王浩軒， 吳 開， 杜建鑌

(清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084)

1 引 言

當(dāng)今微電子和航空航天等高新工業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展對結(jié)構(gòu)的傳熱性能提出了更高的要求，電路的集成化和小型化使得熱傳導(dǎo)變得更加困難，如何對散熱材料進行優(yōu)化設(shè)計，從而利用有限材料獲得更好的傳熱效果，對未來芯片的研究有重要的意義。在航空航天領(lǐng)域，高速飛行器伴隨著嚴重的氣動加熱現(xiàn)象，如何設(shè)計同時滿足力熱要求的結(jié)構(gòu)，也是一個值得研究的問題。拓撲優(yōu)化是一種較為先進的優(yōu)化方法，可以改變結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型，有很大的設(shè)計自由度，目前已廣泛應(yīng)用于力、熱、聲和振動等多種領(lǐng)域的優(yōu)化當(dāng)中。

工程中傳熱問題大多是連續(xù)體拓撲問題，對于連續(xù)體拓撲優(yōu)化，早期最重要的開創(chuàng)性工作可追溯到20世紀(jì)80年代初Cheng等[1,2]針對板的優(yōu)化設(shè)計研究。Bends?e等[3]通過設(shè)計域內(nèi)材料分布描述拓撲微結(jié)構(gòu)，基于均勻化理論將微結(jié)構(gòu)構(gòu)型與宏觀材料屬性對應(yīng)。但均勻化計算較為復(fù)雜，之后文獻[4，5]發(fā)展了變密度拓撲優(yōu)化方法，這種方法基于帶罰因子的固體各向同性材料插值模型SIMP(Solid Isotropic Material with Penalty)，對中間密度的材料進行懲罰，使優(yōu)化迭代趨于0～1分布，這種方法程序?qū)崿F(xiàn)簡單，優(yōu)化效率高，應(yīng)用范圍較廣。對于SIMP模型中的中間密度單元，Bends?e等[6]給出了原因和物理解釋。張君茹等[7]以SIMP法為基礎(chǔ)，以二次型性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，提出了實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)板減振設(shè)計的拓撲優(yōu)化方法。牛飛等[8]以結(jié)構(gòu)最小柔順性為目標(biāo)函數(shù)，提出了擴散結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的理論模型，并得到了二維和三維算例的合理結(jié)果。此外，進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、獨立連續(xù)映射法ICM(Independent Continuous Mapping)和水平集方法等也有較為廣泛的應(yīng)用。

對于傳熱問題，左孔天等[9]基于SIMP材料插值模型，編制了傳熱結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化算法，通過數(shù)值算例進行了驗證。崔天福等[10]以密度法為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出了滿足KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件的最優(yōu)準(zhǔn)則法迭代公式。龍凱等[11]基于ICM法，建立了周期性結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型，針對不同循環(huán)周期下的算例進行計算和對比。魏嘯等[12]基于密度法，分別以算數(shù)平均溫度最小化、單位面積內(nèi)能最小化以及平均溫度梯度最小化為目標(biāo)函數(shù)，對高導(dǎo)熱材料分布形態(tài)進行了研究。Jing等[13]利用水平集法表示結(jié)構(gòu)邊界，采用網(wǎng)格生成法逼近熱對流邊界，驗證了基于水平集的邊界表達優(yōu)化設(shè)計方法的有效性。Torii等[14]提出了一種具有多項式混沌展開PCE(Polynomial Chaos Expansion)的熱傳導(dǎo)魯棒拓撲優(yōu)化，給出了求解不確定大小、不確定位置的發(fā)熱問題以及不確定位置的損傷問題的應(yīng)用，證明了基于不確定性的優(yōu)化方法能夠獲得更穩(wěn)健的設(shè)計。Lohan等[15]利用生成算法對傳熱問題拓撲結(jié)構(gòu)進行設(shè)計，表明生成算法相對于SIMP方法有更大的設(shè)計空間。

模式重復(fù)的思路來自于超材料的設(shè)計，超材料是一類人工復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)，其特點是具有周期性重復(fù)微結(jié)構(gòu)。目前超材料的設(shè)計廣泛使用拓撲優(yōu)化方法，如Sigmund等[16]利用變密度法設(shè)計的負熱膨脹系數(shù)超材料以及Christiansen等[17]設(shè)計的負折射率超材料。但目前大部分超材料設(shè)計均是材料級設(shè)計，即設(shè)計單胞尺寸遠小于宏觀尺寸。這種設(shè)計需要引入均勻化方法，且實際工程中限于制造精度，難以實現(xiàn)真正的材料級設(shè)計。而微結(jié)構(gòu)尺寸與宏觀尺寸相當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)級微結(jié)構(gòu)設(shè)計目前僅在仿生材料[18]領(lǐng)域有較廣泛的應(yīng)用，且單胞結(jié)構(gòu)依賴于主觀設(shè)計，受限嚴重。因此利用拓撲優(yōu)化進行結(jié)構(gòu)級超材料設(shè)計，在工程中是一個新的嘗試。Liu等[19]討論了一種基于對稱性和模式重復(fù)的水平集拓撲優(yōu)化方法，相較傳統(tǒng)水平集方法減小了數(shù)值計算量，通過數(shù)值算例驗證了方法的可行性和有效性。Wu等[20]提出了基于變量關(guān)聯(lián)方法超材料柔性機構(gòu)設(shè)計方法，獲得了具有更高強健性的多胞柔性機構(gòu)。

本文針對工程中的傳熱模式，以SIMP模型為基礎(chǔ)，利用多子域不同分布來實現(xiàn)多種模式重復(fù)方案，對傳熱結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化?，F(xiàn)階段傳熱領(lǐng)域大多以散熱弱度為目標(biāo)函數(shù)，本文考慮了工程中出現(xiàn)較多的局部溫度優(yōu)化問題，以局部溫度最小化為優(yōu)化目標(biāo)進行設(shè)計。為了獲得綜合能力更強的結(jié)構(gòu)，引入了多目標(biāo)設(shè)計方法，對散熱弱度和局部溫度同時進行優(yōu)化，避免了優(yōu)化結(jié)果中的異?，F(xiàn)象。同時考慮工程中的力熱一體化問題，利用多目標(biāo)方法，同時對結(jié)構(gòu)散熱弱度和靜柔度進行優(yōu)化。最后比較了模式重復(fù)結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)全域設(shè)計結(jié)構(gòu)在缺陷影響下的性能。

2 理論模型與優(yōu)化方法

2.1 模式重復(fù)設(shè)計模型建立

模式重復(fù)方法本質(zhì)上是引入周期約束，將單個或多個設(shè)計域上的設(shè)計變量映射到全域上，目前研究較多的是單設(shè)計域映射方式，本文參考并發(fā)展了Wu等[20]提出的多設(shè)計域映射模型，并將其應(yīng)用于熱傳導(dǎo)以及力-熱一體化多目標(biāo)優(yōu)化問題。

考慮模式重復(fù)的單域設(shè)計和多子域設(shè)計概念模型如圖1所示。將全域劃分為大小相等的周期性單胞，單域模式重復(fù)的設(shè)計變量定義在其中一個單胞上；多子域模式重復(fù)的設(shè)計變量定義在其中多個單胞上，最后通過全等映射復(fù)制到其他單胞(由同種單胞映射而成的區(qū)域為一個子域)。

圖1 考慮模式重復(fù)的單域和多子域設(shè)計的映射方式

首先以熱傳導(dǎo)拓撲優(yōu)化問題為例，引入模式重復(fù)的拓撲優(yōu)化模型可表示為

s.t.:KT=P

(1)

(2)

(3)

(4)

式中r為過濾區(qū)域的半徑，α與迭代步數(shù)有關(guān)，可行的一種形式為α=max [1,(t-t0)]，t和t0分別為當(dāng)前和迭代穩(wěn)定時的迭代步數(shù)，目的是在迭代穩(wěn)定后逐步減小過濾的影響。

2.2 最優(yōu)條件與迭代求解

由拉格朗日乘子法易得式(1)的最優(yōu)條件為

(i=1,…,n)

(5)

(6)

式中L為局部溫度選擇向量。由伴隨法進行靈敏度分析，目標(biāo)函數(shù)靈敏度可表示為

(7)

式中λ為目標(biāo)函數(shù)增廣拉格朗日函數(shù)的拉格朗日乘子。對于兩種目標(biāo)函數(shù)，λ可得

(8)

由于K只顯含物理密度x，因此其對設(shè)計變量以鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則進行靈敏度分析，可表示為

(9)

(10,11)

(12)

同樣可以給出,

(13)

(i=1,…,n)

(14)

(15)

2.3 多目標(biāo)優(yōu)化模型和求解

多目標(biāo)模型可利用加權(quán)方式將不同目標(biāo)綜合在一個目標(biāo)函數(shù)當(dāng)中，為保證優(yōu)化中不同目標(biāo)具有量級相近的變化率，可利用式(16)對散熱弱度和局部溫度進行加權(quán)處理[9]

(16)

s.t.:S=PTT

KT=P

(17)

此時目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析結(jié)果如下,

(18)

根據(jù)式(7，8)可求出。

3 問題與結(jié)果分析

3.1 均布內(nèi)熱源散熱問題

考慮芯片散熱的背景材料發(fā)熱問題，全域尺寸為0.1 m×0.1 m，下邊界中心有1/2長度的對流邊界，其余邊界絕熱。兩種設(shè)計材料導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ1=398 W/(m·K)，λ2=237 W/(m·K)，對應(yīng)銅和鋁，設(shè)定銅的體積約束為30%，這是雙材料優(yōu)化問題。對流邊界換熱系數(shù)h=2000 W/(m·K)，內(nèi)部均勻熱源Q=2.4×105W/(m2·K)，外部環(huán)境溫度T∞=20 ℃，優(yōu)化目標(biāo)為散熱弱度。

全域設(shè)計優(yōu)化結(jié)果中，高導(dǎo)熱材料(銅)基本都堆積在拓撲結(jié)構(gòu)的下方，可以解釋為整個區(qū)域的熱量向此處集中，因此需要在此處鋪設(shè)高導(dǎo)熱材料以更高效地將熱量導(dǎo)出。圖2展示了全域設(shè)計、不同結(jié)構(gòu)單胞數(shù)的單域設(shè)計和不同映射方案的多子域設(shè)計優(yōu)化結(jié)果(不同方案Sx-y中，x為子域的個數(shù)，y為設(shè)計單胞的映射類型，具體分布如圖8所示，不同顏色代表不同的子域)?？梢钥闯?，全域設(shè)計與模式重復(fù)設(shè)計之間，以及不同模式重復(fù)方案之間的拓撲結(jié)果有較大差異。這種差異產(chǎn)生的原因是模式重復(fù)方案引入了周期約束，而且不同映射方式也會影響優(yōu)化效果。

圖2 均勻內(nèi)熱源散熱問題優(yōu)化結(jié)果

為探究其中的聯(lián)系，將不同映射方案和不同結(jié)構(gòu)單胞數(shù)對應(yīng)的拓撲結(jié)構(gòu)下的散熱弱度進行比較，如圖3所示。橫坐標(biāo)表示每個方向上單胞的個數(shù)，縱坐標(biāo)為對應(yīng)優(yōu)化結(jié)果的散熱弱度。比較全域設(shè)計和模式重復(fù)可以看出，全域設(shè)計結(jié)果總是最優(yōu)的，因為其具有最高的設(shè)計自由度；比較不同模式重復(fù)方案，此算例中多子域模式重復(fù)結(jié)果均優(yōu)于單域模式重復(fù)結(jié)果，但并不是子域越多越好，與設(shè)計域映射方式有關(guān)。優(yōu)化效果較好的三種方案為S2-2，S4-1和S4-3，具體分布如圖2(c，d)所示。共同點是，(1) 材料整體處于結(jié)構(gòu)下方，與全域設(shè)計相似； (2) 子域近似按照全域設(shè)計結(jié)構(gòu)分區(qū)，保證了不同區(qū)域的不同需求。這對多子域模式重復(fù)的設(shè)計域映射方式有很好的借鑒作用。

圖3 不同方案和單胞數(shù)的比較

3.2 恒定熱流局部溫度優(yōu)化問題

以溫度作為目標(biāo)函數(shù)時，可以選擇整個區(qū)域和局部區(qū)域甚至某幾個點的溫度進行優(yōu)化，相較于散熱弱度，可以針對特殊情況進行處理，如目標(biāo)區(qū)域某個部分有耐熱性差的材料，或是元件對溫度較為敏感，則需要特別針對這部分進行局部優(yōu)化。

全域模型如圖4所示，發(fā)熱元件位于全域上方，將其簡化為恒定熱流邊界，長度為上邊界尺寸的1/2，需通過設(shè)計散熱通道將熱量傳導(dǎo)至下方對流邊界。全域尺寸0.1 m×0.1 m,恒定熱流q=20000 W/m，下邊界為對流邊界，其余邊界絕熱。兩種設(shè)計材料導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ1=398 W/(m·K)，λ2=0.01 W/(m·K)，對應(yīng)銅和空氣，銅的體積約束為50%。對流邊界換熱系數(shù)h=2000 W/(m·K)，外部環(huán)境溫度T∞=20 ℃。區(qū)域中央為一正方形保護區(qū)域，即需要進行局部溫度優(yōu)化的區(qū)域，占全域面積的1/4。

圖4為全域設(shè)計優(yōu)化結(jié)果，材料分為兩部分，一部分分布在兩邊，將熱流由上至下傳至換熱邊界；另一部分在中央，將目標(biāo)區(qū)域的熱量導(dǎo)出。 這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢是保護區(qū)域溫度極低，幾乎等于環(huán)境溫度，但不足之處是在熱流入口處出現(xiàn)局部高溫。

圖4 簡化模型和全域設(shè)計結(jié)果

由于優(yōu)化目標(biāo)和邊界條件的特殊性，通過以下處理保證模式重復(fù)結(jié)果的合理性，令熱流入口處單元密度恒為1，且不隨迭代變化，可以保證熱流能夠進入?yún)^(qū)域，與實際工程也相符。利用多目標(biāo)優(yōu)化公式將散熱弱度和保護區(qū)域溫度聯(lián)合，散熱弱度為低權(quán)重，目的是防止非保護區(qū)域溫度異常；保護區(qū)域溫度為高權(quán)重，使保護區(qū)溫度最小化。

不同模式重復(fù)拓撲結(jié)構(gòu)如圖5所示，相關(guān)參數(shù)列入表1。與問題1的相同點是模式重復(fù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化效果均差于全域設(shè)計結(jié)果，而且溫度相差較為明顯，但此問題中全域設(shè)計結(jié)果在非保護區(qū)域出現(xiàn)明顯高溫，而這樣的高溫在工程應(yīng)用中可能會受到很大限制。

圖5 不同方案拓撲優(yōu)化結(jié)果

表1 不同方案參數(shù)

模式重復(fù)結(jié)構(gòu)將熱流邊界與保護區(qū)域直接相連，這是模式重復(fù)結(jié)構(gòu)與全域設(shè)計結(jié)構(gòu)的最大不同之處。在模式重復(fù)中，即使考慮了將保護區(qū)域設(shè)為單獨的子域(圖5(b)左)，仍然無法避免這種直接相連的情況。這與模式重復(fù)方法本身的周期性約束有關(guān)，在這種約束下，模式重復(fù)方法對特定問題(如本節(jié)的局部溫度優(yōu)化)適應(yīng)性較差。但是模式重復(fù)結(jié)構(gòu)中，材料在全域內(nèi)分布較均勻，這種結(jié)構(gòu)更容易兼顧多種性能，對實際工程的復(fù)雜環(huán)境有較強的適應(yīng)性。

3.3 力熱一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計問題

力熱一體化結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計可以對工程中復(fù)雜的力熱一體化問題提出設(shè)計思路。本節(jié)基于簡單的力熱條件模型，探究模式重復(fù)在力熱一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計中的可行性。

如圖6所示，全域尺寸0.1 m×0.05 m，熱邊界條件為區(qū)域上邊界中心有1/2長度的恒定熱流邊界，qh=20000 W/m，下邊界為對流邊界，換熱系數(shù)h=2000 W/(m·K)，其余邊界絕熱，外部環(huán)境溫度T∞=20 ℃。力邊界條件，上邊界中心有向下的集中力F=1000 N，下邊界左右角為固定邊界。設(shè)計材料為鋁合金，體積約束30%。導(dǎo)熱系數(shù)λ=160 W/(m·K)，彈性模量E=72 GPa，泊松比為0.33。熱目標(biāo)與力目標(biāo)分別是散熱弱度和靜柔度，為多目標(biāo)優(yōu)化問題。

圖6為簡化模型以及不同力熱權(quán)重下的全域設(shè)計結(jié)果，由于結(jié)構(gòu)是左右對稱的，方便起見只展示左半結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，隨兩者權(quán)重的變化，拓撲結(jié)構(gòu)逐漸從傳力最優(yōu)變化至傳熱最優(yōu)。

圖6 簡化模型和全域設(shè)計結(jié)果(左半)

模式重復(fù)結(jié)構(gòu)也有類似的變化，不同重復(fù)方案的結(jié)果如圖7所示。當(dāng)散熱弱度與靜柔度權(quán)重相當(dāng)時，拓撲結(jié)構(gòu)具有兩者單獨優(yōu)化時的特征，可以看作是純力優(yōu)化與純熱優(yōu)化的結(jié)合。不同方案下，模式重復(fù)方法均得到了清晰的結(jié)構(gòu)。

圖7 不同模式重復(fù)方案和不同權(quán)重組合結(jié)果(左半)

圖8 不同多子域模式重復(fù)映射方案(不同顏色為不同子域)

4 結(jié)構(gòu)在缺陷影響下的性能

分析全域設(shè)計結(jié)構(gòu)和模式重復(fù)結(jié)構(gòu)在受損狀態(tài)下的性能。分析方式主要為全局分析，假設(shè) 0.1 m×0.1 m的結(jié)構(gòu)上(如3.2節(jié))出現(xiàn)了一小塊缺陷，缺陷大小為0.0167 m×0.0333 m(結(jié)構(gòu)1/6邊長×1/3邊長)，缺陷處材料設(shè)置為低性能材料。缺陷橫縱坐標(biāo)均進行變動，以遍歷整個區(qū)域。每一組坐標(biāo)為一個采樣位置，記錄此缺陷下結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)和全域最高溫度等信息，得到一系列樣本數(shù)據(jù)，進而對樣本數(shù)據(jù)進行分析。以3.2節(jié)得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)為例，統(tǒng)計得到的樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差列入表2。

表2 恒定熱流局部溫度優(yōu)化問題結(jié)構(gòu)強健性分析

對恒定熱流局部溫度優(yōu)化問題不同結(jié)構(gòu)進行分析，發(fā)現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)中，全域設(shè)計的保護區(qū)平均溫度和全域最高溫度的標(biāo)準(zhǔn)差明顯高于其他結(jié)構(gòu)，說明全域設(shè)計結(jié)構(gòu)在有缺陷影響時，性能波動較大，這是因為全域設(shè)計結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置破壞后，熱量會在上方集中，而模式重復(fù)結(jié)構(gòu)由于每個單胞都有工作能力，因此不會存在這樣的情況。則可以說明模式重復(fù)結(jié)構(gòu)具有更強的抗缺陷能力。

5 結(jié) 論

本文通過兩類傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計,以及力熱一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計，驗證了多子域模式重復(fù)方法在熱傳導(dǎo)和力熱一體化拓撲優(yōu)化中的可行性。對以溫度為目標(biāo)函數(shù)的傳熱問題進行了分析，考察了多子域模式重復(fù)方法對局部優(yōu)化問題的適應(yīng)能力。最后比較了全域設(shè)計結(jié)構(gòu)和模式重復(fù)結(jié)構(gòu)在缺陷下的性能。

從優(yōu)化效果看，模式重復(fù)設(shè)計與傳統(tǒng)全域設(shè)計相比有較大差距，這主要是因為模式重復(fù)方法大大減小了設(shè)計自由度。但另一方面，模式重復(fù)有很多適合工程應(yīng)用的特性和功能, (1) 模式重復(fù)結(jié)構(gòu)由周期性微結(jié)構(gòu)單胞排列而成，這為工程的模塊化組裝提供了基礎(chǔ)，大大降低了制造難度。(2) 模式重復(fù)結(jié)構(gòu)更擅長應(yīng)對缺陷問題，即使局部失效，整體性能也不會受到太大影響。(3) 模式重復(fù)結(jié)構(gòu)綜合性能較為均衡，在多目標(biāo)因素均衡設(shè)計中有很大應(yīng)用空間。

多子域模式重復(fù)設(shè)計效果介于單域模式重復(fù)設(shè)計和傳統(tǒng)全域設(shè)計之間，同時又繼承了模式重復(fù)結(jié)構(gòu)的諸多優(yōu)點，因此是一種十分理想的模式重復(fù)方案。當(dāng)然，多子域模式重復(fù)方法目前仍存在一定的不足。(1) 多子域模式重復(fù)中，子域的映射方案主要依靠經(jīng)驗和嘗試，如參考全域設(shè)計結(jié)果和利用多子域均勻分布等，尚不能高效準(zhǔn)確地進行最優(yōu)映射。 (2) 多子域模式重復(fù)結(jié)構(gòu)中存在結(jié)構(gòu)冗余，這也是其性能相比全域設(shè)計有所降低的原因之一。 (3) 多子域模式重復(fù)方案對一些特定問題的適應(yīng)性較差，實際應(yīng)用中仍需根據(jù)具體需求選擇全域設(shè)計或是模式重復(fù)設(shè)計。

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