金亞南 (江蘇省無錫旅游商貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 214000)

文[1]以標(biāo)準(zhǔn)方程的形式給出了由弦中點(diǎn)坐標(biāo)表示橢圓、雙曲線、拋物線相應(yīng)的弦的斜率的三個(gè)公式.本文對(duì)此推廣，給出一般二次方程表示的二次曲線的弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，并稱此為中點(diǎn)弦公式．這樣，文[1]中的三個(gè)公式就是一般中點(diǎn)弦公式的簡(jiǎn)單推論．同時(shí)，我們還運(yùn)用中點(diǎn)弦公式給出一般二次曲線共點(diǎn)弦族與平行弦族中點(diǎn)軌跡方程的一般形式．

1 一般二次曲線的中點(diǎn)弦公式

平面上，由關(guān)于x,y的二元二次方程表示的曲線C稱為二次曲線，簡(jiǎn)記為C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0．

以二次曲線C內(nèi)部一點(diǎn)M(x0,y0)為中點(diǎn)的弦稱為以M為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦．由于二次曲線C的中點(diǎn)弦P1P2由其相應(yīng)的中點(diǎn)M(x0,y0)完全確定，因此弦P1P2的斜率k由中點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0)可完全確定，從而k為關(guān)于x0,y0的函數(shù)k=k(x0,y0)．這個(gè)函數(shù)的具體表示由下述定理給出．

定理設(shè)二次曲線C：F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，并記F1(x,y)=2ax+by+d,F2(x,y)=bx+2cy+e．若曲線C的弦P1P2的中點(diǎn)為M(x0,y0)，弦線的斜率為k，則k與(x0,y0)滿足F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0 ①．

公式①揭示了二次曲線C中以M(x0,y0)為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦P1P2的斜率k與中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)之間的關(guān)系，本文稱公式①為二次曲線的中點(diǎn)弦公式．熟悉函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的讀者不難看出，此定理中所設(shè)函數(shù)F1(x,y),F2(x,y)分別為二次曲線F(x,y)關(guān)于x,y的偏導(dǎo)函數(shù)，即F1(x,y)=Fx(x,y),F2(x,y)=Fy(x,y)．但下面的證明完全不用導(dǎo)數(shù)，同時(shí)，即使對(duì)于未學(xué)導(dǎo)數(shù)的中學(xué)生來講，F(xiàn)1(x,y),F2(x,y)的形式簡(jiǎn)明而有規(guī)律，也是容易記住并掌握的．下面給出定理的證明．

由于P1(t1),P2(t2)為弦線與二次曲線C的交點(diǎn)，所以t1，t2滿足直線P1P2與二次曲線C的交點(diǎn)方程F(x0+tcosα,y0+tsinα)=0 ②，展開整理得(acos2α+bcosαsinα+csin2α)t2+(F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα)t+F(x0,y0)=0．由于t1和t2是關(guān)于t的一元二次方程的兩根，應(yīng)用韋達(dá)定理可得F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα=0 ③．由于k=tanα，由③式可得F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0，即公式①成立．

2 中點(diǎn)弦公式的推論與應(yīng)用

文[1]中的割線斜率公式即為公式①的簡(jiǎn)單推論：

公式④—⑥即文[1]中命題1—3分別給出的三個(gè)割線斜率公式，現(xiàn)在它們可以統(tǒng)一于公式①中．因此，中點(diǎn)弦公式①是將公式④—⑥推廣所得的一般二次曲線的割線的斜率公式．

這里以公式④的證明為例給出證明：

應(yīng)用中點(diǎn)弦公式可快速得到平行弦中點(diǎn)軌跡方程．

推論2設(shè)二次曲線C：F(x,y)=0的一族平行弦線的斜率為k，則這族平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為F1(x,y)+kF2(x,y)=0 ⑦．

證明設(shè)平行弦族中任一弦的中點(diǎn)為M(xn,yn)．根據(jù)公式①即得動(dòng)點(diǎn)M(xn,yn)滿足方程F1(xn,yn)+kF2(xn,yn)=0，此即為平行弦中點(diǎn)軌跡方程．改設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(xn,yn)的坐標(biāo)為M(x,y)，則此軌跡方程即為⑦式．

例1求下列二次曲線的斜率k=3的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．(注：本文中各軌跡方程均只要求軌跡所在曲線方程)：

(2)拋物線C2：y2=-5x；

(3)二次曲線C3：x2-xy+y2+2x-4y=0．

解(1)改寫橢圓C1方程為3x2+2y2-6=0，所以F1(x,y)=6x，F(xiàn)2(x,y)=4y．

(2)將拋物線C2方程改寫為y2+5x=0，所以F1(x,y)=5，F(xiàn)2(x,y)=2y．

(3)二次曲線C3：x2-xy+y2+2x-4y=0，所以F1(x,y)=2x-y+2，F(xiàn)2(x,y)=-x+2y-4．

解橢圓C：F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0，所以F1(x,y)=2b2x，F(xiàn)2(x,y)=2a2y．

此解法比文[2]所述的點(diǎn)差法更為簡(jiǎn)潔．

應(yīng)用中點(diǎn)弦公式還可求共點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程．

推論3設(shè)二次曲線C：F(x,y)=0的一族弦線通過定點(diǎn)P0(x0,y0)，則這族共點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程為F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0 ⑧．

改記共點(diǎn)弦動(dòng)中點(diǎn)坐標(biāo)M(xm,ym)為M(x,y)，即得M(x,y)的軌跡方程為F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0，此即共點(diǎn)于P0(x0,y0)的共點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程．

例3試證明過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的諸弦中點(diǎn)的軌跡為另一橢圓，且它與原橢圓有相同的離心率．

(1)過點(diǎn)A(2,1)的直線l交C于P1，P2兩點(diǎn)，求線段P1P2中點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)過點(diǎn)B(1,1)能否作直線m使m與雙曲線C交于Q1，Q2兩點(diǎn)且點(diǎn)B為Q1Q2的中點(diǎn)？若直線m存在，求其方程；若m不存在，說明理由．

解(1)所求軌跡為共點(diǎn)于A(2,1)的共點(diǎn)弦P1P2的中點(diǎn)軌跡．

(2)若所求直線m存在，則m是以B(1,1)為中點(diǎn)的弦Q1Q2所在直線．

綜上所述，應(yīng)用中點(diǎn)弦公式①可以比較簡(jiǎn)單地解決二次曲線與其弦的中點(diǎn)、斜率有關(guān)的幾何問題．