溫利民， 李俊雪， 張美， 劉志強(qiáng)

（江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南昌330022）

0 引 言

目前，有許多責(zé)任準(zhǔn)備金的估計(jì)方法，大部分責(zé)任準(zhǔn)備金估計(jì)方法都以流量三角形為基礎(chǔ)。主要包括鏈梯法（CL法）[1-2]、BF法[3-4]及準(zhǔn)備金隨機(jī)模型，如文獻(xiàn)[5-7]等。

一般地，在風(fēng)險(xiǎn)的損失數(shù)據(jù)中，會(huì)隨著損失數(shù)據(jù)產(chǎn)生一些其他的信息，例如保單的理賠信息、車輛保險(xiǎn)中車子或駕駛?cè)说男畔ⅲ诮y(tǒng)計(jì)學(xué)中這些稱為協(xié)變量信息。為了能更準(zhǔn)確地對(duì)未來損失進(jìn)行合理的估計(jì)，有必要考慮這些協(xié)變量信息，并建立帶有協(xié)變量信息的準(zhǔn)備金模型。若把所有的協(xié)差用矩陣X表示，且假設(shè)保險(xiǎn)的索賠額Y滿足下面的線性模型：

Y=Xβ+ε，其中ε為零均值變量 （1）

模型中向量β為待預(yù)測(cè)的P維決策變量，表明索賠額Y以線性函數(shù)形式依賴于協(xié)變量信息X，這里ε表示隨機(jī)誤差。關(guān)于隨機(jī)效應(yīng)的線性模型的研究，可參考文獻(xiàn)[8-9]等。

但是，在非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)中，由于保單的非齊次性，一般假設(shè)參數(shù)β為不可觀測(cè)的隨機(jī)變量。這時(shí)，稱式（1）為隨機(jī)效應(yīng)線性模型[10]。

傳統(tǒng)的準(zhǔn)備金模型假設(shè)保險(xiǎn)公司收集到的數(shù)據(jù)為上三角形式，并直接對(duì)索賠額的分布進(jìn)行假設(shè)，例如假設(shè)索賠額服從伽馬模型，較少考慮協(xié)變量的信息。在實(shí)際運(yùn)用中，影響索賠額的因素往往是非常復(fù)雜的。例如汽車第三者責(zé)任保險(xiǎn)，影響索賠發(fā)生的因素可能包括汽車的型號(hào)、行駛區(qū)域、駕駛?cè)说男詣e或年齡等信息。有些信息保險(xiǎn)公司可以觀察得到，因此樣本中應(yīng)包含這些信息，但是有些信息無法觀測(cè)得到。因此，本文在建立模型的過程中，將保險(xiǎn)公司可以觀測(cè)得到的協(xié)變量信息放入矩陣X中，將無法觀測(cè)的信息放入誤差內(nèi)，并假設(shè)隨機(jī)參數(shù)是隨機(jī)變量，服從某個(gè)先驗(yàn)分布，并同時(shí)利用貝葉斯理論和線性回歸模型的理論與方法，研究索賠額的最優(yōu)預(yù)測(cè)問題，進(jìn)而得到責(zé)任準(zhǔn)備金的估計(jì)。與傳統(tǒng)的責(zé)任準(zhǔn)備金模型相比，本文得到的結(jié)果更能體現(xiàn)模型的可解釋性，得到的預(yù)測(cè)更加精確。

1 隨機(jī)效應(yīng)線性的責(zé)任準(zhǔn)備金模型

本文用i表示索賠事故報(bào)告年，j表示索賠事故進(jìn)展年。Yij表示第i年報(bào)告在第j個(gè)進(jìn)展年的增量索賠，其中0≤i≤I，0≤j≤J。并且假設(shè)所有的事故在第J個(gè)進(jìn)展年全部完成賠付。對(duì)于當(dāng)前日歷年來說，能觀察到的增量索賠數(shù)據(jù)集合記為其中表1所列。

表1 增量索賠數(shù)據(jù)流量三角形

表1中的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的是各日歷年的賠款，最下面的對(duì)角線為最近日歷年的賠款。通常情況下I≥J。本文為了方便，假設(shè)I＝J。對(duì)于第i年報(bào)告在第j個(gè)進(jìn)展年的累積索賠記為Cij，則有。能觀察到的累積數(shù)據(jù)也可以用流量三角形表示，如表2所列。

表2 累積索賠數(shù)據(jù)流量三角形

得到β的最小二乘估計(jì)為：

Monographic report: Rescue process construction for acute ischemic stroke

然而，在壽險(xiǎn)精算中，一般認(rèn)為參數(shù)向量β也是隨機(jī)變量，具有某個(gè)先驗(yàn)分布π（β），由此得到的模型稱為隨機(jī)效應(yīng)線性模型。具體假設(shè)如下：

假設(shè)1：設(shè)Yij表示第i個(gè)事故年進(jìn)展到第j年的增量索賠滿足下面的線性模型：

其中Xij=（Xij（1），…，Xij（P））為第i個(gè)事故年進(jìn)展到第j年的索賠對(duì)應(yīng)的協(xié)差向量，而βi=（βi（1），…，βi（P））′為風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)向量，這里i＝0，1，…，I，j＝0，1，…，J，且假設(shè)I=J。

假設(shè)2：假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)β=（β0，…，βI）′為隨機(jī)向量，具有先驗(yàn)分布π（β）。 且均值和方差分別為E（β）=β0與Var（β）=M。

為了方便，引入下面的記號(hào)：

2 隨機(jī)參數(shù)及準(zhǔn)備金的估計(jì)

證明：由于

定理3：對(duì)于i=1，2，…，I，第i個(gè)事故年的累積索賠條件均方誤差為：

而條件方差

3 數(shù)值模擬

假設(shè)ε服從正態(tài)分布N（0，σ2），σ2=1，設(shè)I=J，且β為一維隨機(jī)變量，假設(shè)β服從均勻分布U（0，1）以及指數(shù)分布exp（1）下產(chǎn)生索賠樣本Yij，把i+j≤I時(shí)當(dāng)作已知樣本數(shù)據(jù)，而i+j>I當(dāng)作真實(shí)值。根據(jù)文章給出的估計(jì)與真實(shí)值進(jìn)行比較，在5 000次重復(fù)下計(jì)算預(yù)測(cè)的均值及相應(yīng)的均方誤差，如表3～表6。

表3 當(dāng)I=J=5，β～U（0，1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)C^（1）ij及均方誤差msepC^（1）ij

表6 當(dāng)I=J=9，β～exp（1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

表6 當(dāng)I=J=9，β～exp（1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

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表4 當(dāng)I=J=5，β～exp（1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

表4 當(dāng)I=J=5，β～exp（1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

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表5 當(dāng)I=J=9，β～U（0，1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

表5 當(dāng)I=J=9，β～U（0，1）時(shí)準(zhǔn)備金估計(jì)及均方誤差

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從表3～表6中可以看到，在給定I和J的值后，β取不同的分布，均方誤差相差不大，然而即使β取相同的分布，在不同的I值下，均方誤差有很大的改變。因此準(zhǔn)備金的估計(jì)對(duì)β的分布并不敏感，而對(duì)I與J的取值較為敏感。