法的解為初解的線性高斯牛頓法求得的“環(huán)狀柱”為最小區(qū)域。因此，提出的判別方法行之有效，適合作為裁定評定爭議的方法。

表2 判別方法及評定方法比較

4 結(jié)語

分析了孔軸外表面測點(diǎn)集與最小區(qū)域邊界之間的相對空間關(guān)系，利用數(shù)理邏輯形式、線性方程組和不等式組的性質(zhì)，以線性矩陣及流程圖的形式，提出了孔軸圓柱度最小區(qū)域的統(tǒng)一判別方法。提出的判別方法是一種程式化的、一般化的代數(shù)判別方法，由簡單的重復(fù)運(yùn)算、條件選擇構(gòu)成，可以在出現(xiàn)評定爭議時裁定算法是否找到了最小區(qū)域。

分別用線性高斯牛頓法和自適應(yīng)變動體法評定了1個實(shí)際軸的圓柱度，用提出的方法分別檢驗(yàn)了兩種方法的評定結(jié)果。提出的判別方法識別了自適應(yīng)變動體法和線性高斯牛頓法求得的最小區(qū)域，也識別了線性高斯牛頓法求出的局部最優(yōu)解，具備裁定評定爭議的能力。

本文推導(dǎo)了圓柱度最小區(qū)域的一般化判別方法，其中運(yùn)用的自由度、法向量、數(shù)理邏輯、線性理論等也適合其它形狀的最小區(qū)域評定。未來可以參考本文方法繼續(xù)研究直線度、輪廓度等形狀誤差的最小區(qū)域判定。