韓 一，聶子玲，許 金，朱俊杰

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室， 湖北 武漢 430033)

直線電機由旋轉(zhuǎn)電機演變而來，是一種能夠?qū)崿F(xiàn)將電能直接轉(zhuǎn)換為直線運動的機械能的電力傳動裝置。近年來，隨著大功率電能變換及高能量密度脈沖儲能技術(shù)的突破，使得利用直線電機將存儲的電能瞬間轉(zhuǎn)化為高速動能成為可能。其中，動初級(短初級)六相直線感應(yīng)電機(Linear Induction Motor，LIM)避免了分段供電技術(shù)帶來的系統(tǒng)繁雜、可靠性低、電纜壓降大等問題，且具有多相電機提高系統(tǒng)冗余度、控制自由度及功率密度等優(yōu)勢，有較高的研究價值，且在電磁發(fā)射領(lǐng)域、汽車碰撞實驗等場合有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。

直線電機的建模及其工作特性是電磁設(shè)計、控制策略、效能評估的重要依據(jù)。與旋轉(zhuǎn)電機相比，直線電機的模型分析需要考慮邊端效應(yīng)。其中，動態(tài)邊端效應(yīng)是電機初級與次級相互作用所產(chǎn)生的電磁瞬態(tài)現(xiàn)象，在動初級直線感應(yīng)電機運行過程中體現(xiàn)得較為明顯。相關(guān)文獻對動初級直線感應(yīng)電機的建模及分析方法進行了研究，主要包括基于麥克斯韋方程組的電磁場分析法[2-6]、基于等效電路的集總參數(shù)法[7-14]以及有限元法[15-16]。通常，前兩種方法用于電磁設(shè)計、模型推導(dǎo)及性能計算，第三種方法則用于模型驗證。

文獻[2]基于一維、二維電磁場理論，計算了直線感應(yīng)電機在邊端效應(yīng)影響下復(fù)雜氣隙磁密分布表達式。文獻[5]基于電磁場分析法研究了動態(tài)邊端效應(yīng)影響下電機推力特性，結(jié)論指出動態(tài)邊端效應(yīng)會造成電機正向推力下降，且隨速度的增大，推力下降趨于嚴重。文獻[6]給出了六相筒式直線感應(yīng)電機自然坐標系下的模型并基于端部脈振磁場推導(dǎo)得到了電機的不對稱電感矩陣。

在旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機等效電路的基礎(chǔ)上，直線感應(yīng)電機通過參數(shù)修正的方式引起橫、縱向邊端效應(yīng)，半填充槽等現(xiàn)象[7-12]。文獻[7-8]通過電磁場方程推導(dǎo)，引入4個修正系數(shù)，建立了同時考慮橫、縱向邊端效應(yīng)的單邊直線感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型。文獻[12]引入無量綱系數(shù)Q，推導(dǎo)了激磁電感隨Q變化的函數(shù)，并建立了考慮動態(tài)邊端效應(yīng)的直線感應(yīng)電機等效電路。為了提高模型的準確性，文獻[13]將感應(yīng)渦流等效為電容充放電的過程，提出了計入次級漏感影響的邊端效應(yīng)修正系數(shù)，但推導(dǎo)過程極為復(fù)雜，且次級等效電路中的電容沒有實際物理含義。目前，動態(tài)邊端效應(yīng)的分析和修正方法得到了該領(lǐng)域?qū)W者的認可，且實際運用更多的是文獻[2，7]提出的基于電磁場方程推導(dǎo)和文獻[12]提出的基于無量綱系數(shù)Q的修正方法。其中，后者因其物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡單的優(yōu)點，更適合運用于直線感應(yīng)電機的實時控制，但模型刻畫的準確度不如前者。

本文以工作于非周期瞬態(tài)工況的動初級六相直線感應(yīng)電機為研究對象(級數(shù)為9，忽略靜態(tài)邊端效應(yīng)造成的不對稱影響[1])，其運行特點為，運行時間短、全程無穩(wěn)態(tài)(無勻速態(tài))、加速度大、動態(tài)邊端效應(yīng)明顯。為了降低模型的復(fù)雜度且兼顧其準確性，采用一階等效電路分析法分析了動態(tài)邊端效應(yīng)影響下電機參數(shù)變化特征，并基于渦流損耗推導(dǎo)，建立了考慮動態(tài)邊端效應(yīng)的六相直線感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型?；谀Ｐ蛯﹄姍C進行了性能計算及分析，并通過有限元仿真和實驗進行了驗證。

1 動態(tài)邊端效應(yīng)

1.1 感應(yīng)渦流定量計算

圖1所示為動初級六相直線感應(yīng)電機動態(tài)邊端效應(yīng)示意圖。初級運動時，初級繞組在次級導(dǎo)電層上感應(yīng)出與初級電流大小相等方向相反的渦流，同時，次級導(dǎo)電層會逐漸被其新的部分所替換(圖1中B點被A點替換)，由楞次定律可知，新的部分通過入端感應(yīng)渦流阻礙氣隙磁通的瞬時變化。當(dāng)次級導(dǎo)電層被瞬間替換時，氣隙磁通在替換的時間零點消失并隨時間的推移上升至其原來的值，相應(yīng)地，初級在次級導(dǎo)電層上感應(yīng)的渦流逐漸下降。

圖1 動態(tài)邊端效應(yīng)示意圖 Fig.1 Schematic diagram of dynamic end effect

定義Tr為電機的次級時間常數(shù)，Tr=Lr/Rr。其中，Lr和Rr分別為次級回路電感(Lr=Lm+Llr)和電阻。為了定量分析動態(tài)邊端效應(yīng)的瞬態(tài)過程，設(shè)動子(初級)通過定子導(dǎo)電層上一點所需的時間為Tv，則Tv=D/v。其中：D為動子的長度；v為動子的運動速度，動子以次級時間常數(shù)為單位運動的距離為vTr。引入無量綱系數(shù)Q[12]，Q=Tv/Tr=DRr/vLr，從Q的表達式可以看出，電機的運動速度越快，Q的值越小，氣隙磁場越小，表示動態(tài)邊端效應(yīng)越嚴重。

當(dāng)初級進入次級某個點時，初級繞組在該點感應(yīng)出渦流，渦流的大小與初級電流相等。實際上，由于次級漏感的存在，會阻礙渦流的瞬變。文獻[12]指出，傳統(tǒng)三相直線感應(yīng)電機次級漏感通常僅為激磁電感的5%左右，可忽略其對感應(yīng)渦流變化的影響。為了更精確得到電機參數(shù)的變化規(guī)律，建立更準確的數(shù)學(xué)模型，需要考慮次級漏感對感應(yīng)渦流變化的影響。如圖2所示，將次級等效為一個RL一階電路，則將初次級相互作用描述為RL電路的瞬態(tài)零輸入響應(yīng)的過程。

圖2 次級感應(yīng)渦流等效電路Fig.2 Equivalent circuit of induced eddy current

圖2中Im和ie分別表示初級電流和次級感應(yīng)渦流的瞬態(tài)值。在t=0+時刻，建立電路的零輸入響應(yīng)微分方程，并考慮感應(yīng)渦流隨次級時間常數(shù)衰減，于是感應(yīng)渦流的表達式為：

ie(t)=Im(1-ep1t)ep2t

(1)

其中，p1=-Rr/Llr為微分方程的特征根，p2=-Rr/(Lm+Llr)。利用式(1)可畫出感應(yīng)渦流瞬態(tài)值隨時間的變化曲線，如圖3所示，圖中p.u.為標幺值。由于次級漏感具有阻礙感應(yīng)渦流瞬變的作用，感應(yīng)渦流起始階段并不會突變，而會有一個漸變上升的過程。隨著次級漏感的增加，感應(yīng)渦流在初始階段上升變緩慢，感應(yīng)渦流上升的最大值減小。

圖3 感應(yīng)渦流變化曲線Fig.3 Variation of induced eddy current

進一步推導(dǎo)，感應(yīng)渦流的平均值為：

(2)

將p1，p2，Q代入式(2)得到：

=km(v,t)Im

(3)

其中，km(v,t)的后綴表示該系數(shù)隨速度時變，簡寫為km。t1時刻，被感應(yīng)渦流抵消后的有效勵磁電流瞬態(tài)值為：

Im(t1)=Im(t0)-Ie_avg(t1)=Im(t0)-kmIm(t0)

(4)

Im(t0)表示勵磁電流的初始值，通過式(3)、式(4)可得到t2時刻感應(yīng)渦流及有效勵磁電流的瞬態(tài)值，t3、t4,…,tn時刻同理，于是迭代求和得到：

(5)

(6)

1.2 激磁電感時變規(guī)律

將感應(yīng)渦流的去磁效應(yīng)等效為一個附加的與激磁電感并聯(lián)的去磁電感。當(dāng)電機處于靜止狀態(tài)時，勵磁電流和激磁電感值分別為Im(t0)和Lm。當(dāng)動子運動時，流過去磁電感的電流將流過激磁電感的勵磁電流分流，其值為感應(yīng)渦流Ie_avg(t)。根據(jù)式(5)、式(6)得到在動態(tài)情況下，去磁電感和激磁電感并聯(lián)后等效激磁電感為：

(7)

其中，kL(v,t)的后綴表示系數(shù)隨速度時變，簡寫為kL。kL即為考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時激磁電感的修正系數(shù)，該系數(shù)隨速度時變。為了對比分析，給出不考慮次級漏感時激磁電感變化的表達式[12]，即：

(8)

為了直觀體現(xiàn)激磁電感隨速度和次級漏感的變化規(guī)律，利用式(7)、式(8)畫出其變化曲線，所用到的參數(shù)如表1所示(忽略磁飽和效應(yīng))。

表1 電機次級參數(shù)

如圖4所示，記ΔLm1為該情況下考慮漏感和不考慮漏感時激磁電感的差值?？梢?，考慮次級漏感時激磁電感的下降率相比不考慮次級漏感更小，且ΔLm1隨速度的增大而增大。記相同速度工況下考慮和不考慮次級漏感時激磁電感的差值為ΔLm2，隨著次級漏感的增加，ΔLm2逐漸增大。圖4表明，對于高速、次級漏感較大的直線感應(yīng)電機，在分析動態(tài)邊端效應(yīng)時，必須考慮次級漏感的影響。本文的研究對象在靜態(tài)情況下，次級漏感約為激磁電感的16%，該比例遠大于傳統(tǒng)的直線感應(yīng)電機。因此，為了建立更準確的數(shù)學(xué)模型，在考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，需計入次級漏感的影響。

(a) 激磁電感隨速度和次級漏感變化曲線(a) Variation of excitation inductance with speed and secondary leakage inductance

(b) 激磁電感隨速度變化曲線(b) Variation of excitation inductance with speed

(c) 激磁電感差值隨次級漏感變化曲線(c) Variation of difference value of excitation inductance with speed圖4 激磁電感時變規(guī)律曲線Fig.4 Variation of excitation inductance

2 電機模型

直線感應(yīng)電機動態(tài)運行時，初級在次級導(dǎo)電層上感應(yīng)出的渦流會產(chǎn)生額外的損耗，該損耗主要由次級電阻消耗。根據(jù)式(1)得到感應(yīng)渦流的有效值為：

(9)

(10)

其中，k1為隨速度時變的系數(shù)。如圖1所示，動子運動時，其出端由于勵磁磁通的消失，氣隙中將會產(chǎn)生由導(dǎo)電層渦流感應(yīng)出的磁通，因此在動子出端產(chǎn)生的損耗以磁能的形式體現(xiàn)，該損耗的表達式為：

(11)

其中，Emag為出端氣隙磁場產(chǎn)生的磁能。將式(11)代入式(1)可求解得到：

(12)

其中，k2為隨速度時變的系數(shù)。由動態(tài)邊端效應(yīng)造成的總損耗可表示為：

(13)

為了在等效電路中體現(xiàn)動態(tài)邊端效應(yīng)造成的損耗，需要在等效電路的勵磁支路中增加一個損耗電阻，即Rloss=krRr。值得注意的是，此處的系數(shù)kr并非是次級電阻的修正系數(shù)，即等效電路次級支路上的電阻不含該系數(shù)。

根據(jù)本節(jié)的推導(dǎo)，可得到考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，動初級六相直線感應(yīng)電機的等效電路如圖5所示。

圖5 動初級六相直線感應(yīng)電機等效電路Fig.5 Equivalent circuit of short primary six-phase LIM

3 工作特性分析

3.1 推力特性

不考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，圖5中激磁支路上沒有框內(nèi)的電阻，電機電磁推力的表達式為：

(14)

根據(jù)式(13)和圖5可知，在考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，電機的功率等式為：

Ps=Pend_loss+Pm

(15)

(16)

(17)

聯(lián)立式(16)～(17)可得到，考慮動態(tài)邊端效應(yīng)后，電機的實際出力為：

(18)

利用上述推導(dǎo)結(jié)果，可對電機進行性能計算，并對計算結(jié)果進行對比分析。通過式(14)和式(18)可得到不考慮和考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，在恒定電流激勵、恒定供電頻率工況下，電磁推力與速度及滑差頻率的關(guān)系曲線，如圖6所示。

如圖6(a)所示，由于動態(tài)邊端效應(yīng)的影響，隨著速度的增加，推力逐漸下降，電機的最大出力隨速度的增大而減小。圖6(b)顯示，在相同速度條件下，考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時最大推力點對應(yīng)的滑差頻率(額定滑差頻率)相比不考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時有所增大。因此，在固定的供電頻率下，額定滑差頻率增大，轉(zhuǎn)差率會增大，這解釋了圖6(a)中電機的最大出力隨速度的增大而減小的原因。圖6表明，由于動態(tài)邊端效應(yīng)的影響，電機最大出力及額定滑差頻率隨速度時變，因此電機的最大出力為相對值。

(a) 推力隨速度變化曲線(a) Variation of thrust with speed

(b) 30 m/s下推力隨滑差頻率變化曲線(b) Variation of thrust with slip frequency under the speed condition of 30 m/s圖6 推力隨速度及滑差頻率變化曲線Fig.6 Variation of thrust with speed and slip frequency

根據(jù)式(16)～(18)可分別計算出電機的正向推力、動態(tài)邊端效應(yīng)造成的反向推力以及電機的實際出力曲線，如圖7所示。

(a) 電機正向出力及實際出力隨速度變化曲線(a) Variation of forward, actual output thrust with speed

(b) 電機反向推力隨速度變化曲線(b) Variation of reverse thrust with speed圖7 考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時電機正、反向推力及實際出力隨速度變化曲線Fig.7 Variation of forward, reverse and actual output thrust with speed considering dynamic end effect

由圖7 (a)可以看出，隨著速度的增加，由于反向推力逐漸增大，導(dǎo)致實際輸出推力不斷下降。根據(jù)式(12)及圖5可知，由于動態(tài)邊端效應(yīng)的影響，激磁支路中反映動態(tài)邊端效應(yīng)損耗的電阻隨著速度的增大而增大，電機輸入有功功率在該電阻上的消耗增大。部分文獻認為激磁支路中的損耗電阻很小，可忽略，以簡化電機模型。圖7(b)表明，隨著速度的增大，反向推力上升率明顯增大，直觀地反映了在高速區(qū)域，激磁支路的損耗電阻與次級電阻相比已不可忽視。因此，針對運行于高速工況的動初級直線感應(yīng)電機，在建立數(shù)學(xué)模型時必須考慮動態(tài)邊端效應(yīng)造成的額外損耗。

利用文獻[2，7]所提出的計算方法，建立麥克斯韋方程組，可得到一維電磁場推導(dǎo)得到的邊端效應(yīng)下電機的推力特性，將之與本節(jié)的推力計算結(jié)果進行對比分析，如圖8所示。

圖8 不同方法計算推力結(jié)果對比Fig.8 Calculation comparison of thrust by different methods

由圖8的對比可知，基于第1～2節(jié)推導(dǎo)結(jié)果計算得到的推力與電磁場計算結(jié)果更接近，而不考慮次級漏感的推力計算結(jié)果明顯偏小。

3.2 效率評估

電機的效率是系統(tǒng)的重要指標。由于動態(tài)邊端效應(yīng)導(dǎo)致推力下降，并存在額外的渦流損耗，理論上電機的功率因數(shù)和效率會降低。根據(jù)圖5電路方程可得到電機的功率因數(shù)及效率的表達式為：

(19)

(20)

將本文研究對象的初級參數(shù)(如表2所示)代入式(19)、式(20)得到恒定供電頻率下功率因數(shù)和效率隨速度的變化曲線如圖9所示。

隨著電機速度的增大，動態(tài)邊端效應(yīng)造成激磁電感衰減，渦流損耗增大，電機的有功需要克服邊端效應(yīng)。從圖9可以看出，考慮動態(tài)邊端效應(yīng)時，功率因數(shù)和效率隨速度的增大而減小，能夠轉(zhuǎn)化為有效電磁推力的功率在減小。有功不足時，電機的特性變軟，推力下降，難以升速。由于動態(tài)邊端效應(yīng)的客觀存在，除從電機結(jié)構(gòu)上采取措施進行抑制外，通常需要基于準確的數(shù)學(xué)模型對推力控制策略進行改進和優(yōu)化。

表2 電機初級參數(shù)

(a) 功率因數(shù)隨速度變化曲線(a) Variation of power factor with speed

(b) 效率隨速度變化曲線(b) Variation of efficiency with speed圖9 功率因數(shù)及效率隨速度變化曲線Fig.9 Variation of power factor and efficiency with speed

4 仿真及實驗

4.1 有限元仿真驗證

為了驗證電機模型的準確性，采用有限元仿真進行驗證。根據(jù)圖6得到的結(jié)論可知，在動態(tài)邊端效應(yīng)的影響下，額定滑差頻率隨激磁電感的下降而增加。針對本文的研究對象，在實際控制過程中必須采用變滑差頻率控制，使電機盡量靠近額定滑差頻率點運行，以保證電機的出力最大。因此以一個固定的滑差頻率來對比驗證是不可取的。為了獲取不同速度下的最大推力值，在Ansoft Maxwell中建立不同速度下有限元瞬態(tài)場模型，并進行不同頻率條件下的仿真。在不同速度工況下，將有限元仿真得到的最大推力結(jié)果與理論計算結(jié)果進行對比，可驗證分析方法和推導(dǎo)的正確性，如圖10所示。

通過圖10的對比可知，基于式(7)推力的計算結(jié)果更貼近于有限元仿真結(jié)果。因此基于式(7)所建立的數(shù)學(xué)模型能夠基本準確刻畫動態(tài)邊端效應(yīng)影響下電機的運行特性。

圖10 有限元推力驗證Fig.10 Thrust verification by finite element motor

4.2 實驗驗證

為了充分驗證上述理論和仿真結(jié)果，搭建了大功率直線電機實驗平臺并進行了動態(tài)試驗。試驗平臺如圖11所示。通過充電機為儲能單元充電。集中控制單元作為電機控制算法的執(zhí)行者，調(diào)節(jié)逆變器輸出電壓以驅(qū)動直線電機。直線電機上安裝有位置傳感器，可觀測動子的位置，進而計算出速度和加速度。集中控制單元將采集的位置、電流等數(shù)據(jù)用于閉環(huán)控制的反饋、狀態(tài)監(jiān)控以及上傳給上位機，上位機可在每次實驗之后通過MATLAB腳本解析每一次實驗的數(shù)據(jù)。

圖11 實驗平臺示意圖Fig.11 Schematic diagram of experimental platform

工作于非周期瞬態(tài)工況的直線感應(yīng)電機的控制目標為動子帶動負載在設(shè)定的目標位置達到目標速度，根據(jù)控制目標可生成參考加速度作為電機控制的輸入。通過計算觀測加速度誤差(實際觀測加速度與參考加速度的差值)可反映電機的推力跟蹤效果，也就反映了矢量控制計算的準確性，進而驗證電機模型的準確性。

設(shè)計一組實驗，設(shè)定目標速度由10 m/s爬升至30 m/s，分別采用基于式(8)(方法一)和式(7)(方法二)的計算方法進行實驗。實驗結(jié)果如圖12、圖13所示。

(a) v=10 m/s

(b) v=15 m/s

(c) v=20 m/s

(d) v=25 m/s

(e) v=30 m/s圖12 采用方法一實驗觀測加速度誤差Fig.12 Observed acceleration error by using method 1

(a) v=10 m/s

(b) v=15 m/s

(c) v=20 m/s

(d) v=25 m/s

(e) v=30 m/s圖13 采用方法二實驗觀測加速度誤差Fig.13 Observed acceleration error by method 2

根據(jù)3.1節(jié)的分析可知，隨著電機運行速度的爬升，動態(tài)邊端效應(yīng)帶來的激磁電感下降及反向推力問題趨于嚴重。如圖12所示，采用方法一進行實驗，觀測加速度存在明顯的跌落，加速度誤差隨速度的增大而增大，最大誤差達到近20 m/s2，與第3節(jié)分析得到的電機在動態(tài)邊端效應(yīng)影響下的運行特性相符。采用方法二進行實驗，電機參數(shù)能夠得到更準確的修正，則矢量控制中的有關(guān)推力、滑差頻率、轉(zhuǎn)矩電流的計算結(jié)果更準確。因此基于方法二進行實驗?zāi)軌蛴行p小加速度誤差(均能控制在10 m/s2以內(nèi))，取得更好的推力控制效果，與第一節(jié)分析得到的結(jié)論一致。

5 結(jié)論

本文基于一階等效電路瞬態(tài)渦流分析法推導(dǎo)了動態(tài)邊端效應(yīng)影響下動初級六相直線感應(yīng)電機的參數(shù)時變規(guī)律。推導(dǎo)結(jié)果表明，次級漏感會阻礙感應(yīng)渦流的瞬變，考慮次級漏感時激磁電感的下降率相比不考慮次級漏感更小，所刻畫的電機模型更準確。通過電機的電磁方程推導(dǎo)對電機進行了性能計算與分析，指出動態(tài)邊端效應(yīng)會導(dǎo)致激磁電感衰減，渦流損耗增大，反向推力增大，有效輸出推力下降，效率降低，這些特征隨電機運行速度的增大而趨于明顯。有限元仿真和動態(tài)實驗結(jié)果表明，電機參數(shù)的時變規(guī)律和電機的工作特性與理論分析相符。