曹廣福

摘要：不管高考怎么命題，數(shù)學(xué)教學(xué)僅靠“刷題”和“套路”都是不行的，必須認(rèn)真思考如何真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，關(guān)鍵不是呈現(xiàn)解題步驟，而是講清楚并讓學(xué)生體會到解題思路。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)要傳授數(shù)學(xué)思想，努力達(dá)成“應(yīng)試”與“素質(zhì)”的平衡。

關(guān)鍵詞：新高考;數(shù)學(xué)教學(xué);思維能力;解題思路;數(shù)學(xué)思想

一、“刷題”和“套路”不行了：從“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷說起

2021年的“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷讓眾多學(xué)子鎩羽而歸，也讓很多教師感到不適應(yīng)——靠“刷題”和“套路”似乎不能解決問題了。比如，這套試卷的壓軸題：

已知函數(shù)f（x）=ex-sin x-cos x，g（x）=ex+sin x+cos x。

（1）證明：當(dāng)x>-5π4時(shí)，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a。

很多人覺得這道題很難，尤其是第（2）小題。同時(shí)，也有不少人給出了這道題的多種正確解答，但是，這些解答方法如同霧里看花，解題者是如何想到的？似乎尚沒有一個(gè)使人感到邏輯自然的解答。也就是說，解題者沒有將解題思路講清楚，我們很難從解答中看到清晰的解題思路，更不要說它所體現(xiàn)的通性通法或思想方法了。

那么，這道題真的很難嗎？非也！找到合適的思路，真是一點(diǎn)兒也不難。

第（1）小題是平常題目，姑且按下不表。對于第（2）小題，首先按順序思考如下3個(gè)問題：

問題1：這是一個(gè)什么樣的問題？

這是對題目的辨析，不搞清楚它，就會感到無從下手。答案很簡單：一個(gè)固定函數(shù)的圖像被一些直線從下方“支撐”住了。

問題2：這些直線是些什么直線？

這仍是對題目的辨析。直線y=2+ax ，過一個(gè)定點(diǎn)（0，2），換言之，這是過點(diǎn)（0，2）的一個(gè)直線束。

問題3：需要解決什么問題？

求出所有能“支撐”住函數(shù)y=ex+sin x+cos x圖像的直線的斜率a的范圍。

解決了這3個(gè)問題，第（2）小題的辨析過程就完成了。但要徹底解決第（2）小題，還需要做進(jìn)一步的分析。因?yàn)樗兄本€都與y軸交于一點(diǎn)，我們自然應(yīng)該弄清楚第4個(gè)問題：

問題4：所有直線都過點(diǎn)（0，2），那么，函數(shù)的圖像與y軸有沒有交點(diǎn)？交點(diǎn)是什么？

這個(gè)問題并不難回答：g（x）的圖像與y軸交于點(diǎn)（0，2）。因此，直線束與函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)（0，2）。

接下來的第5個(gè)問題很自然地就產(chǎn)生了。

問題5：直線y=2+ax如何才能“支撐”住g（x）的圖像？

顯然，直線如果穿過曲線，則不可能成為曲線的“支撐”;直線如果與曲線交于另外一點(diǎn)，除非在那一點(diǎn)與曲線相切，否則也不可能成為“支撐”。

有了這些分析，估計(jì)所有熟悉函數(shù)圖像的人都清楚“支撐”函數(shù)圖像的直線應(yīng)該是什么樣的直線了。

我們可以做一個(gè)“大膽猜測”：只在一種情況下，直線才可能“支撐”住函數(shù)的圖像，這就是：直線在點(diǎn)（0，2）處與函數(shù)的圖像相切，即a=g′（0）=2。

這個(gè)猜測合情合理，雖然它不能作為正式的證明，但是它無疑給了我們證明的基本思路。接下來的事情自然便是“小心求證”了。

有了上述一系列的分析、思考，是不是有一種撥云見日的感覺？

二、“刷題”和“套路”之外：解題能力的核心是思維能力

很多一線教師喜歡尋找“套路”，即“分類”;很多參考資料都在進(jìn)行各種各樣的“分類”。“分類”有沒有用？可以肯定地說：有用。原因是，面對高考卷那么大的題量，不具備一定的熟練度，沒有一定的“套路”，很難應(yīng)付。但“套路”的作用終究是有限的，題目千變?nèi)f化，永遠(yuǎn)會有你沒有見過的“套路”，尤其是面對素養(yǎng)立意的新高考。所以，“套路”之外，我們還需要別的東西。這個(gè)東西不僅對應(yīng)試大有裨益，對于一個(gè)人未來的人生也是十分重要的，它就是人們常常掛在嘴邊，卻看不見、摸不著的“思維能力”。這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本，包括數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)思辨。

善于解題本身就是一種能力，這一點(diǎn)不容置疑。不同的人掌握解題方法的途徑有所不同。靠“刷題”和“套路”積累經(jīng)驗(yàn)、歸納題型，可以有效地提高解題速度。因此，面對大題量的試卷，適當(dāng)?shù)摹八㈩}”和“套路”是必不可少的。但是，一味地依賴“刷題”和“套路”，會帶來兩方面的問題：其一，過量的“刷題”容易使人產(chǎn)生疲勞，久而久之就會把本來充滿直覺和思辨的數(shù)學(xué)變成機(jī)械化的技能訓(xùn)練，只會幾個(gè)“練熟了的動作”;其二，僅尋找“套路”容易限制思路，久而久之就會削弱思維的靈活性，無法應(yīng)對題目的變化。

也就是說，靠經(jīng)驗(yàn)和題型解題與靠直覺和思辨解題是兩種完全不同的解題方式，各有優(yōu)缺點(diǎn)：前者可以有效提高解題速度，后者可以應(yīng)付從未見過的題型，兩者缺一不可。一線教師切莫被誤導(dǎo)，從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端。

事實(shí)上，不管高考怎么命題，僅靠“刷題”和“套路”都是不行的。作為教師，必須“兩條腿走路”：一方面，指導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)亍八㈩}”，總結(jié)“套路”;另一方面，認(rèn)真思考如何真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的正道。

三、培養(yǎng)思維能力：思路比技巧更重要

“道勝于術(shù)，無招勝有招?！苯鈹?shù)學(xué)題也是這個(gè)道理。一個(gè)好的解題方案不應(yīng)該以玩技巧為重點(diǎn)——雖然技巧必不可少，但更重要的在于思路。這個(gè)思路應(yīng)該可以重復(fù)，具有一般性，即屬于通性通法，體現(xiàn)思想方法。如果把解題過程看作一部運(yùn)行的機(jī)器的話，技巧就是機(jī)器的潤滑劑，思路才是發(fā)動機(jī)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，偶然性結(jié)果不能當(dāng)成真理，只有經(jīng)過重復(fù)實(shí)驗(yàn)可以再現(xiàn)的結(jié)果才能稱得上真理?？梢灾貜?fù)、具有一般性的思路可以幫助解題者以不變應(yīng)萬變：任它題型千變?nèi)f化，我自有應(yīng)付之策。

當(dāng)然，要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，關(guān)鍵不是呈現(xiàn)解題步驟，而是講清楚并讓學(xué)生體會到解題思路。甚至，很多時(shí)候，題目無所謂好壞，不知所云的解答才是更糟糕的，它會把學(xué)生引向歧路——說到底，是把一個(gè)充滿直覺和思辨的問題變成了純粹的玩技巧的問題。

再回頭去看上述“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，相信大家都能理解上文給出的5個(gè)思考問題形成的邏輯鏈條，也比較容易從中找到解題的基本思路——它的每一步都是基于自然的思考。正所謂“道法自然”。

我們不妨用類似的方法來解決下面這道2021年廣東省廣州市一模數(shù)學(xué)卷壓軸題：

已知函數(shù)f（x）=xln x-ax2+x（a∈R）。

（1）證明：曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l恒過定點(diǎn);

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，且x2>2x1，證明：x21+x22>4e。

對于第（2）小題，不妨也按順序思考如下5個(gè)問題：

問題1：如果函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1與x2，這兩個(gè)點(diǎn)滿足什么條件？

問題2：如何尋找x1與x2的關(guān)系？

問題3：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)滿足條件x2>2x1，如果將x2用2x1代替，ln x1+1x1與ln 2x1+12x1應(yīng)該是什么關(guān)系？

問題4：既然有l(wèi)n x1+1x1=ln x2+1x2，x1與x2有可能位于x=1的同一側(cè)嗎？

問題5：回到問題3，ln x1+1x1與ln 2x1+12x1應(yīng)該是什么關(guān)系？

這里，只要想清楚了問題2，對問題3中的兩個(gè)代數(shù)式就一點(diǎn)兒也不會感到奇怪。而問題4則是對函數(shù)圖像及特殊點(diǎn)與圖像位置關(guān)系的分析。可見，解決函數(shù)問題離不開對函數(shù)幾何特征的分析。

上述5個(gè)問題弄清楚了，這道題便迎刃而解。

四、傳授數(shù)學(xué)思想：努力達(dá)成“應(yīng)試”與“素質(zhì)”的平衡

檢驗(yàn)學(xué)生對某類知識的掌握程度，方法主要有兩個(gè)：一是考試，二是實(shí)踐。實(shí)踐環(huán)節(jié)很難在學(xué)校學(xué)習(xí)階段完成：雖然可以通過課外實(shí)踐、創(chuàng)新大賽等形式在一定程度上有所體驗(yàn)，但那只是對部分學(xué)生的局部性檢驗(yàn)，不具備一般性。根本的實(shí)踐環(huán)節(jié)需要在學(xué)生走向社會、參與實(shí)際工作之后完成。因此，作為高校選拔學(xué)生的方式，考試無疑是目前最重要、最公平的途徑。從這個(gè)意義上說，離開應(yīng)試談素質(zhì)教育是沒有意義的。作為數(shù)學(xué)教學(xué)“指揮棒”的數(shù)學(xué)高考，命題應(yīng)該遵循什么原則？充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷的壓軸題就充分體現(xiàn)了這樣的原則。

那么，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何適應(yīng)新高考的要求？根本方法只有一個(gè)：回歸數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是什么？傳授數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺和思辨能力。有效路徑是什么？有限的“再創(chuàng)造”，讓枯燥的數(shù)學(xué)知識回歸為解決問題過程中有趣的思考，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想，最終達(dá)到將數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)換成解題方法的目的。為此，教學(xué)中需要重視以下兩個(gè)環(huán)節(jié)。（1）審題。審題具有兩個(gè)基本功能，一是搞清楚題目在說什么，清晰理解題目的條件與結(jié)論;二是對問題有一個(gè)初步的感知，明確是什么類型的問題。在上述“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷壓軸題的思考過程中，問題1到問題3都屬于審題過程中的思辨。（2）解題。在上述“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷壓軸題的思考過程中，問題4和問題5則是解題過程中的思辨。正是通過這樣的思辨，才有了后面的直覺猜測。

而且，這樣思辨的過程，充分體現(xiàn)了微積分中的局部化思想，用微積分的常用術(shù)語來描述，即微分近似公式。然而，機(jī)械地記憶微分近似公式（切線代替曲線）是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要對這一公式的本質(zhì)有深刻的理解，即清楚地了解函數(shù)與一階近似式的誤差是一個(gè)高階無窮小量。換言之，這個(gè)誤差與自變量的增量相比可以忽略不計(jì)。在理解問題本質(zhì)的前提下，需要尋找運(yùn)用初等方法解決問題的途徑。

改革并非否定傳統(tǒng)的教學(xué)，而是糾正過去的偏差。數(shù)學(xué)思想需要傳授，數(shù)學(xué)技巧也必不可少，關(guān)鍵在于二者如何兼顧。為此，我們還需要做到：（1）概念課不可以一帶而過，因?yàn)闆]有對概念內(nèi)涵的深刻理解，就無法面對相對復(fù)雜尤其是模棱兩可的問題;（2）原理課一定要闡述清楚原理，讓學(xué)生了解原理的來龍去脈（為了解決什么問題）以及蘊(yùn)含的深刻思想，否則，學(xué)生在面對新的問題時(shí)將一籌莫展，不知道如何運(yùn)用已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)工具。

五、寫在最后

雖然筆者不反對教師在課堂教學(xué)中，幫助學(xué)生總結(jié)解決常見問題的一般方法并進(jìn)行歸納分類，這在基本功訓(xùn)練過程中是行之有效的，對于應(yīng)付大題量的考試也大有助益;但這不是數(shù)學(xué)教育的根本，數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是傳授數(shù)學(xué)思想，教學(xué)生學(xué)會思考。

面對新高考，用一個(gè)教育心理學(xué)家常說的詞來概括，學(xué)生更需要“元認(rèn)知”能力，他們需要知道怎么想到用某個(gè)方法來解決某個(gè)問題。

思維能力的培養(yǎng)不是一句改革口號，也不是專家寫文章才需要的專業(yè)術(shù)語，它需要教師在課堂教學(xué)中不斷摸索，真正讓學(xué)生在面對各種問題的時(shí)候，做到“無招勝有招”。