許偉志 蔣凌云

【摘要】線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要組成部分，是考研數(shù)學(xué)中的核心板塊之一.該學(xué)科抽象，概念多，定理多，性質(zhì)多，這使得對基礎(chǔ)概念與解題方法不熟練的學(xué)生無從下手.近年來，線性代數(shù)考研題的跨度比較大，一個題目在解答時可能涉及多個章節(jié)的知識點，這給考生復(fù)習(xí)帶來了困難和阻力.但是，線性代數(shù)的題型和解題方法相對固定，有規(guī)律可循.為此，本文統(tǒng)計分析了近十年（2010—2020）全國考研數(shù)學(xué)三中關(guān)于求相似變換矩陣的相關(guān)考題，分析總結(jié)了三類典型的出題模式及不同的解題方法與相應(yīng)注意事項，以期對考研中教師輔導(dǎo)和學(xué)生復(fù)習(xí)應(yīng)考有所幫助.

【關(guān)鍵詞】考研數(shù)學(xué);相似矩陣;特征值與特征向量;可逆矩陣;正交矩陣

矩陣相似與矩陣對角化[1]一直是考研的重要考點，其中求相似變換矩陣一直備受出題人的青睞[2].本人對近十年（2010—2020）全國研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題中關(guān)于此知識點的出題情況及相關(guān)題型進(jìn)行了分析和歸類，給出了解題的應(yīng)對方法和思路，以方便教師輔導(dǎo)和學(xué)生備考時更好地掌握和滲透此知識點.

一、求相似變換矩陣的題型總體可以分為三類

第一類為已知矩陣A，B相似，且A，B都為一般型矩陣（非對角陣，非對稱矩陣），求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣，即為表1中的（1）類，屬于常規(guī)題型.

第二類為已知矩陣A，B相似，且A，B都為一般型矩陣，求可逆矩陣P，使P-1AP=B，這類題型計算量一般會大于第一類，表1中記為（2）類.

第三類為用正交矩陣將實對稱矩陣相似對角化的題型，這是考研的重點題型，出題頻率很高，因為二次型的矩陣為實對稱矩陣，所以這類題型就演變成了用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的問題，表1中歸為 （3）類.

求相似變換矩陣一般以大題形式出現(xiàn)，分值都為11分，學(xué)生備考時應(yīng)加以重視.

三、幾點建議

1.從近十年數(shù)學(xué)三考研真題來看，矩陣相似以及相似對角化出題比較頻繁，有大題也有小題，但對于求相似變換可逆矩陣P的題型一般以大題形式出現(xiàn)，綜合性強(qiáng).這就要求學(xué)生對于基礎(chǔ)知識中的相似矩陣的性質(zhì)、求特征值、求特征向量、特征值與特征向量所具有的性質(zhì)，以及相似的過程變換都需要熟練地掌握，并理解透徹.因此，筆者建議同學(xué)們首先要打牢基礎(chǔ)，對于基本題型要多加練習(xí)，只有做到熟練掌握相關(guān)公式、性質(zhì)和方法，對基礎(chǔ)題型訓(xùn)練有素，才能很好地應(yīng)對各種題型的變化.

2.求相似變換矩陣的題型中，一般計算量都比較大，要求學(xué)生在掌握方法技巧的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確、迅速地運(yùn)算出每一步的結(jié)果.所以，筆者希望同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成動手計算的習(xí)慣，不能盲目地追求方法技巧而忽視運(yùn)算能力.復(fù)雜的運(yùn)算能力是考研大綱中對考生的基本要求，這種能力的提升只有靠平時多加練習(xí)才能獲得.

3.學(xué)會知識的融會貫通.以2020年的第20題為例，很多同學(xué)考完試后就感嘆這一年的線性代數(shù)出題不常規(guī).其實在老師看來，這題再常規(guī)不過了，只要你平時對每一個知識點的基礎(chǔ)題型訓(xùn)練到位，同時在做題后能養(yǎng)成一個歸納分析的習(xí)慣，那么像這類既涉及二次型，又需要對相似的兩個矩陣對角化的綜合題，解決起來思路自然會很清晰，并且在出題人將矩陣降到了二維的基礎(chǔ)上，計算也自然會很順暢.所以，筆者建議考生在備考的強(qiáng)化階段一定要自主歸納知識體系，在掌握基礎(chǔ)知識點、基礎(chǔ)題型后要學(xué)會思考每一章節(jié)知識點間的聯(lián)系，對考試大綱進(jìn)行分析，梳理知識點，歸納重要考點的典型考題的多種解題思路與方法，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法，這樣不僅能應(yīng)付各類題型的變換，而且可以簡化計算，提高速度.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)：第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李永樂.線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2010.