李樂賽 周建斌 洪 旭 馬英杰 劉 易

（成都理工大學核技術與自動化工程學院 成都610059）

常見核領域電路的公式推導大都采用拉普拉氏變換［1］，缺點是既不夠普遍，不適用于所有的電路，且推導過程復雜。本文采用數(shù)值解的方法來推導核領域中常見的C-R、R-C、S-K濾波電路，但并未采用遞歸的方法，遞推法需設定恰當?shù)妮敵鲭妷撼踔?，才能得到理想的遞歸值［2-7］。實測條件下初值未知，不恰當?shù)某踔翟O定可能導致錯誤。而迭代法初值為假設值，對結果無影響。本文采用數(shù)值解中的迭代法推導電路的輸出信號，得到的輸出電壓值精度可調(diào)［8-9］。迭代法與遞歸法得到的結果基本一致，誤差精度上高于10-11，且迭代解與解析解的誤差由數(shù)據(jù)采樣率決定，故通過提高數(shù)據(jù)采樣率能降低差值，誤差可控［2］。

1 Jacobi迭代法

Jacobi迭代法的計算過程中系數(shù)矩陣A始終不變，容易并行計算。對于線性方程組：

式中：A為非奇異矩陣；x為解向量；b為常數(shù)向量。

解Ax=b的Jacobi迭代法的分量形式為［8］：

i=1，2，…，n；k=0，1，…迭代次數(shù)

2 R-C、C-R成形模型迭代法

2.1 R-C積分電路

R-C積分電路是核電子學電路中常用的濾波電路，圖1（a）為R-C積分電路，輸入信號為Vin、輸出信號為Vout?；诨鶢柣舴螂娏鞫桑↘irchhoff's Current Law，KCL）該電路可以等效成式（3）。

電容屬于抗性器件，涉及到瞬態(tài)分析，可通過隱式歐拉法將微分化為差分。令極短時間Δt，則：

Vn和Vn-1分別代表nΔt和（n-1）Δt時刻電容兩端電壓值，式（4）化成：

式（5）可化為：

式中：Req=Δt/C，Ieq=C·(Vn-1)/Δt，即將電容看作一個電阻并聯(lián)上電流源，等效模型如圖1（b）所示［10］。

圖1 R-C積分電路(a)與等效電路(b)Fig.1 R-C integral circuit(a)and its equivalent circuit(b)

整理得：

已知采樣步長時間Δt，假設初始電壓Vout（0），設置迭代精度e，通過某時刻輸入信號Vin（n）能迭代出滿足精度要求的輸出電壓Vout（n）。

2.2 R-C積分電路仿真

用Jacobi迭代法對式（7）仿真。用標準負指數(shù)衰減信號模擬核信號，表達式為y=2 000e（200-t）/50（t≥200）和y=0（0

圖2 R-C仿真波形Fig.2 Simulation waveform of R-C circuit

由數(shù)值解公式Y（n+1）=［K·Y（n）+X（n+1）］/（1+K）可知［1］，K=（R·C）/Δt，輸出信號波形隨常數(shù)K值而改變，圖2說明迭代法得到的輸出信號同樣符合此規(guī)律。表1對數(shù)值遞歸解和迭代解進行誤差比較，結果幾乎一致，誤差量級在-13次方，說明迭代法的解誤差較小。Vout（0）為假設值不影響迭代結果。采樣步長時間Δt=50 ns、K=100、輸入幅值為2 000 mV的階躍信號。采用遞歸法，令初始輸出電壓Vout（0）為0時，得到的輸出信號如圖3（a）所示；令Vout（0）為2 000時，效果如圖3（b）所示，輸出信號錯誤地與輸入信號相重合。而采用迭代法，初值Vout（0）為0、2 000時，得到的輸出信號如圖3（c）、（d）所示，皆可得到恰當波形。

圖3 初值對遞歸法和迭代法的影響對比Fig.3 Comparison of the effects of initial values on recursion and iteration

表1 遞歸解和迭代解差值Table 1 Difference between the recursive solution and the iterative solution

可見，數(shù)值遞推法在輸出電壓Vout（0）取值不恰當時，無法得到正確的輸出信號，因此該方法不利于實測信號的處理，而迭代法不受初值Vout（0）影響，能夠有效地解決這一不足。

2.3 C-R微分電路

C-R微分成形電路是核信號處理中的常用電路。圖4（a）是一個C-R微分成形電路，電容同理等效轉換為圖4（b）模型［10］。圖4（b）所示電路同§3.1的分析方法通過節(jié)點電壓法可以得出等式（8）。

圖4 C-R微分電路(a)與等效電路(b)Fig.4 C-R differential circuit(a)and its equivalent circuit(b)

根據(jù)式（8）可以迭代出任意時刻的輸出電壓值。當輸入信號為階躍信號時，dVin/dt為0，易推導C-R微分電路解析式（9）。

說明輸入為階躍信號得到的C-R電路輸出信號是一個負指數(shù)衰減信號，常數(shù)K是Vin的初值，RC是輸出信號的成形時間常數(shù)。在K=0.01，對式（9）理論值和數(shù)值迭代解作誤差分析。

表2列出了在采樣步長時間Δt=50 ns下，迭代解和解析解間的誤差小于0.1%，且迭代解具數(shù)值解特性，都隨采樣步長時間Δt精度的提高而改善。在Δt=5 ns時，即K=0.001，誤差下降到0.001%左右，可驗證迭代法的可行性。

表2 迭代解和解析解相對誤差分析Table 2 Relative error analysis of iterative solution and analytic solution

圖5顯示了用迭代法模擬連續(xù)的階躍信號成形，階躍信號是半導體探測器的前置放大器常見的輸出信號。由于信號發(fā)生幅值不為定值，無法給定恰當初值，故遞推法不適用，宜采用迭代法。

圖5 迭代法(a)和遞歸法(b)對連續(xù)階躍信號的成形對比Fig.5 Continuous step signal forming contrast of iteration(a)and recursion(b)

3 高斯成形模型迭代法

3.1 Sallen-Key濾波

S-K濾波器是常見有源濾波器電路。S-K濾波器有兩個典型的電路，即高通和低通濾波器。對于正反饋控制，它具有很大的品質(zhì)因數(shù)［11］。采用S-K濾波器對核信號進行成形，可以用較少的階數(shù)獲得高斯波形。低通S-K濾波器的原理圖如圖6（a）所示。同理，S-K電路等效模型如圖6（b）。

圖6 S-K低通濾波器電路(a)與等效電路(b)Fig.6 S-K low pass filter circuit(a)and its equivalent circuit(b)

3.2 高斯成形模型迭代法

通過節(jié)點電壓法對圖6（b）所示電路分析，選取三個節(jié)點根據(jù)KCL建立等式，在這里涉及到放大器的“虛短”和“虛斷”性質(zhì)，正負相電壓相等，且無電流流入或流出正負相［1］。從而建立等式：

又因：

得到導納矩陣：

電壓向量：

電流向量：

基于上述矩陣，利用基本迭代法可得輸出電壓Vout。Δt=50 ns、K=70時，得到波形如圖7所示。

圖7 S-K低通核信號成形Fig.7 S-K circuit core signal forming

在迭代法中，需要給定精度閥值，當輸出值達到該精度時則達到迭代終點，此時輸出值即滿足精度條件的迭代解。輸入信號參數(shù)同上，只改變精度值e=10-12、10-9和10-6，如表3所示，輸出值和迭代次數(shù)有所不同。迭代法精度可根據(jù)需要而調(diào)節(jié)，某些場合下精度要求低，可將精度閥值調(diào)低，則迭代次數(shù)會隨著精度的下降而下降，更迅速地計算出結果；對S-K電路采用Jacobi迭代法，精度可達到10-12，采用Seidel、超松弛法、共軛梯度法甚至能達到更高的精度［8］。

表3 精度對迭代結果的影響Table 3 The influence of precision on iteration results

4 結語

本文采用迭代法研究核領域數(shù)字模型，有效解決時域遞推法存在的初值問題。以R-C積分電路為例，輸出電壓初值設置不恰當時，采用遞推法會得到不合理的輸出電壓波形，但迭代法可得到合理的波形。通過R-C積分電路、S-K低通濾波電路誤差分析，得出在數(shù)值分析中利用迭代法來替代遞歸法是可行的，設置高精度閥值得到的迭代解幾乎等同于遞歸解。C-R微分電路誤差分析說明誤差值隨數(shù)據(jù)采樣率的提高而降低，表明采用迭代法研究數(shù)字電路是可行的。