杜曉蕾 李明

摘要： 艦船在航行時(shí)產(chǎn)生的牽連運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)船用機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)產(chǎn)生重要的影響，因此研究垂蕩作用下的船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力學(xué)特性及其振動(dòng)控制具有重要的工程意義。討論了垂蕩激勵(lì)下船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械?氣囊隔振系統(tǒng)的非線性振動(dòng)機(jī)理與振動(dòng)特征。建立了具有氣囊隔振系統(tǒng)的船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械的數(shù)學(xué)模型，采用多尺度法分析了船體的垂蕩運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，揭示其振動(dòng)機(jī)理。采用數(shù)值分析方法研究了垂蕩激勵(lì)下船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械?氣囊隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并與近似解進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞： 非線性振動(dòng); 艦船垂蕩運(yùn)動(dòng); 船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械; 隔振系統(tǒng); 多尺度法

引 言

作為艦船動(dòng)力來(lái)源的發(fā)電機(jī)及其傳動(dòng)系統(tǒng)在載體運(yùn)動(dòng)時(shí)除了自身的運(yùn)動(dòng)外，還要受到牽連運(yùn)動(dòng)的影響。為了有效避免由于系統(tǒng)振動(dòng)造成的機(jī)械損壞，一般采用氣囊進(jìn)行隔振[1]。氣囊隔振器具有可調(diào)節(jié)剛度及阻尼的特點(diǎn)，且固有頻率低，滿足了艦船對(duì)隔振器低頻隔振性能的要求，因而廣泛應(yīng)用于高性能船舶上[2]。艦船在航行中受到氣象環(huán)境的影響易產(chǎn)生復(fù)雜的牽連運(yùn)動(dòng)，其中垂蕩運(yùn)動(dòng)較為常見，船用機(jī)械系統(tǒng)在航行時(shí)的安全性、穩(wěn)定性與這些運(yùn)動(dòng)有著密不可分的聯(lián)系[3]，因此，研究垂蕩激勵(lì)下的船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)有重要的工程意義。

一般而言，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)主要是由轉(zhuǎn)子偏心引起的不平衡力所引起的。文獻(xiàn)[4]通過(guò)定轉(zhuǎn)子的幾何關(guān)系推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子動(dòng)靜復(fù)合偏心時(shí)氣隙長(zhǎng)度的統(tǒng)一表達(dá)式，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不平衡磁拉力UMP、重力和不平衡質(zhì)量激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。采用數(shù)值方法研究了重力、初始靜偏心方向和靜偏心量對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡和位移頻譜的影響。

目前，關(guān)于牽連運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)械振動(dòng)主要集中在機(jī)載旋轉(zhuǎn)機(jī)械以及基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域，例如，文獻(xiàn)[5]建立了飛機(jī)在任意空間機(jī)動(dòng)飛行時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)安裝在飛機(jī)機(jī)翼、機(jī)身或重心垂直平面上時(shí)不平衡多盤、多質(zhì)量和多軸承線性及非線性柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的統(tǒng)一模型，討論了飛機(jī)的空間機(jī)動(dòng)飛行對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響;文獻(xiàn)[6]對(duì)Herbst機(jī)動(dòng)飛行中的非線性飛機(jī)旋翼系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，討論了載荷控制的安全性;文獻(xiàn)[7]考慮橫向裂紋的呼吸機(jī)理和爬升跳水飛行的機(jī)動(dòng)載荷，研究了飛機(jī)飛行操縱引起的裂紋轉(zhuǎn)子球軸承系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，并采用四階龍格?庫(kù)塔法分析了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。對(duì)于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)下旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)問題的討論，文獻(xiàn)[8]分析了柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在時(shí)變基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為，并對(duì)具有基礎(chǔ)角運(yùn)動(dòng)的柔性轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)以及數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[9]提出并驗(yàn)證了行星齒輪在俯仰基座運(yùn)動(dòng)下的旋轉(zhuǎn)?平移?軸向動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

艦載和機(jī)載有相似之處，但也存在明顯的不同，例如，艦載運(yùn)動(dòng)具有周期較長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)幅度較大等特點(diǎn)。近幾年來(lái)，大型艦船航行時(shí)出現(xiàn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[10]通過(guò)引入形狀濾波器，采用路徑積分法對(duì)非線性橫搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析，并驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果;文獻(xiàn)[11]分析了規(guī)則波擾動(dòng)力矩不同振幅、不同初始相位角、不同波浪頻率和不同的角度控制參數(shù)對(duì)船舶單自由度橫搖和縱搖運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的影響;文獻(xiàn)[12]建立了橫搖、垂蕩、縱搖三個(gè)自由度非線性耦合動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)比了理論與試驗(yàn)結(jié)果;文獻(xiàn)[13]運(yùn)用普通切片理論對(duì)船舶在迎浪規(guī)則波中的垂蕩和縱搖進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和實(shí)時(shí)可視化仿真;文獻(xiàn)[14]采用CFD對(duì)大型油輪進(jìn)行了仿真模擬，分析了零航速下不同水深下的垂蕩和縱搖響應(yīng)，結(jié)果表明淺水區(qū)對(duì)垂蕩運(yùn)動(dòng)影響較大;文獻(xiàn)[15]基于R?MISO法分析了六個(gè)自由度的船舶模型的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較;文獻(xiàn)[16]對(duì)小水線面雙體船在迎浪規(guī)則波作用下垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值分析，并通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比驗(yàn)證了方法的有效性;文獻(xiàn)[17]考慮了非線性的阻尼力矩建立了船舶橫搖運(yùn)動(dòng)方程，采用多尺度法分析了阻尼力矩和恢復(fù)力矩對(duì)橫搖穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響。

上述研究工作主要是針對(duì)在海況條件下船體自身的運(yùn)動(dòng)特性。對(duì)于在牽連運(yùn)動(dòng)作用下船用轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究，文獻(xiàn)[18]采用數(shù)值方法研究了不同輸入轉(zhuǎn)速、扭矩作用下齒輪軸靜平衡位置及船體縱橫搖擺下齒輪副的振動(dòng)響應(yīng);文獻(xiàn)[19]研究了艦船在縱搖、橫搖運(yùn)動(dòng)下，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

本文主要采用多尺度法研究垂蕩激勵(lì)下旋轉(zhuǎn)機(jī)械?氣囊隔振系統(tǒng)的非線性振動(dòng)機(jī)理與振動(dòng)特征，揭示系統(tǒng)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為旋轉(zhuǎn)機(jī)械?氣囊隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中氣囊被?；癁榉蔷€性彈簧和線性阻尼器。設(shè)系統(tǒng)的總質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子由于質(zhì)量分布不均產(chǎn)生的偏心質(zhì)量為me，偏心距為e，轉(zhuǎn)子角速度為ω，阻尼系數(shù)為d，垂蕩產(chǎn)生的位移為x0，彈簧的壓縮量為x?？紤]到氣囊剛度所具有的非線性特性，現(xiàn)引入了具有三次弱非線性的彈性力來(lái)?；瘹饽业膹椥粤20]，設(shè)彈性力。其中，k1為彈簧剛度，k2為三次非線性彈簧系數(shù)，ε為體現(xiàn)彈簧弱三次的無(wú)量綱小量。

下面重點(diǎn)討論主共振的幅頻特性，選取系統(tǒng)的一組參數(shù)α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=0.1，b=0.01，F(xiàn)0=0.04，Ω0=3，η=50，得到系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如圖2所示。

由圖2可知，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻曲線不再是單值函數(shù)曲線，在某些區(qū)間內(nèi)的某一激勵(lì)頻率值會(huì)對(duì)應(yīng)于三個(gè)不同大小的幅值，即產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)所特有的現(xiàn)象之一，此處虛線部分為系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域，發(fā)生跳躍現(xiàn)象。

通過(guò)對(duì)比不同參數(shù)條件下的系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線，可以得到各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)影響的規(guī)律。選取參數(shù)α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=1，b=0.1，F(xiàn)0=0.04，Ω0=3，η分別取50，60，70，畫出頻響曲線如圖2（a）所示。通過(guò)改變外激勵(lì)頻率可知，參數(shù)η越大，幅頻曲線向右彎曲的幅度越小，系統(tǒng)的共振域改變也相應(yīng)越小。為了研究激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)主共振幅頻特性的影響，選取參數(shù)α0=0.1，h=0.1，μ=0.015，ω1=1，b=0.1，Ω0=3，η=50，分別取F0=0.04，0.15，2，畫出頻響曲線如圖2（b）所示。通過(guò)改變激勵(lì)幅值F0可知，激勵(lì)幅值增加，幅頻曲線的幅值以及向右彎曲的幅度變大。圖2（c）考慮Ω0對(duì)系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線的影響，分別取參數(shù)Ω0=1.5，2，3。由圖可知，Ω0會(huì)使系統(tǒng)的共振域有所改變，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的減小會(huì)使主共振幅頻響應(yīng)曲線向右發(fā)生偏移。圖2（d）考慮阻尼μ對(duì)系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線的影響，分別取參數(shù)μ=0.015，0.02，0.03。由圖可知，當(dāng)參數(shù)μ增大時(shí)，主共振幅值減小，多值和跳躍對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率區(qū)間縮小，意味著系統(tǒng)穩(wěn)定性的增強(qiáng)。

本文主要針對(duì)首次近似解進(jìn)行分析，當(dāng)引入高階小量得到的二次近似結(jié)果，分析可知除了項(xiàng)可引發(fā)主共振外，，，，項(xiàng)可產(chǎn)生超諧波和亞諧波共振，，項(xiàng)可產(chǎn)生組合共振等，然而上述情況僅在特定條件下產(chǎn)生，本文著重分析對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生主要影響的主共振情況，其余情況另作分析。

4 數(shù)值分析

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，下面采用數(shù)值方法求解方程的位移響應(yīng)。參數(shù)選取如下：ε=0.01，c=0.004，α0=0.1，h=0.1，μ=0.3，k1=10，k2=100，=1200，Ω0=3，η=70，選取初始條件，。在非共振情況下，數(shù)值結(jié)果與解析解如圖3所示。從中可以看出，兩條時(shí)間歷程曲線吻合良好，表明了近似解是有效的。

圖4顯示系統(tǒng)相圖中的相軌線相互交錯(cuò)，呈不規(guī)律的軌跡，極限環(huán)周圍的相軌線隨著時(shí)間的增加形態(tài)隨之變化，Poincaré截面為有限個(gè)點(diǎn)組成的不閉合曲線，頻譜圖中出現(xiàn)組合頻率（f+f0）及其倍頻，這預(yù)示著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變得較為復(fù)雜。圖5顯示了系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速和頻率比下的分岔圖以及Lyapunov指數(shù)圖。由圖5（a）可知系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速時(shí)左右表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)，Lyapunov指數(shù)大于0，高轉(zhuǎn)速時(shí)處于擬周期、混沌交替出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖5（b）反映轉(zhuǎn)速比小于5時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)幅值較大，Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在轉(zhuǎn)速比為10?15，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)，隨著轉(zhuǎn)速比不斷增大，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值減小，Lyapunov指數(shù)始終小于0，說(shuō)明系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定的周期狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可歸納為混沌→擬周期→周期。

5 結(jié) 論

本文采用三次非線性彈簧來(lái)?；瘹饽医Y(jié)構(gòu)的變形，基于牛頓定律建立了具有氣囊隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。首先，采用多尺度法研究了系統(tǒng)的近似解析解，分析了系統(tǒng)在定常解處的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)在不同參數(shù)下的幅頻響應(yīng)特性。然后，采用數(shù)值方法討論了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明：

（1） 在垂蕩激勵(lì)作用下，船用旋轉(zhuǎn)機(jī)械耦合氣囊隔振系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)幅值在一定的頻率區(qū)間內(nèi)具有典型的非線性特性，例如，會(huì)出現(xiàn)多值和跳躍現(xiàn)象等。

（2） 頻率比越大，系統(tǒng)幅頻曲線出現(xiàn)的不穩(wěn)定區(qū)域以及彎曲程度減小;激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定影響較大，激勵(lì)幅值的小幅增大會(huì)使幅頻曲線的不穩(wěn)定區(qū)域以及彎曲程度增大;阻尼的增大能夠有效抑制主共振峰值。

（3） 數(shù)值結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速增大，垂蕩激勵(lì)作用下系統(tǒng)以準(zhǔn)周期和混沌運(yùn)動(dòng)為主，具有復(fù)雜的非線性特性，隨著系統(tǒng)的頻率比增大，即轉(zhuǎn)子與垂蕩的頻率差值越來(lái)越大，系統(tǒng)由不穩(wěn)定的混沌與準(zhǔn)周期狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

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