熊奉奎,張 明,袁越錦,付軍豪,劉 康

(1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710016;2.綿陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川 綿陽(yáng) 621000;3.四川輕化工大學(xué),四川 自貢 643000)

0 引 言

齒輪傳動(dòng)是現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中核心的傳動(dòng)機(jī)構(gòu),因此,對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行傳動(dòng)誤差建模計(jì)算及精度分配,無(wú)疑也就成為了對(duì)現(xiàn)代機(jī)械進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵[1]。

在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差建模計(jì)算上,大連理工大學(xué)的張凱[2]提出了針對(duì)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彈性誤差運(yùn)動(dòng)模型,揭示了直齒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)誤差與各零件的幾何誤差、彈性變形之間的內(nèi)在聯(lián)系;但其未對(duì)斜齒齒輪進(jìn)行探究。王保民等人[3]綜合考慮了影響齒輪副傳動(dòng)誤差的轉(zhuǎn)角偏差與裝配偏心誤差,建立了切向綜合公差與輸出齒輪的最大角度誤差的關(guān)系式,及法向側(cè)隙與空間回轉(zhuǎn)角的關(guān)系式。王朝兵等人[4]針對(duì)行星齒輪系,將各齒輪的齒距偏差及偏心誤差等隨機(jī)誤差映射到哨合線上,建立了多級(jí)傳動(dòng)誤差剛性親合模型,并結(jié)合蒙特卡洛法,剝離出了對(duì)傳動(dòng)誤差影響最大的隨機(jī)誤差;但其未對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模計(jì)算。

在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)精度分配上,傳統(tǒng)精度分配均建立在確定的精度分配原則和方法上,例如相似原則、等公差原則、等影響原則、成比例影響原則、等精度原則等[5]。然而，在實(shí)際生產(chǎn)中,上述方法普遍存在沒(méi)有與齒輪的具體結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合的問(wèn)題,例如:齒輪的尺寸大小、齒距累計(jì)誤差、齒輪軸向跳動(dòng)誤差等特征。故采用上述傳統(tǒng)精度分配方法對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行精度分配,在實(shí)際生產(chǎn)時(shí)還需人為進(jìn)行調(diào)整、搭配,反復(fù)核算和試驗(yàn),不具備良好的自適應(yīng)性及魯棒性[6]。

本文以新型航發(fā)葉片加工五軸機(jī)床轉(zhuǎn)臺(tái)[7]26為例,先建立從單個(gè)齒輪到一對(duì)齒輪，再到齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分步誤差計(jì)算方法;進(jìn)而建立以概率統(tǒng)計(jì)法為基礎(chǔ)的傳動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型,對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行計(jì)算;然后再建立基于多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法的傳動(dòng)精度分配方案,對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪精度進(jìn)行分配;最后將兩者結(jié)合使用,得到一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案進(jìn)行驗(yàn)證。

1 轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差分析

1.1 新型轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

新型轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)1—主動(dòng)齒輪軸;2,3—斜齒輪;4,5—中間齒輪軸;6—輸出軸斜齒輪;7—推力球軸承;8—開(kāi)槽碟簧

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作原理為:

在裝配時(shí)扭轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)從動(dòng)斜齒輪2與斜齒輪軸4的相對(duì)角度位置,同時(shí)以相同的方法調(diào)節(jié)從動(dòng)斜齒輪3與斜齒輪軸5的相對(duì)角度位置,以保證主動(dòng)斜齒輪軸1同一個(gè)齒的正反兩面分別和從動(dòng)斜齒輪2和3的對(duì)應(yīng)齒的反正兩面緊密嚙合,而斜齒輪2和3的嚙合齒的另外兩個(gè)齒面則和斜齒輪軸1的齒面留有較大間隙,而不能形成有效嚙合;

同時(shí),輸出軸上的斜齒輪6和斜齒輪軸4和5也以同樣的原理相嚙合,最終保證輸入斜齒輪軸1進(jìn)行正反轉(zhuǎn)切換時(shí),分別從相異的傳動(dòng)鏈傳遞運(yùn)動(dòng)和扭矩;而另一條非工作傳動(dòng)鏈總是做隨動(dòng)運(yùn)動(dòng),且不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)干涉,從而達(dá)到消除正反轉(zhuǎn)切換誤差的目的[7]27。

1.2 單個(gè)齒輪傳動(dòng)誤差的影響因素分解

傳動(dòng)誤差是指在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中,瞬時(shí)速比對(duì)理想速比的偏差,其最終導(dǎo)致讀數(shù)齒輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角偏離理論轉(zhuǎn)角[8]。因此,新型轉(zhuǎn)臺(tái)的傳動(dòng)誤差可以認(rèn)為是,輸出齒輪6的實(shí)際轉(zhuǎn)角位置相對(duì)理想轉(zhuǎn)角位置的偏差。大量研究表明,傳動(dòng)誤差由固有位置誤差、裝置誤差及工作過(guò)程中的形變誤差3部分組成[9]。

1.2.1 齒輪固有位置誤差

齒輪固有位置誤差來(lái)自齒與齒的位置誤差和齒輪旋轉(zhuǎn)位置誤差的綜合作用[10],主要源于齒輪的加工過(guò)程。

齒與齒的位置誤差是實(shí)際齒廓對(duì)理想齒廓的偏離,影響齒與齒的位置誤差的主要因素是基節(jié)誤差和齒形誤差,也可以叫做齒輪的大周期誤差。

齒輪旋轉(zhuǎn)位置誤差主要是由于幾何偏心(齒輪實(shí)際旋轉(zhuǎn)中心對(duì)理論旋轉(zhuǎn)中心的軸線偏離距離)和運(yùn)動(dòng)偏心(齒廓相對(duì)理論位置產(chǎn)生切向位移和歪斜)造成的正弦位置誤差,其總是在齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)隨轉(zhuǎn)角θ做正弦變化,也可以叫做齒輪的小周期誤差[11]421。

綜上所述,齒輪的固有位置誤差主要由基節(jié)誤差、齒形誤差、幾何偏心、運(yùn)動(dòng)偏心4個(gè)誤差因素組成。這些誤差因素綜合后造成齒輪的回轉(zhuǎn)中心產(chǎn)生偏移,形成齒輪的綜合偏心誤差e[11]421。

齒輪的綜合偏心誤差e對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的影響如圖2所示。

圖2 綜合偏心誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

由圖2可得,假設(shè)主動(dòng)齒輪1沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),則從動(dòng)齒輪2沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)齒輪1的回轉(zhuǎn)中心產(chǎn)生一個(gè)e的偏心量時(shí),齒輪固有位置誤差為[12]:

(1)

式中:Δ1—齒輪固有位置誤差;e1—主動(dòng)齒輪的偏心距;φ1—齒輪的偏心距與回轉(zhuǎn)中心之間o1o2的夾角;αn—斜齒輪的壓力角;esinφ1—偏心距產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差;ecosφ1tanαn—從動(dòng)齒輪產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差。

齒輪的固有位置誤差為:

(2)

由式(2)可知,齒輪的偏心距e引起的齒輪傳動(dòng)誤差Δ1符合三角正弦函數(shù)變化規(guī)律。

(3)

1.2.2 裝置誤差

在轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中,齒輪2的轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置無(wú)疑非常重要[13]。裝置誤差是齒輪2實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)中心對(duì)理論轉(zhuǎn)動(dòng)中心的偏離,相當(dāng)于齒輪2發(fā)生了幾何偏心。裝置誤差由齒輪孔與軸頸間的間隙Δe2、齒輪安裝處軸頸的徑向跳動(dòng)Δe3和軸承的徑向跳動(dòng)Δe4組成[7]28。

3個(gè)誤差對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的影響的分析方法與齒輪偏心造成的傳動(dòng)誤差分析方法一致,其計(jì)算公式為:

(1)齒輪孔與軸間的間隙偏心e2導(dǎo)致的傳動(dòng)誤差Δ2:

(4)

(2)軸頸的徑向跳動(dòng)偏心e3導(dǎo)致的傳動(dòng)誤差Δ3:

(5)

(3)軸承的徑向跳動(dòng)偏心e4導(dǎo)致的傳動(dòng)誤差Δ4:

(6)

(4)齒輪孔與軸之間的間隙Δe2與偏心e2的關(guān)系為:

(7)

(5)軸頸的徑向跳動(dòng)Δe3與偏心e3的關(guān)系為:

(8)

(6)軸承的徑向跳動(dòng)Δe4與偏心e4的關(guān)系為:

(9)

式中:Δei—齒輪的各跳動(dòng)量,均服從正態(tài)分布;φi—齒輪的各跳動(dòng)量對(duì)應(yīng)的相位角,均在區(qū)間[0,2π]上服從均勻分布。

1.2.3 工作過(guò)程中的形變誤差

在轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)工作過(guò)程中,齒輪會(huì)受到間歇性隨機(jī)載荷作用,從而產(chǎn)生變形,最終映射到齒輪的傳動(dòng)誤差上(即變形誤差)。變形誤差主要是來(lái)源于磨損誤差、塑性變形誤差、彈性變形誤差、熱誤差及疲勞變形誤差。而塑性變形和疲勞破壞,均屬于齒輪典型的失效形式之一,不在誤差的研究范圍之內(nèi)。

而對(duì)于斜齒輪變形(磨損)的誤差補(bǔ)償,此處筆者采用了非標(biāo)碟簧開(kāi)槽隨動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)予以補(bǔ)償,并在筆者已發(fā)表的論文《新型轉(zhuǎn)臺(tái)開(kāi)槽碟簧隨動(dòng)補(bǔ)償磨損誤差機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)》中有詳細(xì)分析。

1.3 轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差分析

1.3.1 單個(gè)齒輪傳動(dòng)誤差

由誤差獨(dú)立作用原理可得,單個(gè)齒輪的誤差是由齒輪的固有位置誤差和裝置誤差組合得到的。由參考文獻(xiàn)[7]得,單個(gè)齒輪的傳動(dòng)誤差ΔE的計(jì)算公式為:

ΔE=Δ1+Δ2+Δ3+Δ4

(10)

1.3.2 一對(duì)齒輪副的傳動(dòng)誤差

一對(duì)齒輪副的傳動(dòng)誤差則是由兩個(gè)互相嚙合的齒輪的傳動(dòng)誤差組合而成,由讀數(shù)法可得其計(jì)算公式為:

(11)

式中:Δθf(wàn)—齒輪副的傳動(dòng)誤差;ΔE1，ΔE2—分別為主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪的傳動(dòng)誤差;R2—從動(dòng)齒輪的分度圓半徑。

1.3.3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差

將齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中所有齒輪副的傳動(dòng)誤差合理地累加到讀數(shù)齒輪上,就能得到齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的整體傳動(dòng)誤差。如果取第n軸為讀數(shù)齒輪軸,則齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的整體傳動(dòng)誤差的計(jì)算公式為[7]29:

(12)

式中:Δθf(wàn)n—第n對(duì)齒輪副的傳動(dòng)誤差;in—第n對(duì)齒輪副上n軸到n+1軸的傳動(dòng)比。

對(duì)于新型轉(zhuǎn)臺(tái)而言,參考式(12),并以齒輪6為讀數(shù)齒輪,轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差為:

(13)

式中:Δθf(wàn)1—齒輪1與2的嚙合傳動(dòng)誤差;Δθf(wàn)2—齒輪4與6的嚙合傳動(dòng)誤差;i2—齒輪4與6的傳動(dòng)比。

2 轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差建模計(jì)算

由1.2節(jié)可推得,組成傳動(dòng)誤差的各個(gè)誤差因素均為隨機(jī)變量,因此傳動(dòng)誤差也一定為隨機(jī)變量,最后計(jì)算齒輪傳動(dòng)誤差時(shí),就難免需要考慮各誤差因素的均值μ和方差D。以概率統(tǒng)計(jì)法為基礎(chǔ),筆者采用數(shù)學(xué)建模的方法,對(duì)傳動(dòng)誤差進(jìn)行計(jì)算。

(14)

(15)

其中,齒輪孔與軸之間的間隙偏心e2服從瑞利分布,相位角服從在[0,2π]區(qū)間的均勻分布。

由概率論可知:

(16)

(17)

又因?yàn)棣2服從正態(tài)分布,所以標(biāo)準(zhǔn)差為:

(18)

由于隨機(jī)變量e2和φ2是互相獨(dú)立的,有:

(19)

又因?yàn)?E[sin(φ2+αn)]=0,所以有:

μ2=0

(20)

裝置誤差中,各間隙Δei均服從正態(tài)分布,所以齒輪安裝處軸頸的徑向跳動(dòng)偏心e3和軸承的徑向跳動(dòng)偏心e4所引起的傳動(dòng)誤差Δ3,Δ4的均值和方差分別為[14]2912:

μ3=0

(21)

μ4=0

(22)

一對(duì)齒輪的傳動(dòng)誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為:

μ1,2=0

(23)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差也服從正態(tài)分布,若分布范圍取6σ1,2,則傳動(dòng)誤差的極值為:

(24)

相應(yīng)角傳動(dòng)誤差Δφ1,2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:

μφ1,2=0

(25)

式中:mn—法向模數(shù);z2—從動(dòng)輪齒數(shù)。

綜合式(14～25)得,一對(duì)齒輪的角傳動(dòng)誤差為:

(26)

式中:F′i1,F′i2—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的切向綜合誤差;Δe21,Δe22—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的孔與軸間的間隙;Δe31,Δe32—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的安裝處軸頸徑向跳動(dòng)誤差;Δe41,Δe42—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的軸承徑向游隙。

根據(jù)式(25,26),并結(jié)合讀數(shù)法,可得轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差計(jì)算模型為:

(27)

3 轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的精度分配

3.1 遺傳算法簡(jiǎn)介

遺傳算法是一類隨機(jī)優(yōu)化搜索方法,該算法直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作,不存在求導(dǎo)及函數(shù)連續(xù)性的限定,具有更好的內(nèi)在并行性和全局搜索能力;采用概率化的尋優(yōu)方法,能自動(dòng)獲取優(yōu)化的搜索空間,自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向,不需要確定的規(guī)則。該算法一般由:編碼、初始群體的生成、雜交、適應(yīng)度值評(píng)估檢測(cè)、選擇、變異和中止7個(gè)步驟構(gòu)成[15]126。

3.2 精度分配優(yōu)化數(shù)學(xué)建模

3.2.1 設(shè)計(jì)變量

轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的單側(cè)傳動(dòng)鏈有4個(gè)齒輪,根據(jù)1.2節(jié)的分析,筆者選取齒輪的切向綜合誤差、齒輪孔與軸頸之間的間隙、安裝處軸頸徑向跳動(dòng)誤差和軸承徑向游隙為系統(tǒng)傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)變量。

由于齒輪1和齒輪4是齒輪軸,其齒輪孔與軸頸之間的間隙及安裝處軸頸徑向跳動(dòng)誤差的值均為0,轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的精度分配模型由12個(gè)設(shè)計(jì)變量構(gòu)成,如表1所示。

表1 精度分配設(shè)計(jì)變量

3.2.2 約束條件

約束條件直接決定優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。筆者先根據(jù)新型轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)中,各齒輪不同精度等級(jí)(取5級(jí)到8級(jí))選取變量的取值范圍,再依據(jù)齒輪不同的精度等級(jí)查閱機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè),確定每個(gè)齒輪的x1、x2、x3及x4的取值范圍,如表2所示。

表2 設(shè)計(jì)變量的取值范圍

轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)計(jì)的定位精度要求低于8″。由于轉(zhuǎn)臺(tái)由SINUMERIK-840D全閉環(huán)控制系統(tǒng)控制,其定位精度要比開(kāi)環(huán)系統(tǒng)高一個(gè)數(shù)量級(jí),故滿足小于等于80″即可。

基于機(jī)床工作時(shí)熱誤差的影響,筆者將誤差允許值設(shè)定為61″;結(jié)合式(13)可得其優(yōu)化目標(biāo)應(yīng)滿足誤差的約束條件為:

(28)

3.2.3 目標(biāo)函數(shù)確定

目標(biāo)函數(shù)會(huì)影響優(yōu)化模型的性能，由單一目標(biāo)函數(shù)得到的優(yōu)化解常具有局限性[16]。因此,本文采取多目標(biāo)優(yōu)化的方法,設(shè)定成本、均衡及魯棒3個(gè)目標(biāo)函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo),并用適應(yīng)度函數(shù)對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)求解,進(jìn)而得到一個(gè)新的適應(yīng)度函數(shù),最后用遺傳算法求解尋優(yōu)后的新適應(yīng)度函數(shù),得到合理的精度分配方案。

(1)成本目標(biāo)函數(shù)

降低生產(chǎn)成本是新型轉(zhuǎn)臺(tái)精度分配的重要目標(biāo)之一。在多指標(biāo)評(píng)價(jià)體系中,由于各評(píng)價(jià)指標(biāo)性質(zhì)不同,通常具有不同的量綱和數(shù)量級(jí)[17],需對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行歸一化處理,即:

(29)

因此,成本目標(biāo)函數(shù)的公式為:

(30)

(2)均衡目標(biāo)函數(shù)

在精度分配中,應(yīng)避免出現(xiàn)一個(gè)誤差值很低,一個(gè)誤差值很高。另外,由于齒輪誤差值具有離散性,應(yīng)對(duì)相應(yīng)齒輪的軸向跳動(dòng)誤差和徑向跳動(dòng)誤差進(jìn)行均衡化處理[15]125,其均衡目標(biāo)函數(shù)為:

(31)

(3)魯棒目標(biāo)函數(shù)

為盡量增加轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)誤差的穩(wěn)定性,可以采取降低設(shè)計(jì)變量誤差值的措施。基于敏感度分析設(shè)計(jì)魯棒目標(biāo)函數(shù)為:

(32)

(4)適應(yīng)度函數(shù)轉(zhuǎn)化

適應(yīng)度函數(shù)是按照最小值進(jìn)行且有約束的,針對(duì)線性方程的最優(yōu)值尋優(yōu)的函數(shù)[14]2913,筆者將以上3個(gè)目標(biāo)函數(shù)用適度性函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,可得:

(33)

采用權(quán)重法,并結(jié)合轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu),筆者確定成本、均衡及魯棒目標(biāo)函數(shù)加權(quán)系數(shù)分別為c1=0.5,c2=0.3,c3=0.2,則簡(jiǎn)化后新的適應(yīng)度函數(shù)為:

(34)

由于設(shè)計(jì)要求是,完成精度分配后的轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)誤差的最大求解值要小于轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)允許值。但是適應(yīng)度函數(shù)默認(rèn)求解的是轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)誤差的最小值,需要對(duì)適應(yīng)度函數(shù)添加負(fù)號(hào),經(jīng)轉(zhuǎn)換求得精度分配后的傳動(dòng)誤差的最大值。用遺傳算法所求的函數(shù)為:

(35)

滿足的約束為:

(36)

3.3 精度分配計(jì)算

根據(jù)上述理論,筆者使用MATLAB編寫多目標(biāo)優(yōu)化后的遺傳算法程序[18],并取交叉概率0.7,變異概率0.3,進(jìn)化次數(shù)500,種群規(guī)模500;運(yùn)行后得到轉(zhuǎn)臺(tái)的齒輪優(yōu)化數(shù)據(jù)。

前5級(jí)精度齒輪參數(shù)如表3所示:

表3 高精度分配方案

從優(yōu)化結(jié)果可以看出:齒輪1、2、4和6的切向綜合誤差的選取可以適當(dāng)增大,孔與軸之間的間隙變化不大,安裝處軸頸徑向跳動(dòng)誤差可以適當(dāng)提高,軸承徑向游隙無(wú)明顯變化。

根據(jù)齒輪的切向綜合誤差的變化值,筆者對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪進(jìn)行重新選取。優(yōu)化后的齒輪精度等級(jí)變化如表4所示。

表4 優(yōu)化前后齒輪精度等級(jí)對(duì)比

式(27)中,代入精度優(yōu)化分配前5級(jí)精度齒輪參數(shù),經(jīng)計(jì)算可得:傳動(dòng)誤差概率統(tǒng)計(jì)集中值為18.4″。

同理,代入優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù),可得精度優(yōu)化后的傳動(dòng)誤差最大值為54.7″<61″,概率統(tǒng)計(jì)集中值為27.61″,小于轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的允許設(shè)計(jì)傳動(dòng)誤差范圍,滿足設(shè)計(jì)要求,可見(jiàn)其精度分配合理。

從優(yōu)化后的齒輪精度等級(jí)表格中可以看出,在滿足設(shè)計(jì)誤差要求的前提下,各齒輪的精度等級(jí)均有所下降,達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo),降低了制造成本。

4 傳動(dòng)誤差模型試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該傳動(dòng)誤差計(jì)算模型及齒輪精度分配方案的正確性,筆者以6級(jí)精度斜齒輪組的減速機(jī)作為載體,搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(新型轉(zhuǎn)臺(tái)已投產(chǎn),實(shí)物不方便拆卸),予以間接驗(yàn)證。

4.1 實(shí)驗(yàn)原理

筆者以齒輪減速機(jī)作為載體,在變頻器和三相電機(jī)構(gòu)成的動(dòng)力組合的驅(qū)動(dòng)下,實(shí)現(xiàn)針對(duì)減速機(jī)輸入轉(zhuǎn)速的無(wú)極變速,模擬加工過(guò)程中轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速變化,實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)加工環(huán)境的模擬;通過(guò)分別連接在斜齒輪輸入軸、中間軸和輸出軸上的3個(gè)角速度編碼器,實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)各軸的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速和運(yùn)動(dòng)狀態(tài);再通過(guò)接線端子,將數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳送到PCL—833多功能采集卡上,由采集卡采集后傳輸?shù)焦た刂鳈C(jī)采集數(shù)據(jù);然后將數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)角度轉(zhuǎn)化處理,得到同一時(shí)間點(diǎn)各軸的轉(zhuǎn)速值。

最后,筆者再通過(guò)MATLAB編程制圖,將各點(diǎn)的數(shù)據(jù)輸入其中,形成對(duì)應(yīng)的誤差曲線,并與分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證理論計(jì)算體系的正確性。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建原理如圖3所示。

圖3 試驗(yàn)平臺(tái)搭建原理圖

圖3中,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中檢測(cè)出的斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差、輸入端齒輪副的傳動(dòng)誤差和輸出端齒輪副的傳動(dòng)誤差均能在顯示器上,通過(guò)PCL833采集卡專用軟件界面顯示出來(lái)。

按實(shí)驗(yàn)原理搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建示意圖1—工控主機(jī);2—二級(jí)斜齒輪減速器;3—角速度編碼器;4—梅花聯(lián)軸器;5—步進(jìn)電機(jī);6—變頻器;7—PCL833采集卡

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

啟動(dòng)伺服電機(jī)后,筆者設(shè)置電機(jī)轉(zhuǎn)速為10 r/min,運(yùn)行一段時(shí)間待被測(cè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)后,再開(kāi)始采集數(shù)據(jù),采集數(shù)據(jù)過(guò)程中通過(guò)變頻器不斷變換電機(jī)轉(zhuǎn)速(n=10 r/min～960 r/min),得到并記錄輸入與輸出軸的數(shù)據(jù),如圖5所示。

圖5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)誤差采集數(shù)據(jù)

按PCL833使用說(shuō)明所述,角度轉(zhuǎn)換公式為:

(37)

式中:Δθ—傳動(dòng)系統(tǒng)的角度誤差,分;λ—誤差采集值。

筆者不斷地記錄不同轉(zhuǎn)速下的傳動(dòng)系統(tǒng)誤差采集值λ,再按上式將傳動(dòng)誤差采集值λ轉(zhuǎn)換成角度誤差Δθ[19];最后,用MATLAB編程作圖,即得到二級(jí)減速器的傳動(dòng)誤差曲線,如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的系統(tǒng)傳動(dòng)誤差曲線

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

圖6中,齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的絕對(duì)值最大為|Δθmax|=0.83′=49.8″,且傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的最集中值為|Δθ集中|=0.42′=25.2″。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)誤差建模分析和精度分配的問(wèn)題,首先,筆者在概率統(tǒng)計(jì)法的基礎(chǔ)上建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的數(shù)學(xué)計(jì)算模型;其次,在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)(成本、均衡及魯棒性)優(yōu)化;同時(shí),結(jié)合傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù),得到了更具有工程意義的適度性函數(shù),建立起了一套精度分配方案;最后,將精度優(yōu)化分配方案融入到傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差計(jì)算數(shù)學(xué)模型中,得到了一套更具魯棒性和經(jīng)濟(jì)性的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案,并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其正確性。

研究結(jié)果表明:

(1)新傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案,使傳動(dòng)誤差的計(jì)算不僅能得到傳統(tǒng)極值法所能得到的極值,還能得到其分布規(guī)律和均值;同時(shí)提高了傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的魯棒性、經(jīng)濟(jì)性及工程實(shí)用性;

(2)在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下,轉(zhuǎn)臺(tái)傳動(dòng)系統(tǒng)使齒輪1、2及6精度等級(jí)由5級(jí)降到6級(jí),齒輪4則由5級(jí)降到7級(jí),降低了對(duì)單個(gè)齒輪的精度要求;同時(shí)又免去了對(duì)精度分配的人工復(fù)核和調(diào)整,使齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)周期總體上縮短7%,最終使單個(gè)轉(zhuǎn)臺(tái)的成本下降180元,提高了新型轉(zhuǎn)臺(tái)的經(jīng)濟(jì)性。

在后期的研究中,筆者準(zhǔn)備從增加精度分配目標(biāo)數(shù)的角度出發(fā),增加目標(biāo)函數(shù)的種類,以期對(duì)精度分配方案進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。