韓 旭*1,， 劉 杰， 陳金龍

(1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；2.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410082)

1 引 言

工程反問題是從演化結(jié)果出發(fā)，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)或期望達(dá)到的性能來探求結(jié)構(gòu)的內(nèi)部規(guī)律或其受外部影響[1]。近幾十年來，隨著傳感與測量技術(shù)的進(jìn)步，以及數(shù)值模擬與智能計算方法的涌現(xiàn)，工程反問題理論與方法的研究已有長足發(fā)展，為準(zhǔn)確獲取傳統(tǒng)試驗(yàn)測試難以確定的結(jié)構(gòu)參量以及實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的高精度建模與分析提供了有效途徑。工程反問題方法研究主要集中于確定性反問題，即計算反求過程中的測量響應(yīng)、結(jié)構(gòu)模型和反求參量均在確定性框架下進(jìn)行處理。然而，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在幾何、材料、工藝、載荷、測量響應(yīng)和模型偏差等方面不可避免地存在不確定性因素[2-4]。為此，科學(xué)合理地度量工程反問題的復(fù)雜不確定性，實(shí)現(xiàn)多源不確定性下未知結(jié)構(gòu)參量的高效計算反求，對于反問題的理論發(fā)展和工程應(yīng)用都具有重要意義。

根據(jù)不確定性的來源不同，工程不確定性反問題可概括分為測量不確定性反問題和模型不確定性反問題。對于測量不確定性反問題，以發(fā)展成熟的概率理論為基礎(chǔ)，早期主要發(fā)展了最大似然估計方法和貝葉斯反求方法。最大似然估計方法[5]是根據(jù)已知測量的統(tǒng)計信息，建立最大似然估計優(yōu)化模型，以獲取能夠以較高概率產(chǎn)生測量數(shù)據(jù)的反求參量。為了充分利用先驗(yàn)信息，Tarantola[6]在貝葉斯框架下較為系統(tǒng)地探討了模型參量識別的不確定性反問題理論和求解方法。Jiang等[7]發(fā)展了基于高斯過程模型的參量更新方法，增強(qiáng)了參量后驗(yàn)概率的可辨識性。但目前貝葉斯反問題的求解還依賴于計算耗時的馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法。為了克服不確定性反問題涉及的多層嵌套瓶頸，有效提高計算反求的效率和工程實(shí)用性，近年來基于不確定性傳播和計算反求的解耦策略引起學(xué)者關(guān)注。Liu等[8,9]建立了面向任意概率分布的結(jié)構(gòu)不確定性正向傳播與反向識別統(tǒng)一框架，并將測量不確定性反問題轉(zhuǎn)化為多個確定性反問題進(jìn)行求解。另外，為了處理小樣本、認(rèn)知不確定性下的參量識別反問題，以非概率凸集度量為基礎(chǔ)的計算反求方法有待發(fā)展。Jiang等[10]提出了區(qū)間反問題的概念和求解方法，實(shí)現(xiàn)了層合板結(jié)構(gòu)材料特性參量的區(qū)間不確定性識別。Wang[11]考慮非精確信息發(fā)展了基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)參量識別方法。

對于模型不確定性反問題，不僅需利用已知測量信息和結(jié)構(gòu)模型來實(shí)現(xiàn)未知參量的計算反求，而且還需要定量化分析結(jié)構(gòu)建模本身的不確定性對反求參量的影響。由于求解過程的復(fù)雜性，目前關(guān)于模型不確定性反問題的研究相對較少。Du[12]提出了基于序列可靠性分析的不確定性反求方法，實(shí)現(xiàn)了建模不確定性下結(jié)構(gòu)未知參量概率分布的有效估計。Liu等[13,14]利用隨機(jī)結(jié)構(gòu)之間的相似性，提出了基于相似系統(tǒng)分析和點(diǎn)估計的模型不確定性反問題高效求解方法，實(shí)現(xiàn)了模型參量的概率不確定性向反求參量的傳播分析。Liu等[15]發(fā)展了區(qū)間不確定性結(jié)構(gòu)的動態(tài)載荷識別方法，準(zhǔn)確穩(wěn)定地獲取了載荷的不確定性邊界。

事實(shí)上，對于實(shí)際工程問題中的結(jié)構(gòu)參量反求，更為普遍的是測量不確定性和模型不確定性往往同時并存，這類問題在本文中稱之為多源不確定性反問題。由于不同來源不確定性的耦合作用，以及反問題求解計算的復(fù)雜性等，導(dǎo)致很難探明多源不確定性在結(jié)構(gòu)參量識別中的逆向傳遞機(jī)理，相關(guān)研究目前也鮮有報到。為此，本文針對實(shí)際工程中更為普遍存在的多源不確定性反問題進(jìn)行探索性研究，特別是發(fā)展高效的基于混合度量和流形學(xué)習(xí)的多源不確定性計算反求方法，在實(shí)現(xiàn)未知結(jié)構(gòu)參量識別的同時有效量化測量不確定性和模型不確定性對反求參量的綜合影響，提高不確定性反問題的工程實(shí)用性。

2 不確定性反問題建模

從系統(tǒng)論的角度而言，結(jié)構(gòu)參量識別反問題是利用已知的測量響應(yīng)和正問題模型對未知的結(jié)構(gòu)參量進(jìn)行反求。對于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，由于材料或載荷的隨機(jī)性、制造或測量的誤差以及物理過程認(rèn)知不明晰等原因，在測量響應(yīng)和正問題模型中往往存在各種不確定性因素。不確定性反問題的求解不僅需要實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參量的有效識別，而且還需定量化評估不同來源不確定性對參量識別結(jié)果的影響，因此是一個涉及結(jié)構(gòu)參量計算反求和不確定性傳播的雙層嵌套復(fù)雜求解過程。根據(jù)不確定性在系統(tǒng)中出現(xiàn)位置的不同及對反求參量影響的不同，特別是雙層嵌套求解機(jī)制的不同，可將結(jié)構(gòu)參量識別的不確定性反問題分為測量不確定性反問題、模型不確定性反問題和二者并存的多源不確定性反問題。

2.1 測量不確定性反問題

結(jié)構(gòu)測量響應(yīng)不確定性來源于測量誤差的統(tǒng)計或不確定性結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計響應(yīng)。測量不確定性反問題可描述為利用已知的不確定性測量響應(yīng)和確定性系統(tǒng)模型，對未知的結(jié)構(gòu)參量進(jìn)行識別，并評價測量不確定性對參量識別影響，其模型可表述為

(1)

式中Z和fZ(Z)為測量響應(yīng)及其不確定性度量，X和fX(X)為待反求的結(jié)構(gòu)參量及其不確定性度量，F(xiàn)為測量不確定性到反求參量不確定性之間的映射關(guān)系，g為結(jié)構(gòu)正問題模型。

測量不確定性反問題的求解可通過不確定性傳播分析和優(yōu)化反求的迭代來實(shí)現(xiàn)。如圖1所示，對于測量不確定性反問題涉及的雙層嵌套求解過程，其內(nèi)層為結(jié)構(gòu)不確定性傳播，即利用結(jié)構(gòu)正問題模型實(shí)現(xiàn)從給定的fX(X)到計算響應(yīng)不確定性的量化分析；其外層為優(yōu)化反求過程，即對待反求參量的fX(X)進(jìn)行優(yōu)化，使計算響應(yīng)與測量響應(yīng)之間的不確定性度量達(dá)到匹配。

圖1 測量不確定性反問題的嵌套求解

2.2 模型不確定性反問題

模型不確定性反問題中部分模型參量及其不確定性度量已知，如隨機(jī)結(jié)構(gòu)中參量概率分布已知，而部分模型參量未知，需通過有限的測量響應(yīng)進(jìn)行反求識別，并評估模型不確定性對反求參量的影響。鑒于此，模型不確定性反問題可表述為

(2)

式中U和fU為結(jié)構(gòu)正問題模型中的不確定性參量及其度量。

事實(shí)上，在不確定性參量每一特定的蒙特卡洛采樣下，結(jié)構(gòu)正問題模型可認(rèn)為是確定的，故可通過大量采樣下的確定性反問題求解及反求參量的統(tǒng)計來實(shí)現(xiàn)模型不確定性反問題的求解?；诖怂枷?，模型不確定性反問題也是通過不確定性傳播分析和優(yōu)化反求的迭代來實(shí)現(xiàn)，但其內(nèi)外層結(jié)構(gòu)與測量不確定性反問題相反。如圖2所示，其內(nèi)層為在特定不確定性參量樣本點(diǎn)下，進(jìn)行確定性計算反求獲取相應(yīng)未知參量的識別結(jié)果；其外層為利用不確定性傳播分析方法，實(shí)現(xiàn)從模型參量不確定性度量到反求參量不確定性度量的量化分析。

圖2 模型不確定性反問題的嵌套求解

2.3 多源不確定性反問題

對于工程中更為普遍的多源不確定性反問題，在實(shí)現(xiàn)未知結(jié)構(gòu)參量反求的同時，需綜合評價測量不確定性和模型不確定性對待參量識別結(jié)果的影響，其模型可表述為

(3)

式中fZ(Z)·fU(U)為測量和模型的聯(lián)合不確定性度量，且兩類不確定性相互獨(dú)立。

通常結(jié)構(gòu)響應(yīng)可通過多次測量獲取較為充足的響應(yīng)樣本，故本文采用概率模型來度量測量響應(yīng)中的隨機(jī)不確定性。結(jié)構(gòu)建模過程存在一定的認(rèn)知局限性，且難以獲取復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的模型樣本，本文采用非概率多邊凸集模型[14]來度量結(jié)構(gòu)模型中的不確定性。如圖3所示，以二維不確定性為例，根據(jù)少量樣本點(diǎn)可以獲得傳統(tǒng)區(qū)間模型

圖3 多邊凸集模型

U∈{ΩI|UL≤U≤UR}

(4)

式中UL和UR為不確定建模參量樣本的上下界。對樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，得到特征向量PT，并將其作為樣本數(shù)據(jù)空間的正交基底，即轉(zhuǎn)換矩陣。以特征向量對應(yīng)的基方向構(gòu)成新的不確定性建模坐標(biāo)系，并將樣本數(shù)據(jù)向其投影，得到主成分PCA(Principal component analysis)區(qū)間模型

(5)

(6)

多源不確定性反問題求解的基本思想是將不確性反問題轉(zhuǎn)化為確定性反問題，以實(shí)現(xiàn)測量及模型兩類不確定性反問題的解耦。在多邊凸集度量下，對于凸集不確定性模型參量每一特定的蒙特卡洛樣本，結(jié)構(gòu)正問題模型可視為是確定的，則多源不確定性反問題退化為測量不確定性反問題。在概率度量下，求解該測量不確定性反問題可獲得反求參量的一條概率分布函數(shù)CDF(Probability distribution function)曲線。如圖4所示，如遍歷整個多邊凸集模型采樣，可獲得一簇CDF曲線，進(jìn)而可采用CDF曲線的邊界即 P -box 模型來實(shí)現(xiàn)多源不確定性反問題識別結(jié)果的綜合不確定性量化。

圖4 不確定性模型參量與反求參量CDF間的映射

根據(jù)上述分析可知，如圖5所示，多源不確定性反問題的求解是一個復(fù)雜的多層嵌套過程，涉及模型不確定性反問題和測量不確定性反求的耦合，并存在迭代求解計算量大的瓶頸問題。

圖5 多源不確定性反問題求解策略

3 基于CDF流形學(xué)習(xí)的多源不確定性反求方法

由于不確定性模型參量的多邊凸集模型中任意一個樣本點(diǎn)都與反求參量的 P -box 模型中的一條CDF曲線對應(yīng)，如能構(gòu)建出二者之間映射關(guān)系，則有望快速遍歷整個多邊凸集模型的采樣，獲取反求參量的 P -box 模型?；诖怂枷耄疚奶岢龌贑DF流形學(xué)習(xí)的多源不確定性反問題高效求解方法。該方法通過建立不確定性模型參量與反求參量CDF間的流形學(xué)習(xí)映射模型，實(shí)現(xiàn)測量響應(yīng)不確定性反問題與模型不確定性反問題的解耦，從而將多源不確定性反問題轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個測量不確定性反問題，進(jìn)而將測量不確定性反問題通過降維積分方法又轉(zhuǎn)化為了少數(shù)幾個確定性反問題，以此解決多源不確定性反問題多層耦合嵌套導(dǎo)致的計算量大的難點(diǎn)問題。

3.1 不確定參量與反求參量的CDF流形學(xué)習(xí)映射

本文方法的重點(diǎn)是建立不確定性模型參量與高維反求參量CDF曲線之間的映射關(guān)系。為此，將流形學(xué)習(xí)方法引入映射模型構(gòu)建中，將高維CDF曲線轉(zhuǎn)化為流形空間的低維特征參數(shù)，通過建立模型參量與低維特征參數(shù)之間的代理模型，實(shí)現(xiàn)給定模型參量下反求參量CDF的快速預(yù)測。

在多邊凸集模型內(nèi)對不確定性模型參量進(jìn)行最優(yōu)拉丁超立方抽樣，獲取m個樣本點(diǎn)。對于每一樣本點(diǎn)，進(jìn)行測量不確定性反問題求解，可獲得與之相對應(yīng)的m條待反求參量CDF曲線。統(tǒng)一將每組CDF曲線進(jìn)行離散，則可獲得離散維矩陣H。

H=[h1,h2,…,hm]T

(4)

(5)

對協(xié)方差矩陣C進(jìn)行特征值分解，并將特征值按由大到小的順序排列。在保證CDF流形學(xué)習(xí)映射模型精度的情況下，舍棄貢獻(xiàn)較小的特征值，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維，即取前k(k?d)階特征值和對應(yīng)的特征向量。

通過上述分析，可將d維的高維問題轉(zhuǎn)化為k維的低維問題進(jìn)行處理，通過低維流形空間中特征向量的線性組合可近似重新構(gòu)建高維的反求參量CDF，實(shí)現(xiàn)給定模型不確定性參量U下對應(yīng)的反求參量CDF曲線離散向量的快速預(yù)測，即

(6)

3.2 基于降維積分的測量響應(yīng)不確定性反求

3.1節(jié)通過流形學(xué)習(xí)方法將多源不確定性反問題轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個測量不確定性反問題，本節(jié)將利用基于衍生的λ-PDF降維積分方法進(jìn)一步將測量不確定性反問題轉(zhuǎn)化為少數(shù)配置點(diǎn)處的確定性反問題。

對于測量不確定性反問題，待反求參量的概率密度函數(shù)PDF(Probability density function)形式未知，即其PDF可能為任意形式。為此，本文采用二階衍生的λ-PDF[18]對未知反求參量的不確定性進(jìn)行建模，

f(x|b0,b1,b2,λ)=

(7)

κ=Γ(λ+1)/[Γ(0.5)Γ(λ+0.5)]

(8)

式中b0,b1和b2為衍生的λ-PDF的控制參數(shù)，Γ(·)為伽馬函數(shù)。如圖6所示，二階衍生的λ-PDF可以參數(shù)化地表示未知的任意概率密度曲線。

圖6 不同λ下衍生的λ-PDF

可通過匹配計算響應(yīng)與測量響應(yīng)的統(tǒng)計矩來反求未知參量的PDF，故基于前四階矩的測量不確定性反問題的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(9)

(10)

(11)

(12)

其可以通過二項(xiàng)式定理遞推求解

(13)

(14)

基于此，原系統(tǒng)的統(tǒng)計矩分解為子系統(tǒng)的統(tǒng)計矩進(jìn)行計算，從而有效提高了不確定性傳播效率。

在實(shí)現(xiàn)正向不確定性傳播后，利用優(yōu)化算法對式(9)進(jìn)行迭代求解，可實(shí)現(xiàn)λ-PDF控制參數(shù)的有效反求，進(jìn)而通過式(7)得到與測量響應(yīng)概率特征最相匹配的待反求參量的CDF曲線。

3.3 多源不確定性反問題求解流程

本文提出的基于流形學(xué)習(xí)的多源不確定性反問題求解流程如圖7所示。

圖7 多源不確定性反問題求解流程

(1) 獲取結(jié)構(gòu)不確定性測量響應(yīng)的概率密度函數(shù)和模型參量不確定性的多邊凸集模型。

(2) 在多邊凸集內(nèi)對模型參量進(jìn)行最優(yōu)拉丁超立方采樣。

(3) 對于每個模型參量樣本點(diǎn)，利用降維積分和優(yōu)化算法進(jìn)行測量不確定性反問題求解，獲取待反求參量的CDF曲線。

(4) 對步驟(3)獲取的CDF曲線進(jìn)行流形分析，得到低維流形空間的特征向量和特征參數(shù)。

(5) 利用步驟(2)模型參量的樣本點(diǎn)和步驟(4)低維流形空間的特征參數(shù)，建立徑向基函數(shù)代理模型，并實(shí)現(xiàn)從模型參量到反求參量CDF的流形學(xué)習(xí)映射關(guān)系建模。

(6) 基于流形學(xué)習(xí)映射模型對多邊凸集模型中模型參量的蒙特卡洛樣本進(jìn)行反求參量CDF預(yù)測，并統(tǒng)計獲取反求參量的 P -box 模型。

4 算例分析

4.1 數(shù)值算例

考慮如下的數(shù)值模型

(14)

式中Z1和Z2為已知的測量響應(yīng)，分別服從正態(tài)分布N(9,1.6)和N(23,2.6)；U1和U2為不確定性模型參量，采用如圖8所示的多邊凸集模型對其不確定性進(jìn)行度量；X1和X2為待反求參量。

圖8 模型參量樣本點(diǎn)和多邊凸集模型

在不確定性模型參量多邊凸集域內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)拉丁超立方采樣，生成40個樣本點(diǎn)。在每個樣本點(diǎn)下通過基于降維積分的不確定性反求方法進(jìn)行測量響應(yīng)不確定反問題求解，獲得40條反求參量的CDF曲線。將高維的CDF離散數(shù)據(jù)進(jìn)行流形分析，將其轉(zhuǎn)化為低維流形空間中的特征參數(shù)和特征向量，并建立不確定性模型參量與待反求參量CDF之間的流形學(xué)習(xí)映射模型。為驗(yàn)證流形學(xué)習(xí)映射模型準(zhǔn)確性，圖9給出了4個模型參量測試樣本點(diǎn)下直接預(yù)測的CDF曲線與計算反求的CDF曲線。由對比結(jié)果可知，流形學(xué)習(xí)映射模型獲得的CDF與計算反求獲得CDF幾乎一致，可用該映射模型直接替代耗時的測量不確定性反問題求解過程。

在流形學(xué)習(xí)映射模型基礎(chǔ)上，通過蒙特卡羅仿真MCS(Monte Carlo simulation)實(shí)現(xiàn)多邊凸集度量下模型不確定性反問題的統(tǒng)計求解，快速獲得了待反求參量X的 P -box 邊界。為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，在MCS產(chǎn)生的每一模型參量樣本點(diǎn)進(jìn)行測量不確定性反問題求解，獲取待反求參量的 P -box 邊界，兩種方法的反求結(jié)果如圖9所示。根據(jù)對比結(jié)果可得，本文提出的基于流形學(xué)習(xí)的多源不確定性反求方法的反求結(jié)果與MCS方法的反求結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文提出方法的準(zhǔn)確性。

圖9 反求結(jié)果對比

4.2 渦輪葉片熱力學(xué)參數(shù)的不確定性識別

航空發(fā)動機(jī)渦輪葉片和氣體的對流換熱系數(shù)對渦輪葉片的溫度場分布有很大的影響，因此，有效識別對流換熱系數(shù)對渦輪葉片冷卻系統(tǒng)設(shè)計及葉片壽命評估具有重要影響[16]。本算例通過測量葉片表面應(yīng)力來反求葉片壓力面和吸力面與空氣之間的對流換熱系數(shù)?？紤]到應(yīng)力測量結(jié)果和渦輪葉片建模的多源不確定性，采用本文提出的不確定性反求方法對流換熱系數(shù)進(jìn)行識別。

圖10所示為渦輪葉片的有限元分析模型，其中兩個實(shí)心點(diǎn)為應(yīng)力測量點(diǎn)。葉片熱力學(xué)參數(shù)不確定性識別對應(yīng)的正問題模型可表示為

圖10 渦輪葉片有限元模型

σ=g(h1,h2,ε,λ)

(16)

式中σ=[σ1,σ2](MPa)為兩個測點(diǎn)處的應(yīng)力，分別服從N(671,1)和N(156.84,2)的正態(tài)分布。熱膨脹系數(shù)ε(10-61/K)和導(dǎo)熱系數(shù)λ(W/(m·K))為不確定性模型參量，對應(yīng)的多邊凸集模型如圖11所示。h1和h2分別為壓力面和吸力面上的對流換熱系數(shù)，為待識別的未知參量。

圖11 參數(shù)h1和h2多邊凸集模型

在模型參量多邊凸域內(nèi)隨機(jī)抽取20個樣本點(diǎn)，在每個樣本點(diǎn)處利用基于降維積分的反求方法實(shí)現(xiàn)測量不確定性反問題求解，獲得相應(yīng)的識別參量的CDF曲線。利用流形學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建模型參量與反求參量CDF之間的映射模型，將熱力學(xué)參數(shù)的多源不確定性反問題轉(zhuǎn)化為流形學(xué)習(xí)映射模型下的不確定性傳播問題。通過蒙特卡羅方法對度量模型參量的多邊凸集不確定性向反求參量不確定性進(jìn)行傳播分析，獲得渦輪葉片熱力學(xué)參數(shù) P -box 邊界。反求結(jié)果如圖12所示，由反求得到的 P -box 模型可知，壓力面的對流換熱系數(shù)大致分布范圍在[52,70] W/(m2·K)區(qū)間內(nèi)，吸力面的對流換熱系數(shù)分布在[35,48] W/(m2·K)，另外圖中CDF對比曲線再次驗(yàn)證了本文提出方法的準(zhǔn)確性。

圖12 反求的對流換熱系數(shù) P -box

5 結(jié) 論

本文針對多源不確定性反問題中面臨多層耦合嵌套及大規(guī)模計算的難點(diǎn)問題，提出了基于概率-非概率混合度量和流形學(xué)習(xí)的多源不確定性高效計算反求方法。該方法通過建立模型參量與反求參量CDF之間的流形學(xué)習(xí)映射模型，以少量的計算成本實(shí)現(xiàn)了未知參量的 P -box 模型的高效反求。在反求過程中，通過流形學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了測量響應(yīng)不確定性反問題與模型不確定性反問題的解耦，將多源不確定性反問題轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個測量不確定性反問題；進(jìn)一步對于測量不確定性反問題，通過降維積分方法又轉(zhuǎn)化為了少數(shù)幾個確定性反問題，從而克服了多源不確定性反問題求解過程多層嵌套導(dǎo)致的反求效率和精度問題，在實(shí)現(xiàn)參量識別的同時綜合量化了測量不確定性和模型不確定性對反求參量的綜合影響。

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