麥宏元

【關(guān)鍵詞】眾籌筑屋;加權(quán)平均;層次分析;整數(shù)規(guī)劃

【中圖分類號(hào)】TP301 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2021）07-0032-05

1 問(wèn)題背景

在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)的花樣不斷翻新，其中眾籌筑屋就是眾多方式中別具一格的新型模式。眾籌筑屋規(guī)劃最優(yōu)化模型方案設(shè)計(jì)，可以使購(gòu)房者獲得更多的購(gòu)房規(guī)劃優(yōu)惠，因此受到購(gòu)房者的青睞。在此背景下，2015年在我國(guó)舉辦的大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽高職高專組D題《“眾籌筑屋規(guī)劃”最優(yōu)化模型方案的設(shè)計(jì)》應(yīng)運(yùn)而生。

2 問(wèn)題再現(xiàn)

在建房規(guī)劃和房地產(chǎn)規(guī)劃方案設(shè)計(jì)中，除了需要重點(diǎn)考慮房屋的開(kāi)發(fā)成本和預(yù)期收益，還要充分考慮稅率、容積率等因素的影響。根據(jù)國(guó)家已經(jīng)出臺(tái)的相關(guān)文件和政策，在具體的核算上，不同房型的開(kāi)發(fā)費(fèi)用、開(kāi)發(fā)成本、容積率等都是有區(qū)別的（具體核算方式和方法詳見(jiàn)2015年的數(shù)模競(jìng)賽D題中的附件2和附件3）。

在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，眾籌筑屋不失為一種最新型的房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)新模式。某眾籌筑屋項(xiàng)目，占地總面積達(dá)102 077.6 m2（參見(jiàn)2015年數(shù)模競(jìng)賽D題中的附件1），該眾籌筑屋項(xiàng)目規(guī)定：凡參籌者每1戶人家只能認(rèn)購(gòu)1套住房，現(xiàn)在已知購(gòu)房者有超過(guò)1萬(wàn)戶登記參籌。請(qǐng)根據(jù)具體要求和相關(guān)政策（參見(jiàn)競(jìng)賽D題的附件），建立數(shù)學(xué)模型，并解決以下3個(gè)問(wèn)題。

（1）建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，對(duì)該眾籌筑屋所在項(xiàng)目方案Ⅰ（即原方案）的容積率和增值稅、成本與收益等進(jìn)行全面的核算。

（2）為了最大限度地滿足每一個(gè)參籌者的購(gòu)買意愿，現(xiàn)需要對(duì)每一個(gè)參籌者開(kāi)展和實(shí)施抽樣調(diào)查，獲得參籌者對(duì)“眾籌筑屋”項(xiàng)目中11種房型的最真實(shí)購(gòu)買意愿的具體數(shù)據(jù)和比例。請(qǐng)重新給出該眾籌筑屋項(xiàng)目的最優(yōu)建設(shè)方案（即方案Ⅱ），并對(duì)新的方案Ⅱ開(kāi)展全面的核算。

（3）一般來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)眾籌筑屋項(xiàng)目投資回報(bào)率達(dá)到或超過(guò)25%時(shí)，才會(huì)被采納和實(shí)施。請(qǐng)問(wèn)上述眾籌筑屋最新方案Ⅱ能否被采納和實(shí)施？若不能被采納和實(shí)施，又應(yīng)如何調(diào)整該眾籌筑屋方案，使之能被采納和實(shí)施？若能，請(qǐng)說(shuō)出具體理由。

3 問(wèn)題分析

通過(guò)對(duì)整個(gè)問(wèn)題的分析和研究發(fā)現(xiàn)，3個(gè)問(wèn)題之間其實(shí)存在密切的聯(lián)系：?jiǎn)栴}一是整個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ);問(wèn)題二是在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上加以設(shè)計(jì)和修改，再以問(wèn)題一的求解方式進(jìn)行求解;問(wèn)題三則需要對(duì)問(wèn)題二的結(jié)果進(jìn)行判斷和分析，最終才能得到所需的結(jié)果。

問(wèn)題一：要求我們對(duì)方案Ⅰ進(jìn)行全面的核算。解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確核算增值額、房地產(chǎn)收入金額和扣除項(xiàng)目金額。根據(jù)國(guó)家已經(jīng)出臺(tái)的相關(guān)文件和政策，在具體的核算上，不同房型的開(kāi)發(fā)費(fèi)用、開(kāi)發(fā)成本、容積率等都是有區(qū)別的，因此要解決這個(gè)問(wèn)題，我們先對(duì)我國(guó)土地增值稅暫行條例 [1]進(jìn)行分析，了解土地增值稅稅額與增值額、相應(yīng)稅率之間的關(guān)系;增值額與扣除項(xiàng)目金額、納稅人轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)所取得的收入之間的關(guān)系;而扣除項(xiàng)目金額又包含房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)費(fèi)用、房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)成本、與轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)有關(guān)稅金、取得土地使用權(quán)所支付的金額及其他扣除項(xiàng)目。房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)費(fèi)用雖能提供憑證，但是財(cái)務(wù)費(fèi)用中的利息支出不能分?jǐn)偟矫恳粋€(gè)具體的房地產(chǎn)項(xiàng)目，因此房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)費(fèi)用按房地產(chǎn)公司在取得土地使用權(quán)后，按土地實(shí)際使用面積所應(yīng)支付的金額和對(duì)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)所支出的成本金額之和的10%計(jì)算;當(dāng)住宅類型是“其他”時(shí)，先對(duì)普通宅和非普通宅的總建筑面積求和，再分別求出普通宅、非普通宅與總建筑面積之比，再對(duì)各“其他”類型的房型按照此面積比分?jǐn)偤笤儆?jì)算;最后通過(guò)求解各個(gè)量之間的關(guān)系，遵循各種政策便可以得出方案Ⅰ全面的核算。

問(wèn)題二：為了最大限度地滿足每一個(gè)參籌者的購(gòu)買意愿，需要對(duì)每一個(gè)參籌者開(kāi)展和實(shí)施抽樣調(diào)查，并重新設(shè)計(jì)筑屋方案（即方案Ⅱ），并且對(duì)方案Ⅱ進(jìn)行重新核算。根據(jù)參籌者對(duì)各種房型的滿意比例，我們可以結(jié)合方案Ⅰ的數(shù)據(jù)重新設(shè)計(jì)方案Ⅱ。在筑屋規(guī)劃和設(shè)計(jì)中，還需要考慮開(kāi)發(fā)成本、預(yù)期收益、容積率、稅率等因素;在規(guī)劃方案的過(guò)程中，既要盡量使參籌者的購(gòu)買意愿最大，又要使成本效益率最高，我們可以對(duì)這兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)處理，以此建立多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型。用Lingo軟件求解得到方案Ⅱ，再結(jié)合問(wèn)題一的求解方法，進(jìn)而得到方案Ⅱ的核算結(jié)果。

問(wèn)題三：本問(wèn)題其實(shí)是問(wèn)題二的延伸，我們可以對(duì)問(wèn)題二的方案進(jìn)行分析，首先求解出方案Ⅱ的投資回報(bào)率，然后依據(jù)該投資回報(bào)率判斷是否達(dá)到或超過(guò)25%。若能達(dá)到或超過(guò)，則被采納和實(shí)施;若不能達(dá)到，則需對(duì)方案Ⅱ進(jìn)行調(diào)整。方案能否采納和實(shí)施與投資回報(bào)率、成本效益率、滿意度有著密切的關(guān)系，投資回報(bào)率、成本效益率、滿意度又相互關(guān)聯(lián)、相互制約，因此我們可以采用層次分析法建立模型，然后借用Matlab數(shù)學(xué)軟件求得能采用或成功執(zhí)行方案的各類房型的權(quán)重，再運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃的方法求出能采納和實(shí)施的方案。

4 符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1。

5 模型假設(shè)

（1）假設(shè)扣除的項(xiàng)目金額都可以提供合法有效的憑證。

（2）假設(shè)沒(méi)有因國(guó)家建設(shè)而依法收回、征用房地產(chǎn)。

（3）假設(shè)每套住房都有人購(gòu)買。

（4）假設(shè)房地產(chǎn)產(chǎn)權(quán)全部發(fā)生轉(zhuǎn)移，不存在自用或出租等商業(yè)用途。

（5）假設(shè)沒(méi)有通過(guò)贈(zèng)予、繼承等無(wú)償方式轉(zhuǎn)讓的房地產(chǎn)。

6 模型建立與求解

問(wèn)題一：要解決的問(wèn)題是對(duì)方案Ⅰ進(jìn)行全面的核算。我們可運(yùn)用四則運(yùn)算及比例分配的方法建立一個(gè)初等模型。根據(jù)我國(guó)土地增值稅暫行條例，得知每種房型增值額gi=hi-Ri 。每種房型轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)取得的收入hi=aibidi。每種房型土地增值稅的扣除項(xiàng)目金額Ri=s1i+s2i+s3i+s4i+s5i。每種房型土地使用權(quán)所支付的金額s1i=777 179 627■。每種房型房地開(kāi)發(fā)成本s2i=aibici。每種房型房地開(kāi)發(fā)費(fèi)用s3i=0.1（s1i+s2i）。每種房型與轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)有關(guān)稅金s4i=0.0 565hi。每種房型其他扣除項(xiàng)目s5i=0.2（s1i+s2i）。轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)取得的總收入h=■hi 。

根據(jù)上述公式，在Excel軟件中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到各種房型的增值額與扣除項(xiàng)目金額（見(jiàn)表2）。

提取普通標(biāo)準(zhǔn)住宅的信息（見(jiàn)表3），判斷這些普通標(biāo)準(zhǔn)住宅能否免收土地增值稅（判斷標(biāo)準(zhǔn)為增值額和扣除項(xiàng)目金額之比是否超過(guò)0.2，若超過(guò)0.2，不能免收土地增值稅，反之，則能免收土地增值稅）。

由表2數(shù)據(jù)可知，房型1、房型3的增值額和扣除項(xiàng)目金額之比大于0.2，因此這兩種房型不能免收土地增值稅;而房型2、房型9（普通）、房型10（普通）的增值額和扣除項(xiàng)目金額之比小于0.2，因此這兩種房型可以免收土地增值稅。

由我國(guó)土地增值稅暫行條例可以得到我國(guó)土地增值稅四級(jí)超率累進(jìn)稅率表（見(jiàn)表4）。

根據(jù)表1結(jié)果并結(jié)合我國(guó)土地增值稅實(shí)行四級(jí)超率累進(jìn)稅率（見(jiàn)表3），在Excel軟件中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出各種房型的土地增值稅額（見(jiàn)表5）。

我們?cè)O(shè)方案Ⅰ的總成本為P、容積率為Q、增值稅為V、收益為W，可以列出公式（1）：

其中，ai為各房型的房型面積、bi為各房型的建房套數(shù)、ci各房型的開(kāi)發(fā)成本、di為各房型的售價(jià)。

根據(jù)表4的數(shù)據(jù)及上述公式，計(jì)算得出方案Ⅰ的總成本為2 673 996 425元、容積率為2.275 23元、總增值稅為229 429 247元、總收益為159 854 648元。

問(wèn)題二：要解決的問(wèn)題是重新設(shè)計(jì)筑屋方案（即方案Ⅱ），并對(duì)方案Ⅱ進(jìn)行核算。要解決這個(gè)問(wèn)題，既要考慮最大可能地滿足參籌者的滿意比例，又要考慮成本效益率（盈利與成本的比值）最高，因此此問(wèn)題屬于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。我們先使用加權(quán)平均法，建立多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，然后利用Lingo軟件求解得到各種房型的建房套數(shù);再根據(jù)問(wèn)題一建立的初等模型，用四則運(yùn)算及比例分配的方法，便可對(duì)方案Ⅱ進(jìn)行全面核算。

考慮成本效益率，為了方便建立模型，在方案Ⅰ中對(duì)各種房型的收入與建房套數(shù)取比值，再算出加權(quán)平均值，即為方案Ⅱ中各種房型的每套盈利額;利用Excel軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到結(jié)果見(jiàn)表6。

同理，求出各房型單位成本，用Excel軟件進(jìn)行處理，結(jié)果見(jiàn)表7。

考慮滿意度和成本效益率這兩個(gè)目標(biāo)的重要程度，確定滿意度和成本效益率大致為三七開(kāi)，這時(shí)可以將目標(biāo)函數(shù)Z和N分別乘以0.3和0.7，組成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)Y，因此可以建立整數(shù)規(guī)劃的優(yōu)化模型：

通過(guò)Lingo[2]求解，得到方案Ⅱ的結(jié)果見(jiàn)表8。

根據(jù)問(wèn)題一建立的模型，利用Excel軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，得出方案Ⅱ的總成本為2 642 371 505元、容積率為2.279 941 927、總增值稅為144 870 143.6元、總收益為202 220 741元。

問(wèn)題三：投資回報(bào)率為總售出價(jià)和總成本之差與總成本之間的比值，我們通過(guò)Excel軟件對(duì)問(wèn)題二中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到方案Ⅱ的投資回報(bào)率為20%（<25%），因此該方案不能被采納和實(shí)施。要想方案能夠被采納和實(shí)施，需要滿足投資回報(bào)率等于或超過(guò)25%，即成本效益率高、參籌者滿意度高，因此我們可以通過(guò)建立層次分析模型解決這個(gè)問(wèn)題。我們先列出層次結(jié)構(gòu)模型（如圖1所示）。

滿意度、成本效益率、投資回報(bào)率權(quán)重評(píng)估：通過(guò)比較矩陣和權(quán)向量方法對(duì)投資回報(bào)率進(jìn)行比較和權(quán)重，得到更貼近投資回報(bào)率為25%。通過(guò)對(duì)滿意度、成本效益率、投資回報(bào)率數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到滿意度、成本效益率、投資回報(bào)率的賦值比（見(jiàn)表9）。

根據(jù)賦值比得到滿意度矩陣A1、成本效益率矩陣A2、投資回報(bào)率矩陣A3：

利用Matnab[4]軟件求解得最大特征根λ1=10.91、λ2=11、λ3=10.14 5，一致性指標(biāo)如下：

隨機(jī)一致性指標(biāo)均為RI=1.51（查表），一致性比率如下：

A1、A2、A3的不一致程度都落在容許的范圍內(nèi)，因此可用它們各自的特征向量當(dāng)作各自相應(yīng)的權(quán)向量，都通過(guò)了一致性檢驗(yàn)。

相應(yīng)得出每種房型滿意度、成本效益率、投資回報(bào)率權(quán)重（見(jiàn)表10）。

γi=ω1i+ω2i+ω3i，定義γi為能使方案Ⅱ被采納和實(shí)施的權(quán)重，因此我們可以以此用整數(shù)規(guī)劃的方法建立出能夠被采納和實(shí)施的方案模型。

經(jīng)過(guò)對(duì)方案Ⅱ的調(diào)整，將新方案定義為方案Ⅲ，得出方案Ⅲ的結(jié)果（見(jiàn)表11）。

根據(jù)問(wèn)題一建立的模型，利用Excel軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，得到方案Ⅲ的總成本為2 802 659 856元、容積率為2.279 785 183、總增值稅為326 924 965.2元、總收益為241 533 130.7元。得到投資回報(bào)率為27%（>25%），因此可以被采納和實(shí)施。

7 模型評(píng)價(jià)與推廣

問(wèn)題一利用Excel軟件對(duì)方案進(jìn)行核算，方便快捷，準(zhǔn)確度高，通用性強(qiáng)。問(wèn)題二用加權(quán)平均法簡(jiǎn)化模型，使得模型易于實(shí)現(xiàn)，方便求解，可靠性強(qiáng)。問(wèn)題三用層次分析法及整數(shù)規(guī)劃法得到能夠執(zhí)行的方案。該方法可靠性高，通用性強(qiáng)，但加權(quán)處理時(shí)存在主觀人為因素，可能與最佳方案有一定偏差，因此模型還可以做進(jìn)一步的改進(jìn)。

這類模型解決了眾籌筑屋規(guī)劃的設(shè)計(jì)問(wèn)題，具有一定的推廣性，適用于解決一些財(cái)務(wù)統(tǒng)計(jì)、基礎(chǔ)項(xiàng)目建設(shè)信息統(tǒng)計(jì)等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]國(guó)務(wù)院.《中華人民共和國(guó)土地增值稅暫行條例》（國(guó)務(wù)院令第138號(hào)）[Z].1993.

[2]謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].第3版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].第2版.北京，高等教育出版社，2003.