錢國華

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué);“立序”;知識之序;認(rèn)知之序;學(xué)習(xí)之序

中圖分類號 G623.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

文章編號 2095-5995（2021）12-0053-03

教學(xué)的規(guī)范性是建立在學(xué)生相關(guān)學(xué)習(xí)規(guī)律基礎(chǔ)之上的，而“序”是規(guī)范性教學(xué)的重要尺度。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之“序”包括知識之序、認(rèn)知之序與學(xué)習(xí)之序。有序的數(shù)學(xué)教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，調(diào)動學(xué)生創(chuàng)新思維意識，同時還能引導(dǎo)學(xué)生嘗試獨(dú)立思考，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維、學(xué)習(xí)等從失穩(wěn)走向穩(wěn)定，從固化走向靈動。

一、“序”的缺失：聚焦當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)問題

“序”是一切物質(zhì)演變的趨勢與樣態(tài)。比利時科學(xué)家普里戈金曾說，“這個世界上的一切事物都向著自身相對有序的狀態(tài)發(fā)展”，教學(xué)也是如此。在教學(xué)中，教師要處理的兩個根本性的問題就是“選材”和“立序”?！斑x材”強(qiáng)調(diào)教師要因材施教;“立序”則強(qiáng)調(diào)教師教學(xué)時要循序漸進(jìn)。當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)問題現(xiàn)象，有很多可以歸結(jié)為“序”的缺失，其結(jié)果是學(xué)生思維模糊，對知識的理解不深刻，具體表現(xiàn)如下：

（一）知識之序缺失導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知模糊

知識之序體現(xiàn)在教材之中。教材內(nèi)容的編排遵循從簡單到復(fù)雜、從淺顯到深刻的原則。前面的知識是后面知識的基礎(chǔ)，教師按照知識序列進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生便可逐步深入，從整體上把握知識體系。如果教師在教學(xué)中忽略了知識之序，那么學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解就會流于表面。例如，有的教師在教授“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”時，由于沒有及時復(fù)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”中的相關(guān)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生在建構(gòu)分?jǐn)?shù)知識體系時顯得力不從心，這反映了知識之序的缺失。知識之序是教學(xué)的根本，是教學(xué)的靈魂，在教學(xué)中既不能缺位又不能越位，否則就只能得到“欲速而不達(dá)”的結(jié)果。因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計時必須對教材中涉及的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)梳理，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生更好地構(gòu)建知識體系。

（二）認(rèn)知之序缺失導(dǎo)致學(xué)生思維失穩(wěn)

認(rèn)知之序包括兩個方面，一方面是數(shù)學(xué)知識的形成規(guī)律，另一方面是學(xué)生認(rèn)知、思維和心理的發(fā)展規(guī)律。認(rèn)知之序的缺席容易導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知與思維的失穩(wěn)。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)許多教師對學(xué)生認(rèn)知心理之序的理解較為膚淺。例如，在教授“圓的周長”一課時，有的教師忽略了學(xué)生的認(rèn)知之序，為了區(qū)分“半圓的周長”和“圓周長的一半”，不惜進(jìn)行煩瑣的公式推演，形成了“πr”（圓周長的一半）“πr+2r”（半圓的周長）等公式，反而對學(xué)生識記知識造成了阻礙。實際上，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖來表征“圓周長的一半”和“半圓的周長”，用圖形來表現(xiàn)兩者的特點，引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)公式，這樣才能獲得更好的教學(xué)效果。學(xué)生的思維發(fā)展遵循由具體形象思維到抽象邏輯思維發(fā)展的規(guī)律，忽略學(xué)生的認(rèn)知之序，教學(xué)就將事倍功半。

（三）學(xué)習(xí)之序缺失導(dǎo)致學(xué)生理解膚淺

有序是教學(xué)的本真追求。教師開展教學(xué)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識之序、學(xué)生認(rèn)知心理之序，還要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序。一般來說，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，是從外部的實踐活動開始的，而后逐漸過渡到內(nèi)隱的思維活動。如果教師的教學(xué)活動指向不明，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定是模糊的、不確定的。例如，在教授“10的分與合”一課時，有教師直接通過課件呈現(xiàn)“10的分解”結(jié)果，讓學(xué)生根據(jù)課件理解記憶。這樣的操作看似是一種“有序操作”，但卻沒有讓學(xué)生充分經(jīng)歷從“無序”到“有序”的過程，學(xué)生僅僅是依葫蘆畫瓢，而沒有經(jīng)過自主探索，這就導(dǎo)致學(xué)生對知識的理解較為膚淺。所以，教師應(yīng)通過實踐活動有意識地引導(dǎo)學(xué)生探索知識，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑知識、解構(gòu)知識和建構(gòu)知識，幫助學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)知識，同時促進(jìn)學(xué)生高階認(rèn)知和高階思維的發(fā)展。

二、“序”的回歸：建立學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的科學(xué)認(rèn)知

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“無序化”呼吁學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“序”的回歸。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注自身的教學(xué)之序，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“序”。“序”的回歸，可以幫助教師建立對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的科學(xué)認(rèn)知。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)之“序”的回歸是根本，教師教學(xué)之“序”的回歸是保障。那么，我們應(yīng)當(dāng)從哪些方面來為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“立序”呢？

（一）知識之序的回歸

知識之序主要有兩個方面的內(nèi)容：其一是知識的誕生、發(fā)生與發(fā)展之序，這要求教師在教學(xué)中瞻前顧后，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識從外在到內(nèi)在、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從結(jié)果到原因的過程;其二是數(shù)學(xué)知識與相關(guān)知識的關(guān)聯(lián)之序。教師在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘數(shù)學(xué)知識的本源，即本質(zhì)之源，梳理數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，同時體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的生成、生發(fā)過程。教師把握好數(shù)學(xué)知識之序，才能讓學(xué)生學(xué)得明白、理解到位。例如，教授“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生比較分?jǐn)?shù)和除法算式，讓學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)和除法算式的聯(lián)系與區(qū)別，為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，教師可以再引導(dǎo)學(xué)生借助動手畫圖、操作等探索性的活動，探究分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并比較商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。由于循著數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)和前后關(guān)聯(lián)開展學(xué)習(xí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就會行云流水、自然而然，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)與統(tǒng)整也在潛移默化中得以完成。

（二）認(rèn)知之序的落實

所謂認(rèn)知之序，就是教師教學(xué)時要遵循學(xué)生的認(rèn)知心理發(fā)展順序。只有遵循學(xué)生的認(rèn)知心理發(fā)展順序，教師才能有效地幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)識結(jié)構(gòu)實質(zhì)上就是外在的知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生心理上的一種建構(gòu)。換言之，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是知識結(jié)構(gòu)在學(xué)生心理的投射。例如，教授“梯形的面積”時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等知識，因而對“倍拼法”“剪拼法”等求面積的方法有了一定的認(rèn)知，在頭腦中形成了相應(yīng)的表象和心理圖式。因此，筆者鼓勵學(xué)生自主探究梯形的面積公式。學(xué)生基于各自的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理圖式，從不同的視角對梯形面積的求法進(jìn)行了深入的探索。如有學(xué)生應(yīng)用“倍拼法”將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形求梯形面積，有學(xué)生應(yīng)用“剪拼法”將梯形轉(zhuǎn)化成長方形求梯形面積，還有學(xué)生將梯形運(yùn)用“分割法”轉(zhuǎn)化成三角形求梯形面積……由此可見，正是基于已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生才可以進(jìn)行多樣化的探索，才能獲得不同的知識轉(zhuǎn)化策略。

（三）學(xué)習(xí)之序的重建

小學(xué)數(shù)學(xué)既是“科學(xué)性的數(shù)學(xué)”，又是“心理學(xué)的數(shù)學(xué)”“教育學(xué)的數(shù)學(xué)”。如果說，知識順序要秉持知識的科學(xué)特質(zhì)，認(rèn)知順序要契合心理學(xué)的特質(zhì)，那么學(xué)習(xí)之序就要契合教育學(xué)的特質(zhì)。優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)之序，要重點關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)與學(xué)習(xí)方式。當(dāng)然，學(xué)習(xí)之序往往是建立在知識之序、認(rèn)知之序的基礎(chǔ)上的。例如，教授“間隔排列”時，筆者根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理特質(zhì)，遵循其從直觀動作到具體形象、再由具體形象到抽象邏輯的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計了這樣的活動內(nèi)容和程序：引導(dǎo)學(xué)生操作小棒、圓片等工具，將其一一間隔排列，認(rèn)識兩端物體和中間物體，并且思考兩端物體和中間物體的關(guān)系。這樣的教學(xué)設(shè)計，能有效地將學(xué)生外在的操作經(jīng)驗內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知表象。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖，分析物體——間隔排列的規(guī)律，然后讓學(xué)生用算式來總結(jié)觀察的結(jié)果，以此深化學(xué)生的認(rèn)知，提升學(xué)生的理性思維。

三、“序”的實踐：促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)的提升

著名特級教師吳正憲老師說過：“知識的傳授應(yīng)當(dāng)立足于知識的邏輯發(fā)展?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是循序漸進(jìn)的，循知識之序、認(rèn)知之序，建立學(xué)習(xí)秩序，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得邏輯演進(jìn)、無痕推進(jìn)、不斷躍進(jìn)。可以這樣說，“序”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的DNA。相較于碎片式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有序性的數(shù)學(xué)教學(xué)，更能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

（一）分清知識的主次

把握數(shù)學(xué)知識之序，要求教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的來源，把握數(shù)學(xué)知識“數(shù)學(xué)知識是誰（什么）”“數(shù)學(xué)知識從哪里來”“數(shù)學(xué)知識要到哪里去”等問題。數(shù)學(xué)知識不僅僅具有縱向的產(chǎn)生、發(fā)展的時間軸，更具有橫向的與其他相關(guān)知識關(guān)聯(lián)的時間軸。

相對于碎片化、無序孤立式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有機(jī)的、有序的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能。教學(xué)中，教師要區(qū)分主要的數(shù)學(xué)知識與次要的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)知識的主要方面與數(shù)學(xué)知識的次要方面。概言之，就是要把握數(shù)學(xué)知識的輕與重、主與次、先與后等。例如，教授“十幾減9”這一部分的內(nèi)容時，學(xué)生可能會想到很多方法，如“平十法”“破十法”“算減想加法”等。對于這些方法，教師應(yīng)當(dāng)予以積極地關(guān)注，并鼓勵學(xué)生采用多樣化的算法，發(fā)散學(xué)生思維。而在講解時，教師可以重點引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“破十法”，抓住教學(xué)的重點與主要方面，有效地幫助學(xué)生解決計算難題。

（二）把握學(xué)習(xí)的次序

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底就是要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)先后有序，這里的“序”不僅僅指數(shù)學(xué)知識的邏輯之序，更指學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的心理之序。教師通過有效地研究和設(shè)計，適當(dāng)整合和優(yōu)化教材的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效、更靈活。蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基說：“每一個學(xué)生都可能成為探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者?！弊鹬貙W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序，能讓學(xué)生的認(rèn)知、思維規(guī)范化、條理化、有序化，讓學(xué)生的認(rèn)知、思維之苗從萌芽走向蓬勃發(fā)展。

例如，在教授“認(rèn)識平面圖形”“計算平面圖形的周長和面積”時，教師教學(xué)通常會遵循“由直線圖形到曲線圖形”的順序;在學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)的有關(guān)概念”時，教師通常是先讓學(xué)生認(rèn)識整數(shù)，再讓學(xué)生認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)等;在學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”相關(guān)內(nèi)容時，教師通常先讓學(xué)生進(jìn)行質(zhì)性描述，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定量分析，等等。以上教學(xué)過程就是遵循整體的認(rèn)知之序的過程。同樣，在教授單一的一個知識點時也要按照一定的順序展開。如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識厘米”的內(nèi)容時，筆者就循著這樣的順序：先通過操作、畫圖等過程幫助學(xué)生建立“1厘米”的表象，然后引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“厘米尺”，最后引導(dǎo)學(xué)生用自己制作的厘米尺度量物體的長度。通過這樣的有序化活動，學(xué)生逐步學(xué)會了度量。他們不僅“知其然”，更“知其所以然”。

（三）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

著名數(shù)學(xué)教育專家曹才翰認(rèn)為：“所謂的‘認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識按照自己的理解的深度、廣度等，結(jié)合了自己的感覺、知覺、記憶、思維、想象等，組成的一個內(nèi)部的有規(guī)律地組織?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知是從形象走向抽象的。教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的顯與隱，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知逐步深入，從具體形象邁向抽象邏輯，促進(jìn)學(xué)生類比推理、歸納推理與演繹推理能力的共同發(fā)展。

教學(xué)中，教師可以采用動手探究或問題鏈等方式，有序推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展由淺入深。例如，教授“因數(shù)和倍數(shù)”一課時，筆者發(fā)現(xiàn)教材中只是簡單地讓學(xué)生根據(jù)已有知識經(jīng)驗——“乘法算式和除法算式”去抽象、概括、提煉出因數(shù)和倍數(shù)的概念，這樣不利于學(xué)生對知識的心理內(nèi)化，也不利于學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)定的認(rèn)知心理圖式。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生動手操作，用24個小正方形拼成一個長方形，探究長方形的拼法，然后讓學(xué)生用算式對相關(guān)的操作進(jìn)行表征，比較、研究算式中的每個數(shù)之間的關(guān)系，從而建構(gòu)因數(shù)和倍數(shù)的概念。這樣的探究過程，不僅讓學(xué)生理解了因數(shù)和倍數(shù)的概念，而且讓學(xué)生認(rèn)識到倍數(shù)和因數(shù)相互依存的關(guān)系。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)之“序”不是靜態(tài)的、固化的，而是動態(tài)的、發(fā)展的，是“有序”和“無序”的辯證和統(tǒng)一。聚焦“有序”，要求教師的教學(xué)設(shè)計要有組織、有順序，以學(xué)生的學(xué)為中心，以學(xué)定教、因?qū)W施教、順序而導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生思維、認(rèn)知與素養(yǎng)實現(xiàn)高階發(fā)展。

責(zé)任編輯：劉源