◎ 熊家燦

一、直觀是抽象的基礎(chǔ)

我們知道,直觀想象是發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ),也是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)。高水平的幾何直觀的養(yǎng)成,主要依賴于學(xué)生參與的幾何活動(dòng),包括觀察、操作(例如折紙、展開、折疊、切截、拼擺等)、判斷、推理等。此外教師培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的自覺意識(shí)不足,在題目講解過程中失去了很多寶貴的培養(yǎng)契機(jī),哪些類型題目的學(xué)習(xí)適合培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力? 如何利用解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力? 學(xué)生的接受能力如何? 用什么方式進(jìn)行幾何直觀?

幾何畫板無疑在幾何直觀教學(xué)中成了最出色的軟件之一,可以為教師提供便捷的平臺(tái),能夠動(dòng)態(tài)展示對(duì)象的位置關(guān)系,變化規(guī)律,也能快速額驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想,有利于促進(jìn)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題與提出問題,有利于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)問題幾何直觀化

1.再現(xiàn)問題.已知:如圖(1) △ABC是等邊三角形,∠AOC=∠AOB=60°求證:OA=OB+OC

2.知識(shí)解讀.在八年級(jí)學(xué)習(xí)完三角形的證明以及圖形的旋轉(zhuǎn)與平移后,關(guān)于三角形的運(yùn)動(dòng)問題隨處可見,這個(gè)問題,看似“不動(dòng)”,但要證明這三條線段的數(shù)量關(guān)系,必須要改變至少一條線段的位置,因此本題中體現(xiàn)了“動(dòng)”。同時(shí)題目條件中蘊(yùn)含了一個(gè)等邊三角形以及兩個(gè)60°角。如何去變換,顯得尤為重要。那么此時(shí)幾何直觀的核心素養(yǎng)在該類問題中就得以充分的體現(xiàn),因此選取該題培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)片段設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)制定

(1)探索并掌握成對(duì)出現(xiàn)的等邊三角形共頂點(diǎn)時(shí)所帶來的結(jié)論;(2)能夠總結(jié)出成對(duì)出現(xiàn)的等邊三角形共頂點(diǎn)時(shí),產(chǎn)生全等三角形及相等線段、相等夾角的本質(zhì)原因;(3)經(jīng)歷探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明的過程,豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展相應(yīng)的能力,并回顧起本章所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容;(4)通過問題的探究,能夠舉一反三,解決相關(guān)問題,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);(5)借助幾何畫板,通過幾何直觀,把復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)明、形象,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一環(huán)節(jié):成對(duì)出現(xiàn)的等邊三角形

先觀察圖形(2)特點(diǎn),讓學(xué)生總結(jié)出圖形具備的特點(diǎn),可能變化的情況,并連接AE,BD.

當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC與等邊三角形CDE共頂點(diǎn)C時(shí),總結(jié)出相 關(guān) 結(jié)論:(1) △ACE?△BCD;BD=AE;(3) ∠AFB=60°;

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生觀察圖形,在得出結(jié)論過程中,讓學(xué)生自主發(fā)揮,給予學(xué)生一定的發(fā)展空間,同時(shí)更能充分觀察圖形特點(diǎn),得出相關(guān)結(jié)論。

以先猜想后證明,再應(yīng)用的思路進(jìn)行。借助幾何畫板可以精準(zhǔn)作圖,幫助學(xué)生能夠正確猜想,同時(shí)要求學(xué)生精準(zhǔn)作圖。其次,通過幾何畫板可以幫助同學(xué)們感受圖形在變化過程中的不變關(guān)系,進(jìn)而探索出解決問題的思路。

第二環(huán)節(jié):問題解決。已知:如上圖(1) △ABC是等邊三角形,∠AOC=∠AOB=60°,求證:OA=OB+OC

證法一:構(gòu)造等邊三角形△BOD

將線段OA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,與線段OB相較于點(diǎn)D,因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以AB=AC,∠BAC為60°,因?yàn)椤鰾OD是等邊三角形,所以AD=AO,∠DAO為60°,因?yàn)椤螧AD=60°-∠DAP,∠CAO=60°-∠DAP,所以∠BAD=∠CAO,所以△BAD?△CAO,所以BD=OC,因?yàn)镺D=OA,所以O(shè)B=OD+DA=OA+OC.

證法二:構(gòu)造等邊三角形△COD

將線段OC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,與線段OB相較于點(diǎn)D,因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以CB=CA,∠ACB為60°,因?yàn)椤鰿OD是等邊三角形,所以CD=CO,∠DCO為60°,因?yàn)椤螧CD=60°-∠DCA,∠ACO=60°-∠DCA,所以∠BCD=∠ACO,所以△BDC?△ACO,所以BD=OA,因?yàn)镺C=OD,所以O(shè)B=OD+DB=OA+OC.

方法三:構(gòu)造等邊三角形△CDD

將線段OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段OD,連接CD,因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形所以CB=CA,∠ACB為60°,因?yàn)椤鰿OD是等邊三角形,所以CD=CO,∠OCD為 60°,因 為∠BCO=60°+∠ACO,∠ACD=60°+∠ACO,所以∠BCO=∠ACD,所以△BDO?△ACD,所以O(shè)B=AD,因?yàn)镺C=OD,所以O(shè)B=AD=OA+OD=OA+OC.

設(shè)計(jì)意圖:通過本題,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)以及先觀察、猜想再證明的幾何直觀能力。

四、抽象是直觀的升華

該問題的研究還可深入至兩個(gè)等腰直角三角形共頂點(diǎn)、兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)、兩個(gè)正方形共頂點(diǎn),同時(shí)兩個(gè)正方形共頂點(diǎn),若夾角為90°,那么該圖形還可用于證明勾股定理。充分體現(xiàn)一圖多變,一題多解,幾何圖形相互聯(lián)系的特點(diǎn)。直觀想象核心素養(yǎng),所為初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,能否有效提升,在一定程度上直接影響著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展。換句話說,其他核心素養(yǎng)在一定程度上受限于直觀想象。提升核心素養(yǎng),需要激發(fā)學(xué)生好奇心。合理利用信息技術(shù),為學(xué)生深度學(xué)習(xí)提供了可能,為學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)奠定了基礎(chǔ),為提高課堂效率提供了可能,為提升幾何直觀核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)。