高鑫雨,趙勝利

(曲阜師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，273165，山東省曲阜市)

0 研究背景與意義

自20世紀(jì)20年代英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher R A在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中創(chuàng)立試驗(yàn)設(shè)計(jì)以來，試驗(yàn)設(shè)計(jì)已在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的發(fā)展，其主要任務(wù)是研究最優(yōu)設(shè)計(jì)的構(gòu)造以及對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box G E P說過，假如有10%的工程師使用各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，產(chǎn)品的質(zhì)量與數(shù)量都會(huì)得到很大提高[1].因子設(shè)計(jì)在各類試驗(yàn)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，常用于研究各因子對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否具有顯著影響.在實(shí)際問題中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因子往往有多個(gè)，而當(dāng)涉及的因子數(shù)較多時(shí)，因子的水平組合數(shù)會(huì)迅速增加，受試驗(yàn)條件的限制往往難以全部實(shí)施.正交設(shè)計(jì)則是安排多因子試驗(yàn)的一種高效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.方差分析是對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的常用方法，且方差分析需要滿足3項(xiàng)基本假定：正態(tài)性、方差齊性和隨機(jī)性.正態(tài)性和隨機(jī)性在實(shí)際中容易得到滿足，由于試驗(yàn)在實(shí)際操作時(shí)環(huán)境復(fù)雜，方差齊性通常得不到滿足，因此在不同的處理組合下會(huì)有不同的試驗(yàn)誤差方差，在這種情況下，采用方差分析對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，且檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率可能與顯著性水平產(chǎn)生偏離.

在實(shí)際試驗(yàn)中經(jīng)常遇到試驗(yàn)因子的水平數(shù)不相等的情況，這種情況下實(shí)施試驗(yàn)需要用到混水平正交設(shè)計(jì).混水平正交設(shè)計(jì)因?yàn)槠潇`活的水平組合在各種混水平試驗(yàn)中得到非常廣泛的應(yīng)用[1].

本文在不同處理組合下試驗(yàn)誤差方差不等的情況下，考察混水平正交試驗(yàn)因子的顯著性檢驗(yàn)問題，從方差分析中F統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造給出新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，利用隨機(jī)模擬的方法獲得相應(yīng)的臨界值，分別通過傳統(tǒng)的F檢驗(yàn)與新檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，模擬結(jié)果表明在試驗(yàn)誤差方差不等時(shí)F檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率嚴(yán)重偏離顯著性水平，新的檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率更精確.

1 基本概念與方法

1.1 混水平正交表的構(gòu)造

對(duì)2水平正交表L8(27)通過并列法改造可以得到混水平正交表L8(4×24)，由于4水平因子的自由度為3，因此在2水平正交表中應(yīng)該占3列，這3列的選法是：任取2列再加上其交互作用列，由此3列組成一個(gè)4水平列，4水平的對(duì)應(yīng)法則如下：將任取的2列的4個(gè)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)4個(gè)水平，即：(1,1)→1,(1,2)→2,(2,1)→3,(2,2)→4.

此時(shí)4個(gè)數(shù)對(duì)各出現(xiàn)兩次，不失一般性，取第1、2兩列加上其交互作用列第3列組成一個(gè)4水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L8(4×24)[1].

表1 L8(4×24)正交表

對(duì)2水平正交表L16(215)通過上述相同的方法改造可以得到混水平正交表L16(4×212)，此時(shí)4個(gè)數(shù)對(duì)各出現(xiàn)四次，不失一般性，仍取第1、2兩列加上其交互作用列第3列組成一個(gè)4水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L16(4×212).

表2 L16(4×212)正交表

還可將2水平正交表L16(215)改造成混水平正交表L16(8×28)，由于8水平因子的自由度為7，因此在2水平正交表中應(yīng)占7列，這7列的選法是：任取3列獨(dú)立列再加上其交互作用列，由此7列組成一個(gè)八水平列，八水平的對(duì)應(yīng)法則如下：將任取的3列的8個(gè)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)8個(gè)水平，即：

(1,1,1)→1,(1,1,2)→2,(1,2,1)→3,(1,2,2)→4,

(2,1,1)→5,(2,1,2)→6,(2,2,1)→7,(2,2,2)→8.

此時(shí)8個(gè)數(shù)對(duì)各出現(xiàn)2次，不失一般性，取第1、2、4列加上其交互作用列第3、5、6、7列組成一個(gè)8水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L16(8×28).

表3 L16(8×28)正交表

1.2 重復(fù)正交試驗(yàn)的方差分析

1．2．1 統(tǒng)計(jì)模型

考慮因子的水平數(shù)不等的等重復(fù)試驗(yàn)，利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，設(shè)正交表為Ln(qp)，假設(shè)有n個(gè)處理組合，在同一處理組合下重復(fù)進(jìn)行m次試驗(yàn).考慮如下線性統(tǒng)計(jì)模型

yij=ui+εij，i=1,…,n,j=1,…,m，

1．2．2 顯著性檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)各因子的效應(yīng)是否顯著，對(duì)如下假設(shè)作出檢驗(yàn)

由于存在重復(fù)試驗(yàn)，因此如果把每一處理組合下的數(shù)據(jù)結(jié)果看作一個(gè)組，則組內(nèi)的平方和反應(yīng)的是純誤差，可用組內(nèi)平方和度量

fk=q-1,

由Cochran定理知，當(dāng)原假設(shè)成立即因子的效應(yīng)為0，并且各試驗(yàn)誤差的方差相等時(shí)，S內(nèi)/σ2～χ2(n(m-1))，Sk/σ2～χ2(p-1)，且S內(nèi)與Sk相互獨(dú)立，故

當(dāng)統(tǒng)計(jì)量Fk≥F1-α(p-1,n(m-1))時(shí)，認(rèn)為在顯著性水平α下因子是顯著的，即認(rèn)為該因子的效應(yīng)不為0，其中F1-α是相應(yīng)自由度的F分布的1-α分位數(shù)[1].

由于改造后的表仍是正交表，設(shè)計(jì)仍是正交設(shè)計(jì)，因此，平方和分解式與方差分析與改造前相同，并且可以用改造前的正交表計(jì)算混水平試驗(yàn)的各列平方和，只需按表頭設(shè)計(jì)計(jì)算因子在改造前的正交表中所占列的平方和.

1.3 改進(jìn)的顯著性檢驗(yàn)

方差分析是對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的常用方法，然而方差分析需要假定不同處理組合下具有相同的試驗(yàn)誤差方差，由于試驗(yàn)在實(shí)際操作時(shí)環(huán)境復(fù)雜，因此在不同的處理組合下會(huì)有不同的試驗(yàn)誤差方差，在這種情況下，采用方差分析的方法對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，且檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率可能與顯著性水平產(chǎn)生偏離，從而因子的顯著性檢驗(yàn)容易發(fā)生誤判，為此，從F統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造出發(fā)給出新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并采用隨機(jī)模擬的方法獲得相應(yīng)的臨界值.

將F統(tǒng)計(jì)量變形得到

此時(shí)Fk的分子服從χ2(1)，接下來考慮Fk分母的分布.注意到

因此可以將Fk的分母變形為

由上述推導(dǎo)過程可知，在原假設(shè)成立的條件下，當(dāng)不同處理組合下試驗(yàn)誤差的方差不相等時(shí)，變形后的F統(tǒng)計(jì)量的分子服從χ2(1)，分母是以試驗(yàn)誤差方差為權(quán)重的n個(gè)χ2(m-1)的加權(quán)和.

對(duì)于由2水平正交表改造的混水平正交試驗(yàn)，可以采用改造前的正交表計(jì)算各列平方和，只需按表頭設(shè)計(jì)將因子在改造前的正交表中所占列的平方和相加，由卡方分布的可加性知，變形后的F統(tǒng)計(jì)量分子服從χ2(a)，其中卡方分布的自由度a取決于因子在改造前的正交表中所占列的列數(shù)，分母的分布保持不變.

顯然，此時(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不再服從F分布，如果仍用F1-α(p-1,n(m-1))作為顯著性檢驗(yàn)的臨界值是不合理的，因子的顯著性也容易發(fā)生誤判，由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的精確分布很難確定，因此采用隨機(jī)模擬的方法來確定檢驗(yàn)的臨界值，隨機(jī)模擬過程如下：

步驟2 對(duì)于l=1,…,M;

步驟2.1 生成一個(gè)χ2(a)的隨機(jī)變量Ul;

步驟2.2 生成n個(gè)相互獨(dú)立的χ2(m-1)的隨機(jī)變量Vl1,…,Vln;

步驟2.3 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

步驟3 取顯著性水平α，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分位數(shù)qα.

2 結(jié)果與分析

以3個(gè)由2水平正交表改造的混水平正交表為例，在不同處理組合的試驗(yàn)誤差方差相等和不等兩種情況下，分別利用F檢驗(yàn)和改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法對(duì)因子的顯著性檢驗(yàn)進(jìn)行模擬對(duì)比，隨機(jī)模擬過程重復(fù)10 000次.

2.1 試驗(yàn)誤差方差相等時(shí)的模擬對(duì)比

假設(shè)試驗(yàn)1需要考察5個(gè)因子A、B、C、D、E的顯著性，其中因子A是4水平因子，因子B、C、D、E是4個(gè)2水平因子，為此，選用混合水平正交表L8(4×24)進(jìn)行試驗(yàn)，置因子A在正交表的4水平列上，即由正交表L8(27)的第1，2，3列組成的列，再將因子B、C、D、E安排在剩余的2水平列上，表頭設(shè)計(jì)如表4.

表4 試驗(yàn)1的表頭設(shè)計(jì)

假設(shè)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差具有相同的方差2，總平均為10，因子A與因子D是顯著因子，并且βA=0.4,βD=0.65,因子B、C、E均為不顯著因子，即因子B、C、E的效應(yīng)為0，因此試驗(yàn)1的統(tǒng)計(jì)模型為yij～N(10+0.4A+0.65D,2),其中A和D根據(jù)因子的水平組合取±1.假設(shè)在同一處理組合下重復(fù)進(jìn)行若干次試驗(yàn)，取顯著性水平為0.05，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，如表5所示.

表5 試驗(yàn)1在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

假設(shè)試驗(yàn)2需要考察因子A、B、C、D、E、F、G的顯著性，其中因子A是4水平因子，因子B、C、D、E、F、G是二水平因子，假定根據(jù)專業(yè)知識(shí)還需考察交互作用A×B與A×C,為此，選用混合水平正交表L16(4×212)進(jìn)行試驗(yàn).

置因子A在正交表的4水平列上，即由正交表L16(215)的第1，2，3列組成的列，再將因子B安排在第4列，交互作用A×B安排在第5，6，7列，即由因子A在L16(215)所占的3列與B所在列的交互列組成的列，再將因子C安排在第8列，交互作用A×C安排在第9，10，11列，最后將因子D、E、F、G依次安排在剩余的列，綜上可得表頭設(shè)計(jì)如表6.

表6 試驗(yàn)2的表頭設(shè)計(jì)

假設(shè)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差具有相同的方差2，總平均為10，因子A、B以及交互作用A×B與A×C顯著，并且各個(gè)顯著因子的效應(yīng)分別為βA=0.3,βB=0.55,βA×B=0.35,βA×C=0.2,因子D、E、F、G均為不顯著因子,因此，試驗(yàn)2的統(tǒng)計(jì)模型為yij～N(10+0.3A+0.55B+0.35AB+0.2AC,2),其中A、B、AB及AC根據(jù)因子的水平組合取±1，取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，如表7所示.

表7 試驗(yàn)2在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

假設(shè)試驗(yàn)3需要考察因子A、B、C、D、E、F、G的顯著性，其中因子A是8水平因子，因子B、C、D、E、F、G是2水平因子，假定試驗(yàn)不需要考察交互作用，為此，選用混合水平正交表L16(8×28)進(jìn)行試驗(yàn).置因子A在正交表的八水平列上，再將因子B、C、D、E、F、G依次安排在2～7列，可得表頭設(shè)計(jì)如表8.

表8 試驗(yàn)3的表頭設(shè)計(jì)

假設(shè)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差具有相同的方差2，總平均為10，僅因子A是顯著因子，且因子A的效應(yīng)為βA=0.2,因子B、C、D、E、F、G均為不顯著因子，即因子的效應(yīng)為0，因此，試驗(yàn)3的統(tǒng)計(jì)模型為yij～N(10+0.2A,2),其中A根據(jù)因子的水平組合取±1，取顯著性水平為0.05，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，如表9所示.

表9 試驗(yàn)3在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

由表5、表7、表9的模擬結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差相等時(shí)，傳統(tǒng)的F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率均接近顯著性水平0.05，且隨著重復(fù)次數(shù)的增加犯第一類錯(cuò)誤的概率相對(duì)穩(wěn)定.綜上，在試驗(yàn)誤差方差相等的情況下，對(duì)混水平正交試驗(yàn)因子的顯著性作檢驗(yàn)，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法與F檢驗(yàn)均有較精準(zhǔn)的誤差控制.

2.2 試驗(yàn)誤差方差不相等時(shí)的模擬對(duì)比

假定試驗(yàn)4與試驗(yàn)1所考察的因子以及因子效應(yīng)的大小相同，但試驗(yàn)4在不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不相等，即試驗(yàn)誤差方差與處理組合有關(guān).假定試驗(yàn)4的試驗(yàn)誤差方差受因子B、C、D的影響，且其系數(shù)分別為0.5、0.55、0.4，則試驗(yàn)4的統(tǒng)計(jì)模型為

yij～N(10+0.4A+0.65D,

exp(0.5B+0.55C+0.4D)),

取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，模擬對(duì)比的結(jié)果如表10所示.

表10 試驗(yàn)4在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

假定試驗(yàn)5與試驗(yàn)2所考察的因子以及因子效應(yīng)的大小相同，但試驗(yàn)5在不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不相等，即試驗(yàn)誤差方差與處理組合有關(guān).假定試驗(yàn)5的試驗(yàn)誤差方差受因子A、C以及交互作用A×B的影響，且其系數(shù)分別為0.45、0.25、0.5，則試驗(yàn)5的統(tǒng)計(jì)模型

yij～N(10+0.3A+0.55B+0.35AB+0.2AC,

exp(0.45A+0.25C+0.5AB)),

取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，模擬對(duì)比的結(jié)果如表11所示.

表11 試驗(yàn)5在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

假定試驗(yàn)6與試驗(yàn)3所考察的因子以及因子效應(yīng)的大小相同，但試驗(yàn)6在不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不相等，即試驗(yàn)誤差方差與處理組合有關(guān).假定試驗(yàn)6的試驗(yàn)誤差方差僅受因子A的影響，且其系數(shù)為0.45，則試驗(yàn)6的統(tǒng)計(jì)模型

yij～N(10+0.2A,exp(0.45A)),

則在顯著性水平0.05下，分別利用F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)各因子效應(yīng)的顯著性，得到拒絕原假設(shè)的百分比，模擬對(duì)比的結(jié)果如表12所示.

表12 試驗(yàn)6在5%水平下拒絕原假設(shè)的百分比

由表10～表12的模擬結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不相等時(shí)，傳統(tǒng)的F檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率嚴(yán)重偏離0.05，從而因子效應(yīng)的顯著性容易發(fā)生誤判，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率幾乎接近顯著性水平0.05，且隨著重復(fù)次數(shù)的增加犯第一類錯(cuò)誤的概率更穩(wěn)定.綜上，在試驗(yàn)誤差方差不等的情況下，對(duì)混水平正交試驗(yàn)因子的顯著性作檢驗(yàn)，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法比F檢驗(yàn)有更精準(zhǔn)的誤差控制.

3 討 論

因子設(shè)計(jì)在各類試驗(yàn)中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，用于研究各因子對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否具有顯著影響.在實(shí)際問題中，影響試驗(yàn)指標(biāo)的因子往往有多個(gè)，要考察它們就要用到多因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)，正交設(shè)計(jì)就是安排多因子試驗(yàn)的一種高效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法.方差分析中的F檢驗(yàn)是對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的常用方法，然而方差分析需要假定不同處理組合下具有相同的試驗(yàn)誤差方差，由于試驗(yàn)在實(shí)際操作時(shí)環(huán)境復(fù)雜，因此在不同的處理組合下會(huì)有不同的試驗(yàn)誤差方差，在這種情況下，采用方差分析對(duì)因子進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差.

為此，從方差分析中F統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造給出新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，通過隨機(jī)模擬的方法獲得相應(yīng)的臨界值，以3個(gè)混水平正交表為例，在不同處理組合的試驗(yàn)誤差方差相等和不等兩種情況下，分別利用F檢驗(yàn)和改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法對(duì)因子的顯著性檢驗(yàn)進(jìn)行模擬對(duì)比，得到結(jié)論如下：

當(dāng)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差相等時(shí)，考察等重復(fù)的混水平正交試驗(yàn)的因子顯著性檢驗(yàn)問題，傳統(tǒng)的F檢驗(yàn)與改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率均接近顯著性水平0.05，且隨著重復(fù)次數(shù)的增加犯第一類錯(cuò)誤的概率相對(duì)穩(wěn)定，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法與F檢驗(yàn)均有較精準(zhǔn)的誤差控制.當(dāng)不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不相等時(shí)，傳統(tǒng)的F檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率嚴(yán)重偏離0.05，從而因子效應(yīng)的顯著性容易發(fā)生誤判，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法犯第一類錯(cuò)誤的概率幾乎接近顯著性水平0.05，且隨著重復(fù)次數(shù)的增加犯第一類錯(cuò)誤的概率更穩(wěn)定，因此，改進(jìn)后的新檢驗(yàn)方法比F檢驗(yàn)?zāi)芨珳?zhǔn)的控制檢驗(yàn)誤差.

綜上可知，F(xiàn)檢驗(yàn)對(duì)方差齊性的偏離較為敏感，在考察等重復(fù)的混水平正交試驗(yàn)因子的顯著性檢驗(yàn)問題時(shí)，方差齊性檢驗(yàn)十分必要，若不同處理組合下的試驗(yàn)誤差方差不全相等，則應(yīng)采用提出的新檢驗(yàn)方法判斷因子效應(yīng)的顯著性，否則會(huì)產(chǎn)生一定誤差.