居 露 張?zhí)煲?武清鋒 尹志珺 張衛(wèi)東 翁雨燕

（蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

2020年蘇州中考卷出了這樣一題：

例1.小明采用“向漏斗口吹氣，觀察乒乓球狀態(tài)”的方法來探究流速對流體壓強(qiáng)的影響，題中給出了如圖1所示的4種實(shí)驗(yàn)方案，問以下哪個(gè)方案不合理？

圖1 漏斗吹球

“用漏斗吹乒乓球”因其觀賞性、趣味性常被作為“探究流速大小對流體壓強(qiáng)的影響”演示實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)在中學(xué)課堂中.然而一句“流體的流速越大，壓強(qiáng)越小”就足夠解釋這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象了嗎？顯然不是，有學(xué)者認(rèn)為物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)該避免這樣籠統(tǒng)的陳述.［1，2］楊振寧院士有言 “現(xiàn)象是物理學(xué)的根源”，但是物理根源的探索需要形象向抽象的提升，以及更高層次的認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)（思維）的激發(fā)和強(qiáng)化.［3］近幾年，高校教師發(fā)現(xiàn)新生對物理學(xué)習(xí)的興趣有所下降，許多新生思維模式以“以答案為導(dǎo)向”，所以要優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生思維的提升，對演示實(shí)驗(yàn)的教學(xué)應(yīng)有更高的要求.［4］

本文應(yīng)用伯努利原理定性和定量分析 “用漏斗吹乒乓球，乒乓球被拾起”的現(xiàn)象，借助Comsol軟件將風(fēng)速和壓強(qiáng)可視化探究“乒乓球被拾起”的物理模型解析解，以期提高該問題的學(xué)習(xí)深度.希望對演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供一些思路.

1 情境分析與模擬初探

1.1 情境分析

這是一個(gè)流體結(jié)合受力分析的問題.要體現(xiàn)流體貼壁繞流形成的壓力差必須能夠改變乒乓球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，才能實(shí)現(xiàn)流速與壓強(qiáng)問題的分析.顯然，選項(xiàng)（B）、（C）、（D）中所示案例如果沒有氣流，乒乓球都應(yīng)該落下，只有引入氣流才有可能導(dǎo)致乒乓球穩(wěn)定停留在所示位置上；而選項(xiàng)（A）中無論氣流導(dǎo)致的壓差存在與否，乒乓球都可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定停留.因此，選項(xiàng)（A）不能用來探究流速與流體壓強(qiáng)的關(guān)系.然而，小球能否被拾起，需要考慮風(fēng)速的大小、小球的質(zhì)量與體積、漏斗的尺寸、小球與漏斗口的距離遠(yuǎn)近等等.這些變量相互制約影響，考慮起來較為復(fù)雜，因此，我們必須在其中找到主要矛盾來簡化物理模型.

根據(jù)初中課本中的伯努利原理，很容易給出定性解釋.該原理通常是在穩(wěn)定、無粘性、不可壓縮、無旋流的流體假設(shè)下，由流線上流體的功能關(guān)系推導(dǎo)出來.基于上述假設(shè)，本文仿真模擬和實(shí)驗(yàn)探究提供的風(fēng)速均小于10 m／s，馬赫數(shù)小于0.3.［5］我們先通過理想模型下的虛擬仿真界面，可視化速度場的分布，幫助學(xué)生找到實(shí)驗(yàn)體系中的主要控制變量，簡化實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?

1.2 模擬初探

首先通過Comsol軟件進(jìn)行仿真模擬簡化實(shí)際問題，排除無關(guān)變量.仿真基于連續(xù)性方程和時(shí)間平均下的納維斯托克斯方程，使用的流體力學(xué)模型為湍流，v2-f（spf），網(wǎng)格采取極細(xì)化網(wǎng)格.可以得到如圖2所示的流速場的分布.小球拾起時(shí)，漏斗與小球形成的狹小空間內(nèi).

圖2 Comsol仿真模擬“漏斗與球”模型

圖2所示的是三維立體空間小球被穩(wěn)定抬起狀態(tài)下，氣流通過漏斗口流經(jīng)小球的速度分布.為更清楚地顯示小球懸浮的速度場，我們沿著漏斗中心軸，截取二維平面（圖3）顯示.

圖3 Comsol仿真模擬小球懸浮速度場圖

通過仿真模擬發(fā)現(xiàn)：小球在懸浮狀態(tài)下與漏斗壁存在一狹縫，該位置對應(yīng)高流速區(qū)，此處壓強(qiáng)小與外界壓強(qiáng)（大氣壓）形成壓差，產(chǎn)生抵抗重力的推力，如圖4，壓力為相對大氣壓的相對壓強(qiáng)，反轉(zhuǎn)弧長軌跡見圖3.該壓差的存在是小球有可能被吸住的主要原因.

圖4 Comsol仿真模擬小球沿弧壓力圖

對照圖3和圖4，學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)風(fēng)速最大處在乒乓球與漏斗內(nèi)壁相切的位置，此處對應(yīng)于壓強(qiáng)最小處.圖5為漏斗口進(jìn)風(fēng)流速與最小壓強(qiáng)的關(guān)系圖，擬合函數(shù)y=-0.37x2-1.63x+2.38，相關(guān)系數(shù)r=0.998.由圖5可以看出，壓強(qiáng)最小點(diǎn)的壓強(qiáng)與漏斗口的進(jìn)風(fēng)流速呈二次函數(shù)關(guān)系，顯然只有風(fēng)速大到一定臨界值，此處的壓強(qiáng)才能足夠小，導(dǎo)致“乒乓球被拾起”的實(shí)現(xiàn).

圖5 漏斗口進(jìn)風(fēng)流速與最小壓強(qiáng)的關(guān)系圖

通過虛擬仿真，學(xué)生可以直觀地明確風(fēng)速對壓強(qiáng)的影響，可見研究小球受到壓力差與風(fēng)速的關(guān)系是“乒乓球被拾起”的關(guān)鍵.

2 模型建構(gòu)與理論推導(dǎo)

在解決漏斗吹球這類實(shí)際問題時(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生很好地研究問題的物理過程，將其還原成簡化的物理模型.［6］

2.1 小球懸浮狀態(tài)下的物理模型

向漏斗吹氣，當(dāng)小球處于剛被拾起的臨界狀態(tài)時(shí)，它在漏斗中會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定，最終到達(dá)一個(gè)懸浮狀態(tài)（理想，平衡），以下討論均基于此基礎(chǔ).圖6為簡化模型：氣流從管口流下，一部分沖擊小球，一部分經(jīng)狹縫流出，不考慮沿程損耗；假設(shè)氣流在球頂?shù)臎_擊面積投影為漏斗口的截面積A，球與漏斗壁的狹縫近似看成一條狹長的帶狀區(qū)域Δl.利用連續(xù)性方程可確定狹縫Δl處的風(fēng)速v，伯努利方程可確定狹縫區(qū)域與外界大氣壓之間的壓差.

圖6 小球懸浮狀態(tài)下幾何模型圖

參量說明：v0為漏斗口的風(fēng)速，v為狹縫Δl處的風(fēng)速，r為小球半徑，A為漏斗口截面積，β為漏斗壁延長與中軸夾角，r0為球心到漏斗壁延長線與軸線交點(diǎn)的距離，m為小球質(zhì)量.

2.2 量綱分析

本實(shí)驗(yàn)屬于流體力學(xué)問題，涉及相關(guān)變量較多.因此，本文先從量綱（單位）的角度入手，列出各參量的量綱（表1）.

表1 量綱分析表

利用Π定理消去量綱

結(jié)合以上3個(gè)公式，得到小球表面壓力差（Δp）與風(fēng)速（v）的大致關(guān)系

由（4）式可以看出，小球受到的壓差為一與漏斗幾何參數(shù)、空氣粘度相關(guān)的函數(shù)乘以空氣密度和風(fēng)速的平方項(xiàng).事實(shí)上，在風(fēng)速較小的情況下，使用無粘性伯努利方程即可描述風(fēng)速與壓力的關(guān)系，可忽略空氣粘度造成的影響.（4）式可簡化為

2.3 理論推導(dǎo)

根據(jù)漏斗內(nèi)流量（Q）恒定，即風(fēng)速乘以垂直風(fēng)速截面積為一定值（連續(xù)性原理）：

其中ΔS為狹縫處面積

將（7）式代入（6）式，得到狹縫處風(fēng)速v

令狹縫處C點(diǎn)為狀態(tài)1，在出口處D為狀態(tài)2，對流經(jīng)小球流線上的流體列出伯努利方程

在此情境中，C與D的高度差、D點(diǎn)處速度相比C點(diǎn)處的速度項(xiàng)都很小，小球受到的壓差可簡化為

對懸浮狀態(tài)下的小球進(jìn)行受力分析（如圖7）.

圖7 小球懸浮狀態(tài)下受力分析圖

在近漏斗口處，因吹氣有一定風(fēng)速，對球有向下的沖擊力F2；在縫隙處，空氣流速相對較快，與外界大氣壓形成壓強(qiáng)差，形成托舉力F1；F1、F2分別寫作

由受力平衡（小球懸浮設(shè)為理想靜止）可得

對比（5）式和（12）式，相似的形式證明該理論推導(dǎo)在數(shù)學(xué)和物理上是自洽的.

由（12）理論公式，我們可以得到如下可以探究的兩個(gè)關(guān)系：① 小球懸浮時(shí)的質(zhì)量與漏斗口風(fēng)速平方成正比，即m∝v02.② 漸近分析：當(dāng)球心到漏斗口距離r0增大到一定程度時(shí)，小球受力F1與r0從二次反比關(guān)系退化到一次反比關(guān)系，即

3 實(shí)驗(yàn)探究

搭建實(shí)驗(yàn)裝置（圖8），將空壓機(jī)與一流量計(jì)相連，通過調(diào)節(jié)空壓機(jī)，改變流量計(jì)對應(yīng)示數(shù)，可對應(yīng)改變漏斗入口處的風(fēng)速，從而控制變量.

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)器材：不同尺寸的泡沫球若干、漏斗口截面積不同的漏斗若干、橡皮泥、空壓機(jī)、導(dǎo)管、橡膠管、流量計(jì)、電子秤等.實(shí)驗(yàn)中采用的空壓機(jī)公稱容積流量為40 L／min，流量計(jì)測量流量范圍為0～200 L／min.

3.1 小球受力與漏斗口風(fēng)速之間的關(guān)系

根據(jù)公式（12），有小球懸浮時(shí)的質(zhì)量與風(fēng)速平方成正比的關(guān)系，而風(fēng)速與漏斗口截面積的乘積為所測流量示數(shù)，漏斗口截面積不變，則小球懸浮時(shí)的質(zhì)量與流量的平方亦成正比：

控制其他變量不變，通過在小球底部粘貼橡皮泥改變小球質(zhì)量，打開空壓機(jī)使得小球“拾起”，減小風(fēng)速直至小球恰好達(dá)到懸浮狀態(tài)（即掉落前一秒的流量計(jì)示數(shù)）.記錄當(dāng)前質(zhì)量與流量，與理論公式進(jìn)行擬合（圖9）.

圖9 流量Q 2與小球質(zhì)量m數(shù)據(jù)擬合圖（懸?。?／k′=（1.548±0.074）×103，相關(guān)系數(shù)r=0.996

以上實(shí)驗(yàn)證明了在平衡條件下，小球受力（和重力相同）與漏斗口氣體流速的二次方成正比，下面推廣到一般情況：任何位置，小球受力的大小都與漏斗口氣體流速的平方成正比.

改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置（圖10），將小球通過一細(xì)桿與電子秤相連，在任意位置小球的受力（F1-F2=m′g）都可以通過電子秤的示數(shù)m示（m示＜0）得到

圖10 改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)前，先將小球放在電子秤上，然后將電子秤示數(shù)清零，即使則開空壓機(jī)后的小球受力可以直接反映為電子秤示數(shù).改變氣流的速度，得到流量平方與受力的關(guān)系，也就是對應(yīng)流速下恰好懸浮的小球質(zhì)量m′（圖11）.

圖11 流量Q 2與m′數(shù)據(jù)擬合圖（一般）1／k′=（1.631±0.031）×103，相關(guān)系數(shù)r=0.999

隨著漏斗口風(fēng)速增大，小球因?yàn)閴翰钏峁┑氖芰υ黾?，即對?yīng)流速下恰好懸浮的小球質(zhì)量m′增加，反映為電子秤示數(shù)m示減小.通過數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)：小球在任意位置受力都與漏斗口流速平方成正比.

3.2 小球位置與受力之間的關(guān)系

采用圖10所示的實(shí)驗(yàn)裝置還可以探究小球球心離漏斗口距離r0與小球受力（恰好懸浮小球質(zhì)量m′）的關(guān)系是否滿足理論猜想（11）式.

控制漏斗口流量不變，調(diào)整升降臺(tái)改變小球球心到漏斗口的距離，利用電子秤測量小球受力大小，得到數(shù)據(jù)并進(jìn)行函數(shù)擬合，如圖12所示.

圖12 m′與r 0-1數(shù)據(jù)擬合圖擬合函數(shù)為：m′=29.46r 0-4.41，相關(guān)系數(shù)r=0.996

可以發(fā)現(xiàn)，隨著小球球心到漏斗口的距離r0逐漸增大，則狹縫面積增大.根據(jù)連續(xù)性原理，狹縫處的流速減小產(chǎn)生較小的壓差，對應(yīng)小球受力減小即小球恰好懸浮的質(zhì)量m′變?。粌烧叱煞幢?，理論猜想（11）式得證.

3.3 小結(jié)

實(shí)驗(yàn)總結(jié)為如下兩點(diǎn)：① 在一般情況下，小球受到系統(tǒng)的力與漏斗口流速平方成正比；② 小球被拾起過程中，小球球心離漏斗口距離r0與小球受力呈反比例函數(shù)的關(guān)系（13）式.

4 總結(jié)思考

本文對初中物理伯努利原理演示實(shí)驗(yàn)“漏斗吹球”進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生通過幾何形狀和受力分析進(jìn)行該課題的深度學(xué)習(xí).

（1）通過Comsol仿真實(shí)驗(yàn)情景，結(jié)合伯努利原理，通過仿真模擬的可視化顯示，讓學(xué)生直觀的看到流速最大區(qū)和壓差產(chǎn)生的原因.

（2）通過建立理想物理模型和理論推導(dǎo)，推動(dòng)學(xué)生形象感知向抽象思維的提升，［6］構(gòu)建簡化的理論模型.

（3）通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，探究了小球不同位置處風(fēng)速與受力的關(guān)系，從而描述小球被拾起的動(dòng)態(tài)過程，其中實(shí)驗(yàn)裝置的搭建以及實(shí)驗(yàn)器材和方法的選擇有助于激發(fā)和強(qiáng)化學(xué)生的思維.比如：實(shí)驗(yàn)探究使用流量計(jì)測量漏斗口風(fēng)速，避免了直接使用壓強(qiáng)傳感器測量小球上下壓強(qiáng)時(shí)，探頭對小球周圍流速場的分布影響.［7］

（4）巧妙地將小球所受的力與恰好懸浮的小球質(zhì)量m′等效，讓學(xué)生初步了解變量替換的概念，實(shí)驗(yàn)所測物理量（流量和力）有利于伯努利原理的理解和運(yùn)用.

往常的“漏斗吹球”演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)，教師對它的要求只停留在有較好的觀賞性和趣味性，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候也就停留在“哈哈一笑”的淺層感知.我們不妨再深入一些，將“流速大，壓強(qiáng)小”這一籠統(tǒng)表述具體到其適應(yīng)條件，讓學(xué)生得以更好地理解伯努利原理，而不是一知半解；將“給漏斗吹氣”的速度定量，分析壓強(qiáng)差，受力判斷乒乓球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的“流速—壓強(qiáng)—受力”知識體系.再回看題目，相信學(xué)生會(huì)很快想到對選項(xiàng)中的4個(gè)方案受力分析判斷小球前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)選出正確的答案.

由此可見，對演示實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深度的教學(xué)，可以鍛煉學(xué)生的思維，加強(qiáng)學(xué)生對實(shí)驗(yàn)原理的理解，不僅有助于學(xué)生形成完整的知識脈絡(luò)，也有利于激發(fā)學(xué)生探索物理學(xué)的根源.