馬寶星

(江蘇省沙溪高級中學(xué) 215400)

高中函數(shù)恒(能)成立問題是高考的熱點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點，貫穿高中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如何在高三二輪復(fù)習(xí)中突破難點，提升能力，是每個老師都積極努力的目標(biāo).但是高中數(shù)學(xué)學(xué)科因其特殊性，很多高三數(shù)學(xué)課堂存在一定的困難，包括教師層面重復(fù)講解，學(xué)生方面重復(fù)訓(xùn)練，最后師生深陷題海，并沒有實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)這個目標(biāo).整體的效率低下，教師和學(xué)生都苦不堪言.可見習(xí)題教學(xué)在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)設(shè)計，在實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)上往往能起到事半功倍的作用.筆者以一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)課為例闡述如下：

一、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計重視辨析概念的內(nèi)涵和外延，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

問題一：什么是恒(能)成立問題？

設(shè)計意圖：章建躍老師曾說：數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)是幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識理解到位，并能用于解決實際的問題.我們要講清楚一類問題，就必須要引導(dǎo)學(xué)生弄清其本質(zhì)，才可以做到更好的去應(yīng)用.恒成立問題，是高中數(shù)學(xué)中的全稱命題，通常含有“所有的”“任意一個”等全稱量詞，符號語言可記為?x∈M,P(x).能成立問題，是高中數(shù)學(xué)中的存在命題，通常含有“存在一個”“至少有一個”等存在量詞，符號語言可記為?x∈M,P(x).并且全稱命題?x∈M,P(x)的否定為：?x∈M,P(x)，存在命題?x∈M,P(x)的否定為：?x∈M,P(x)，這里我們可以看出兩類問題是可以相互轉(zhuǎn)化的，類比恒(能)成立問題，其實高中數(shù)學(xué)中很多核心概念如單調(diào)性、奇偶性、周期性等都含有“任意”字眼，具有相似的處理策略.筆者認(rèn)為，盡管二輪復(fù)習(xí)時間緊任務(wù)重，但我們不能就題論題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會常用邏輯用語在數(shù)學(xué)問題中的作用，才能提升數(shù)學(xué)的問題解決.

二、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計重視問題情景的開放性，提高探索能力

例題精講已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=x2,a∈R.若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍．

問題二：如何求a的取值范圍？

問題三：你們還有沒有其他做法？大家思考3分鐘.

生3：令F(x)=lnx-ax-x2≤0對?x∈(0,+∞)恒成立，所以F(1)=-a-1≤0,得a≥-1，所以F(x)=lnx-ax-x2≤lnx+x-x2，易證lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”，故F(x)≤x-1+x-x2=-(x-1)2≤0，所以a≥-1成立.(教室里出現(xiàn)了掌聲)

問題四：如果本題是填空題，如何求a的取值范圍？

生4：由題知，ax≥lnx-x2，y=ax與y=lnx-x2皆好作圖，如下圖易得a的取值范圍.

圖1

點評生1選擇了參變分離法，由于分離變量后h(x)的最值好求，故大部分同學(xué)皆選此法；生2選擇利用函數(shù)的性質(zhì)，通過求導(dǎo)，求G(x)=lnx-ax-x2的最值，只要G(x)max≤0，這個過程中導(dǎo)數(shù)的零點存在，直接求出比較繁瑣，他采用了“隱零點”的處理方法，求出x0的取值范圍，根據(jù)x0與a的等量關(guān)系求出a的取值范圍；生3抓住了F(x)=lnx-ax-x2≤0對?x∈(0,+∞)恒成立這一本質(zhì)，它一定對x=1時恒成立，故F(1)≤0，求出a的取值范圍，這一必要條件開路的技巧，體現(xiàn)了由一般到特殊的性質(zhì)，數(shù)學(xué)問題解決的特殊化可使學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得以提升；生4是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像的位置關(guān)系問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.筆者認(rèn)為，在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，我們可以設(shè)計開放性問題，大膽放手讓學(xué)生解決，激勵學(xué)生更好地參與問題，提出不同見解，在多種方法甚至犯錯中加深問題理解，優(yōu)化解題方法，提高復(fù)習(xí)效率.

三、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計重視學(xué)生的自主總結(jié)，形成知識體系

回顧高考(2020山東)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

本題的解題方法有多種，其中有的同學(xué)說還可以構(gòu)造同構(gòu)處理：f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

在(0,1)上h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，

∴h(x)max=h(1)=0,lna≥0，即a≥1，∴a的取值范圍是[1,+∞).

問題五：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了恒(能)成立問題的哪些解決方法？

設(shè)計意圖：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力.一節(jié)高三復(fù)習(xí)課，作為教師，到底要教會學(xué)生什么，通過知識載體能夠提升學(xué)生哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們每一節(jié)課前需要仔細(xì)思考的問題.筆者認(rèn)為，讓學(xué)生“動起來”，“動”“靜”結(jié)合，有條不紊，才可以不斷提高學(xué)生的實踐能力.本節(jié)課留足時間讓學(xué)生自主總結(jié)，可以采用點名提問、小組討論、師生生生互動點評等方式，增強(qiáng)學(xué)生的自主性.引導(dǎo)學(xué)生在實踐解決問題中，能夠自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖如下.在同伴、老師不斷提醒中，回顧舊知識，喚起新知識，在同伴老師的贊賞中增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，夯實自己的薄弱，強(qiáng)化各自的學(xué)習(xí)能力，才可以在以后再碰到類似問題，無間斷的遷移到本節(jié)課所學(xué)知識方法，用好用活恒(能)成立問題的解決策略.

圖2

本節(jié)課從一個典型例題出發(fā)，通過一般化的概念理解，特殊化、類比、聯(lián)想等思維活動提出新的數(shù)學(xué)問題和變式，師生探究，學(xué)生總結(jié)形成解決問題的一般策略，注重數(shù)學(xué)思想、邏輯連貫、系統(tǒng)總結(jié)，用“數(shù)學(xué)的方式”教數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué).通過“創(chuàng)造性”的教學(xué)設(shè)計，強(qiáng)化“四基”，提高“四能”，超越數(shù)學(xué)知識而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.