賈帥龍, 王志亮, 熊 峰, 田諾成, 盧志堂

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

自然巖體中往往存在許多不連續(xù)軟弱結(jié)構(gòu)面,如充填節(jié)理、軟弱夾層及斷層等。在這些軟弱結(jié)構(gòu)面中一般含有如碎屑、黏土等充填材料,其不僅影響巖體的力學(xué)特性,也對(duì)應(yīng)力波在巖體中的傳播特性產(chǎn)生影響。當(dāng)爆炸或地震作用產(chǎn)生的應(yīng)力波傳播到巖體不連續(xù)結(jié)構(gòu)面處時(shí),結(jié)構(gòu)面處的材料與巖石接觸界面均會(huì)產(chǎn)生變形,導(dǎo)致應(yīng)力波發(fā)生透射和反射現(xiàn)象,對(duì)巖體工程的安全造成影響。因此,有必要對(duì)應(yīng)力波在節(jié)理巖體中的傳播機(jī)理展開(kāi)研究。

關(guān)于應(yīng)力波在節(jié)理巖體中傳播規(guī)律的研究,國(guó)內(nèi)外研究者開(kāi)展了大量工作。文獻(xiàn)[1-2]采用薄層界面模型探討了應(yīng)力波垂直與斜入射充填節(jié)理的傳播特性,并與現(xiàn)有的理論方法進(jìn)行了對(duì)比分析;文獻(xiàn)[3]研究了應(yīng)力波在單條和多條平行充填節(jié)理中的傳播規(guī)律,發(fā)現(xiàn)透射系數(shù)隨著節(jié)理?xiàng)l數(shù)的增加而減小;文獻(xiàn)[4]以節(jié)理接觸面積比為關(guān)鍵參數(shù)建立了一維接觸界面模型,指出當(dāng)節(jié)理接觸面積比大于0.5時(shí),一維接觸界面模型可以準(zhǔn)確呈現(xiàn)透射波與反射波;文獻(xiàn)[5-6]采用改進(jìn)的主頻率法對(duì)應(yīng)力波在巖體中的傳播規(guī)律進(jìn)行了分析,并提出了非線性黏彈性等效介質(zhì)模型;文獻(xiàn)[7]結(jié)合特征線法與庫(kù)倫滑動(dòng)模型建立了粒子與剪切應(yīng)力的遞推方程,得出剪切應(yīng)力比是影響應(yīng)力波傳播特性的重要因素;文獻(xiàn)[8]通過(guò)PFC2D軟件模擬了應(yīng)力波在充填節(jié)理中的傳播,得出透射系數(shù)與應(yīng)力波幅值和頻率有關(guān);文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)了縱波在2個(gè)節(jié)理間傳播的時(shí)域方程,發(fā)現(xiàn)節(jié)理剛度與入射波頻率對(duì)透射和反射系數(shù)有一定的影響;文獻(xiàn)[10]考慮了地應(yīng)力對(duì)柱面應(yīng)力波在完整巖石中物理和幾何衰減的影響,推導(dǎo)出柱面波在節(jié)理巖體中的傳播方程,并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

綜上所述,對(duì)于含充填材料的軟弱結(jié)構(gòu)面,一般將充填節(jié)理直接簡(jiǎn)化為不考慮厚度的節(jié)理模型,忽視了充填節(jié)理性質(zhì)對(duì)應(yīng)力波在巖體中傳播的影響。此外,巖體中巖石與充填材料之間往往存在孔隙[11],兩者并不是緊密接觸,在應(yīng)力波的作用下節(jié)理接觸界面與充填材料均會(huì)產(chǎn)生變形。而以往研究均假定節(jié)理接觸界面為緊密接觸面[1-2],不考慮節(jié)理接觸界面變形的影響。因此,本文引入線彈性模型對(duì)巖石與充填材料之間的接觸界面進(jìn)行描述,并基于時(shí)域遞歸分析方法推導(dǎo)出應(yīng)力波入射充填節(jié)理的波動(dòng)方程,分析了節(jié)理接觸界面剛度、節(jié)理厚度及入射角度對(duì)節(jié)理巖體中應(yīng)力波傳播特性的影響,并進(jìn)一步通過(guò)應(yīng)力均勻性假定,反推得出了充填節(jié)理的法向與切向力學(xué)特性的變化規(guī)律,該力學(xué)特性同時(shí)考慮了節(jié)理接觸界面與充填材料的共同變形。研究成果可為應(yīng)力波在節(jié)理巖體中傳播規(guī)律的研究提供一定的理論指導(dǎo)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 充填節(jié)理模型

充填節(jié)理主要由接觸界面1、充填材料及接觸界面2構(gòu)成,如圖1所示。分析過(guò)程中巖石和充填材料均為各向同性的均質(zhì)彈性體。巖石與充填材料的接觸界面采用線彈性模型,如圖2所示。圖2中,kn、ks分別為節(jié)理接觸界面法向和切向剛度。

圖1 充填節(jié)理模型

圖2 線彈性模型

當(dāng)應(yīng)力波傳播到充填節(jié)理兩側(cè)接觸界面時(shí),應(yīng)力波發(fā)生透射和反射的現(xiàn)象,從而形成透射波與反射波。同時(shí),應(yīng)力波在充填節(jié)理界面處的傳播滿足Snell定理,即

(1)

其中:crp、crs(cfp、cfs)分別為巖石(充填材料)中P波和S波的傳播速度;αr、βr(αf、βf)分別為巖石(充填材料)中P波與S波的入射角。

1.2 應(yīng)力波在充填節(jié)理處的傳播方程

應(yīng)力波傳播到節(jié)理接觸界面處將產(chǎn)生透射波和反射波,因此,在巖石和充填材料中均存在4種傳播方向的應(yīng)力波,如圖3所示,分別為右行和左行P波以及右行和左行S波。文獻(xiàn)[12]給出了接觸界面兩側(cè)法向應(yīng)力σm和切向應(yīng)力τm的表達(dá)式,分別為:

圖3 節(jié)理接觸界面處應(yīng)力波示意圖

σm=(Zpvrpcos 2β)m+(Zsvrssin 2β)m+

(Zpvlpcos 2β)m-(Zsvlssin 2β)m

(2)

τm=(Zpvrpsin 2βtanβ/tanα)m-(Zsvrscos 2β)m-

(Zpvlpsin 2βtanβ/tanα)m-(Zsvlscos 2β)m

(3)

其中:上標(biāo)m表示“-”和“+”符號(hào),分別表示節(jié)理接觸界面的左側(cè)和右側(cè);vrp、vlp分別為右行和左行的P波波速;vrs、vls分別為右行和左行的S波波速;Zp、Zs分別為P波與S波的波阻抗;α、β分別為P波和S波的入射角。

(vlpcosα)m+(vlssinβ)m

(4)

(vlpsinα)m+(vlscosβ)m

(5)

根據(jù)前面節(jié)理接觸界面的假設(shè),節(jié)理接觸界面處滿足位移不連續(xù)條件,可以得出:

σ-=σ+,τ-=τ+

(6)

(7)

(8)

(9)

其中:i為時(shí)間參數(shù)。

將(2)式、(3)式代入(6)式,可得:

(10)

其中,下標(biāo)Ⅰ和Ⅱ分別代表圖1中的巖石和充填材料介質(zhì)。

An、Bn(n=Ⅰ,Ⅱ)分別為:

將(4)式、(5)式代入(8)式和(9)式,可得:

(11)

其中,E、F、G、H、J、K分別為:

由以上可知,通過(guò)(10)式、(11)式可得到應(yīng)力波通過(guò)接觸界面1的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度。由于充填材料為各向同性的均質(zhì)材料,應(yīng)力波在充填節(jié)理中任意一點(diǎn)均滿足應(yīng)力與位移連續(xù)條件,因此,當(dāng)應(yīng)力波傳播到節(jié)理接觸界面2時(shí),有

(12)

(13)

其中:下標(biāo)1、2分別代表節(jié)理接觸界面1與接觸界面2;Δtp、Δts分別為P波與S波在充填節(jié)理中的傳播時(shí)間。Δtp、Δts計(jì)算公式分別為:

Δtp=L/(cfpcosαf), Δts=L/(cfscosβf)

(14)

其中,L為充填節(jié)理厚度。

綜上可知,通過(guò)(10)～(14)式即可分析出應(yīng)力波在充填節(jié)理處的傳播規(guī)律。充填節(jié)理中應(yīng)力波的傳播主要分為3個(gè)階段:首先應(yīng)力波通過(guò)節(jié)理接觸界面1,其得到的左行P波和S波即為反射P波與S波;然后應(yīng)力波在充填材料中進(jìn)行傳播;最后應(yīng)力波經(jīng)過(guò)節(jié)理接觸界面2得到透射P波與S波。本文采用Matlab軟件對(duì)理論方程進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)計(jì)算節(jié)理厚度與波長(zhǎng)比小于1/100時(shí),計(jì)算結(jié)果的誤差可忽略[13]。因此,為了均衡軟件計(jì)算效率與計(jì)算結(jié)果的正確性,將時(shí)間步長(zhǎng)Δt統(tǒng)一取值為1/(2 000f),f為應(yīng)力波頻率。

2 理論驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)理論方程的正確性以及與已有理論[2]的差異,分別從應(yīng)力波法向和斜入射充填節(jié)理方面與文獻(xiàn)[2]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。定義無(wú)量綱剛度系數(shù)Kn=kn/(Zpω),Ks=ks/(Zsω),ω為圓頻率,Kn、Ks的取值范圍為0.5～10.0。

分析過(guò)程中入射角度均在臨界角范圍內(nèi),入射P波的臨界角度αc=90°,S波的臨界角度βc=arcsin (cs/cp)=30.4°。巖石和充填材料的參數(shù)取值和文獻(xiàn)[1]一致,見(jiàn)表1所列。

表1 巖石與充填材料參數(shù)

2.1 應(yīng)力波法向入射充填節(jié)理

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)波動(dòng)方程的正確性,與文獻(xiàn)[2]提出的薄層模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[2]中巖石與充填節(jié)理的接觸界面為位移連續(xù)面,而本文為位移不連續(xù)面。為降低節(jié)理接觸界面變形的影響,計(jì)算過(guò)程中將節(jié)理接觸界面法向與切向剛度的取值均設(shè)為100 GPa/m,進(jìn)而忽略節(jié)理接觸界面變形的影響。為更加清晰地研究應(yīng)力波在充填節(jié)理處的傳播規(guī)律,定義透射系數(shù)TKC和反射系數(shù)RKC分別為:

(15)

其中:K=P,S;vIK、vRK、vTK分別為質(zhì)點(diǎn)入射、反射及透射波的振動(dòng)速度。

分析中入射P波與S波均為1/2周期的簡(jiǎn)諧波,振幅為1 m/s,頻率為100 Hz。應(yīng)力波法向入射充填節(jié)理下本文與文獻(xiàn)[2]透射與反射系數(shù)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。從圖4可以看出:當(dāng)P波和S波法向入射充填節(jié)理時(shí),透射系數(shù)均隨著節(jié)理厚度的增加而降低,反射系數(shù)逐漸增大;在不同節(jié)理厚度下本文與文獻(xiàn)[2]結(jié)果有一定的差異,這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[2]中節(jié)理接觸界面為不連續(xù)面,而本文中將節(jié)理接觸界面剛度設(shè)定為一個(gè)較大值,節(jié)理接觸界面會(huì)產(chǎn)生較小的變形,對(duì)應(yīng)力波的傳播規(guī)律造成影響。

圖4 應(yīng)力波法向入射充填節(jié)理下透射與反射系數(shù)結(jié)果對(duì)比

2.2 應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理

應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理時(shí),P波與S波的入射角度均設(shè)為20°。應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理下本文與文獻(xiàn)[2]透射和反射系數(shù)結(jié)果對(duì)比如圖5所示。從圖5可以看出,當(dāng)P波與S波斜入射充填節(jié)理時(shí),入射波形均發(fā)生轉(zhuǎn)變,形成了透射P波與S波以及反射P波與S波。通過(guò)將本文與文獻(xiàn)[2]結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn),在P波與S波入射下透射與反射系數(shù)均出現(xiàn)較小的差異。

圖5 應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理下透射與反射系數(shù)結(jié)果對(duì)比

因此,當(dāng)應(yīng)力波法向或斜入射充填節(jié)理時(shí),本文與文獻(xiàn)[2]得出的透射與反射系數(shù)結(jié)果均呈現(xiàn)較小的差別,表明節(jié)理接觸界面對(duì)應(yīng)力波的傳播特性具有一定的影響,同時(shí),也驗(yàn)證了本文所推導(dǎo)理論方程的正確性。

3 參數(shù)分析

3.1 節(jié)理接觸界面剛度的影響

為了研究節(jié)理接觸界面剛度對(duì)應(yīng)力波傳播特性的影響,分析過(guò)程中無(wú)量綱剛度系數(shù)Kn=Ks=K,K的取值范圍為0.5～10.0,充填節(jié)理厚度為8 mm,P波與S波的入射角度均為20°。應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理下透射與反射系數(shù)變化曲線如圖6所示。

從圖6可以看出:隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加,由P波得出的透射系數(shù)TPC與S波得出的透射系數(shù)TSC均逐漸增大,但其增加幅度逐漸降低并趨于穩(wěn)定;由P波得出的透射系數(shù)TSC和S波得出的透射系數(shù)TPC基本處于較小值,變化較不明顯;由P波得出的反射系數(shù)RPC與RSC均隨著節(jié)理接觸面剛度的增加而降低,同時(shí),其降低幅度逐漸減小。

圖6 應(yīng)力波斜入射充填節(jié)理下透射與反射系數(shù)變化曲線

3.2 充填節(jié)理厚度的影響

以往對(duì)應(yīng)力波在充填節(jié)理處傳播規(guī)律的研究,一般將充填節(jié)理簡(jiǎn)化為位移不連續(xù)模型,忽視了充填節(jié)理厚度的影響。因此,有必要分析充填節(jié)理厚度對(duì)應(yīng)力波傳播特性的影響。實(shí)際工程中巖體中充填寬度與波長(zhǎng)相比較小,計(jì)算過(guò)程中將充填節(jié)理厚度范圍設(shè)為4～20 mm,無(wú)量綱剛度系數(shù)Kn=Ks=K=6.0,P波與S波的入射角度均為20°。不同節(jié)理厚度下P波的透射與反射系數(shù)變化曲線如圖7所示。

圖7 不同充填節(jié)理厚度下P波的透射與反射系數(shù)變化曲線

由圖7可知:

(1) 當(dāng)節(jié)理接觸界面剛度相同時(shí),透射系數(shù)TPC隨著節(jié)理厚度的增加而降低,反射系數(shù)RPC與RSC逐漸增大,而透射系數(shù)TSC變化較不明顯。這是因?yàn)槌涮罟?jié)理厚度越大,充填節(jié)理的等效法向與切向剛度越小,導(dǎo)致大部分應(yīng)力波發(fā)生反射,從而透過(guò)充填節(jié)理的應(yīng)力波較少。

(2) 在相同節(jié)理厚度下透射系數(shù)TPC隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加而增大,反射系數(shù)RPC與RSC逐漸降低。

(3) 從文獻(xiàn)[2]得出的結(jié)果可知,當(dāng)不考慮節(jié)理接觸界面變形時(shí),透射系數(shù)TPC最大,而反射系數(shù)RPC與RSC最小。

不同節(jié)理厚度下S波的透射與反射系數(shù)變化曲線如圖8所示。

從圖8可以看出:在相同節(jié)理接觸界面剛度下,透射系數(shù)TSC隨著節(jié)理厚度的增加而減小,而反射系數(shù)RPC與RSC逐漸增大;當(dāng)節(jié)理厚度相同時(shí),透射系數(shù)TSC隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加而增大,而反射系數(shù)RPC與RSC逐漸減小。

3.3 應(yīng)力波入射角度的影響

為了揭示入射角度對(duì)應(yīng)力波在充填節(jié)理處傳播特性的影響,分析中無(wú)量綱剛度系數(shù)Kn=Ks=K=6.0,充填節(jié)理厚度為8 mm。P波在不同入射角度下透射與反射系數(shù)的變化曲線如圖9所示。

由圖9可知:透射系數(shù)TPC隨著入射角度的增加基本保持不變,而透射系數(shù)TSC逐漸增大,當(dāng)接近入射臨界角90°時(shí),透射系數(shù)TPC與TSC顯著降低;當(dāng)入射角度小于60°時(shí),反射系數(shù)RPC隨著入射角度的增加而降低,而入射角度接近臨界角時(shí),透射系數(shù)RPC迅速增大;反射系數(shù)RSC以45°為界限,隨著入射角度的增加呈先增大后降低的規(guī)律;P波在相同入射角度下,透射系數(shù)TPC隨著節(jié)理接觸界面剛度的增大而增大,而反射系數(shù)RPC與RSC逐漸降低。

圖9 P波在不同入射角度下透射與反射系數(shù)變化曲線

S波在不同入射角度下透射與反射系數(shù)的變化曲線如圖10所示。由圖10可知:當(dāng)S波在入射臨界角范圍內(nèi)時(shí),透射系數(shù)TPC與TSC均隨著入射角度的增加而增大,節(jié)理接觸界面剛度越小則增加幅度越明顯,當(dāng)接近臨界角時(shí),透射系數(shù)TSC的增加幅度較大;反射系數(shù)RPC隨著入射角度的增加而增大,而反射系數(shù)RSC逐漸降低;在入射角接近臨界角的情況下,反射系數(shù)RPC迅速增加,而反射系數(shù)RSC下降幅度較小,并且這種現(xiàn)象隨著節(jié)理接觸界面剛度減小而愈加明顯。

圖10 S波在不同入射角度下透射與反射系數(shù)變化曲線

4 充填節(jié)理法向與切向力學(xué)特性

依據(jù)應(yīng)力均勻性的假設(shè),可通過(guò)節(jié)理兩側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度推導(dǎo)出節(jié)理處的應(yīng)力與位移。根據(jù)相同的方法,當(dāng)節(jié)理厚度較小時(shí),可將充填節(jié)理等效為位移不連續(xù)面模型,如圖11所示。采用充填節(jié)理兩側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度即可反推出不連續(xù)面的應(yīng)力-位移力學(xué)特性,該力學(xué)特性同時(shí)考慮了節(jié)理接觸界面與充填材料的共同變形。

圖11 充填節(jié)理與等效節(jié)理模型

4.1 接觸界面剛度的影響

當(dāng)P波法向入射充填節(jié)理時(shí),法向應(yīng)力與閉合量[2]分別為:

(16)

(17)

其中,Er為巖石的彈性模量。S波法向入射充填節(jié)理時(shí),切向應(yīng)力與閉合量[2]的表達(dá)式為:

(18)

(19)

其中,Gr為巖石的剪切模量。

通過(guò)(16)～(19)式可得出充填節(jié)理處應(yīng)力與閉合量的關(guān)系,計(jì)算過(guò)程中入射波頻率f=100 Hz,充填節(jié)理厚度為8 mm。應(yīng)力與節(jié)理閉合量的關(guān)系曲線如圖12所示。由圖12可知:充填節(jié)理的法向與切向閉合量均隨著應(yīng)力的增加而增加,呈現(xiàn)出較強(qiáng)的線性關(guān)系;隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加,應(yīng)力與節(jié)理閉合量關(guān)系的斜率逐漸增大;當(dāng)節(jié)理接觸界面連續(xù)時(shí),應(yīng)力與節(jié)理閉合量關(guān)系的斜率達(dá)到最大值。

圖12 應(yīng)力與節(jié)理閉合量的關(guān)系曲線

4.2 節(jié)理厚度的影響

為了更好地描述充填節(jié)理的法向與切向力學(xué)特性,在考慮節(jié)理接觸界面與充填材料的共同變形下,將法向應(yīng)力與節(jié)理法向閉合量關(guān)系的線性斜率定義為等效法向剛度Kne,切向應(yīng)力與節(jié)理切向閉合量的線性斜率定義為等效切向剛度Gte。不同節(jié)理接觸界面剛度下Kne、Gte與節(jié)理厚度的關(guān)系如圖13所示。

從圖13可以看出:Kne與Gte均隨著節(jié)理厚度的增加而降低;隨著節(jié)理厚度的增加,當(dāng)節(jié)理接觸界面剛度較小時(shí),Kne與Gte的降低幅度較小;當(dāng)節(jié)理接觸界面剛度較大時(shí),Kne與Gte的下降幅度較大。例如:當(dāng)節(jié)理厚度為4、20 mm時(shí),K=10.0下的Kne分別為13.60、3.46 GPa,Gte分別為9.04、2.24 GPa,下降幅度分別為74%、75%;而K=4.0下的Kne分別為9.55、3.14 GPa,Gte分別為6.75、2.01 GPa,Kne與Gte的下降幅度分別為67%、35%。

圖13 不同節(jié)理厚度下等效剛度變化曲線

不同節(jié)理厚度下Kne、Gte與無(wú)量綱剛度系數(shù)K的關(guān)系如圖14所示。

圖14 不同節(jié)理接觸界面剛度下等效剛度變化曲線

由圖14可知:當(dāng)節(jié)理厚度相同時(shí),Kne和Gte均隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加而增大;節(jié)理厚度越小,節(jié)理接觸界面剛度對(duì)Kne與Gte的影響越明顯;隨著節(jié)理厚度的增加,節(jié)理接觸界面剛度的影響逐漸降低,Kne與Gte的增加幅值明顯降低。

這是因?yàn)槌涮罟?jié)理一般由軟弱材料填充,當(dāng)節(jié)理厚度較大時(shí),節(jié)理變形主要由充填材料變形引起,其對(duì)應(yīng)力波的傳播規(guī)律影響較大。因此,在節(jié)理厚度較大的情況下,隨著節(jié)理接觸界面剛度的增加,Kne和Gte的增加幅度較不明顯。

5 結(jié) 論

本文考慮了節(jié)理接觸界面與充填材料的共同變形,推導(dǎo)了P波和S波在充填節(jié)理處的波動(dòng)方程,并進(jìn)一步探討了充填節(jié)理法向與切向力學(xué)特性的變化規(guī)律,主要得出以下結(jié)論:

(1) 通過(guò)將本文波動(dòng)方程結(jié)果與文獻(xiàn)[2]理論所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證了本文方法的可行性。在分析應(yīng)力波法向與斜入射充填節(jié)理的力學(xué)行為時(shí),本文方法顯示出較高的精度。

(2) 節(jié)理接觸界面剛度、節(jié)理厚度及入射角度均對(duì)應(yīng)力波在充填節(jié)理處的傳播規(guī)律產(chǎn)生影響。在相同節(jié)理厚度與應(yīng)力波入射角度下,透射系數(shù)隨著節(jié)理接觸面剛度的增大而增大,反射系數(shù)則逐漸降低。

(3) 基于應(yīng)力均勻性假設(shè),得出充填節(jié)理法向與切向力學(xué)特性變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)等效法向與切向剛度均隨著節(jié)理接觸面剛度的增大而增大,但隨節(jié)理厚度的增加呈降低趨勢(shì)。