劉海平 申大山 趙鵬鵬

摘要： 在保持三參數(shù)隔振器高頻段良好的隔振效果基礎(chǔ)上，采用X形結(jié)構(gòu)引入幾何非線性可有效抑制其諧振頻段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。建立含X形結(jié)構(gòu)的非線性三參數(shù)隔振器的動(dòng)力學(xué)模型;采用諧波平衡法推導(dǎo)出其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式;通過(guò)與時(shí)域數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了非線性三參數(shù)隔振器模型解析解的正確性。與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器的力傳遞率相比，非線性三參數(shù)隔振器可以顯著降低其諧振頻率幅值;而高頻區(qū)域的減隔振性能影響較小。討論設(shè)計(jì)參數(shù)，如剛度比γ1和γ2、阻尼系數(shù)Ca、初始夾角θi、激勵(lì)力幅值F0對(duì)隔振系統(tǒng)傳遞特性的影響。研究表明，剛度比γ1和γ2，阻尼系數(shù)Ca和初始夾角θi可影響隔振器在諧振頻率和高頻區(qū)域的減隔振效果，激勵(lì)力幅值F0則對(duì)系統(tǒng)減隔振性能無(wú)影響。通過(guò)合理的參數(shù)選擇，可使非線性三參數(shù)隔振器在諧振頻率衰減效果優(yōu)于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，且保證在高頻區(qū)域的隔振性能不變。

關(guān)鍵詞： 非線性特征; 三參數(shù)隔振器; X形結(jié)構(gòu); Ruzicka模型; Zener模型

中圖分類號(hào)： O328; TB535? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）03-0490-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.006

1 概 述

在振動(dòng)工程領(lǐng)域，兩參數(shù)隔振器（通常采用Voigt模型表征）是一類通用隔振器，但是，為了有效抑制諧振頻率的振幅導(dǎo)致該類隔振器在高頻段隔振效果變差，對(duì)應(yīng)傳遞率下降率約為-20 dB/dec。由此，三參數(shù)隔振器（常采用Ruzicka模型或者Zener模型表征）應(yīng)運(yùn)而生，不僅可以有效抑制諧振頻率振幅，而且高頻區(qū)域傳遞曲線的下降速率也顯著減小為-40 dB/dec[1?2]。由于三參數(shù)隔振器具有良好的減隔振性能，因此得到了更為廣泛的工程應(yīng)用[3?7]。

三參數(shù)隔振器模型，主要由主彈簧Ka、阻尼元件Ca和輔助彈簧Kb組成，如圖1所示。主彈簧Ka與阻尼元件Ca并聯(lián)安裝共同支承系統(tǒng)質(zhì)量M，阻尼元件Ca與輔助彈簧Kb串聯(lián)并與基礎(chǔ)連接。針對(duì)三參數(shù)隔振器的研究，Ruzicka[8]分別采用黏性阻尼元件和庫(kù)倫摩擦阻尼元件構(gòu)建三參數(shù)隔振器模型，并對(duì)其受迫振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了深入研究。Brennan等[9]重點(diǎn)針對(duì)三參數(shù)隔振器在自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)（簡(jiǎn)諧激勵(lì)和白噪聲隨機(jī)激勵(lì)）條件下，從物理角度研究其特征方程不同特征根的物理含義，并給出相應(yīng)的最優(yōu)阻尼值。樓京俊等[10]研究發(fā)現(xiàn)在一定參數(shù)區(qū)域內(nèi)三參數(shù)隔振器具有更優(yōu)的抗沖擊性能。

為了進(jìn)一步改善三參數(shù)隔振器的減隔振性能，科研工作者開(kāi)展了大量探索研究?？紤]黏性流體阻尼器中流經(jīng)阻尼孔黏性流體質(zhì)量的影響，Shi等[11]建立隔振器的四參數(shù)Zener模型，研究發(fā)現(xiàn)該隔振器在高頻段的減隔振性能得到了改善。為了改善三參數(shù)隔振器在諧振頻率和高頻區(qū)域的傳遞特征，Wang等[12]將與阻尼元件Ca串聯(lián)的輔助彈簧Kb替換為立方剛度彈簧，Silva等[13]將主彈簧Ka替換為立方剛度彈簧。研究表明：不論將非線性立方剛度彈簧引入三參數(shù)隔振器的哪個(gè)位置均可在一定程度上改善其在高頻段的減隔振性能，而對(duì)其他頻段的傳遞率影響較小。因此，引入非線性元件將成為有效提升三參數(shù)隔振器減隔振性能的熱點(diǎn)研究方向之一。

近年，內(nèi)含幾何非線性特征X形結(jié)構(gòu)的高性能減隔振裝置得到持續(xù)廣泛的關(guān)注。Bian等[14?15]從仿生學(xué)角度提出采用X形結(jié)構(gòu)引入非線性阻尼，研究發(fā)現(xiàn)諧振振幅極大衰減，而在其他頻段由于阻尼增大并未使系統(tǒng)響應(yīng)傳遞特性變差。Liu等[16]將多層X(jué)形結(jié)構(gòu)與杠桿系統(tǒng)組合構(gòu)成新型準(zhǔn)零剛度隔振器，通過(guò)采用力控制可以有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)反共振頻率和低頻范圍的傳遞特性。Jing等[17]以建筑工程中普遍使用的沖擊鉆為研究對(duì)象，為了改善工人操作過(guò)程中所受惡劣力學(xué)環(huán)境的影響，創(chuàng)新性地提出采用多層X(jué)形結(jié)構(gòu)構(gòu)建反共振裝置。仿真和試驗(yàn)均表明，在保證設(shè)備正常負(fù)載條件下，反共振裝置可顯著減小系統(tǒng)動(dòng)態(tài)載荷的傳遞特性。Dai等[18]以航天器在軌非合作目標(biāo)抓捕過(guò)程中周期或者沖擊載荷作用下產(chǎn)生的微振動(dòng)為控制目標(biāo)，采用多層X(jué)形結(jié)構(gòu)建立機(jī)械臂和末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間的隔振裝置。研究表明，多層X(jué)形結(jié)構(gòu)組成的隔振裝置可以有效控制自由懸浮狀態(tài)衛(wèi)星平臺(tái)和被捕獲目標(biāo)之間的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，且通過(guò)調(diào)整各設(shè)計(jì)參數(shù)可以靈活調(diào)整隔振裝置的減隔振性能。Feng等[19]通過(guò)觀察人體四肢運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的力學(xué)關(guān)系，建立內(nèi)含X形結(jié)構(gòu)的反共振隔振器模型。研究表明，此類反共振隔振器具備優(yōu)良的低頻寬頻減隔振性能。Cheng等[20]提出采用受拉伸載荷作用的X形結(jié)構(gòu)建立準(zhǔn)零剛度隔振裝置。研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)引入幾何非線性阻尼可有效控制諧振振幅，且在高頻區(qū)域的減隔振性能未受其影響。綜上，X形結(jié)構(gòu)的幾何非線性特征對(duì)隔振器的剛度和阻尼均具有放大功能，并且可以兼顧高/低頻率區(qū)域不同的減隔振需求。

基于三參數(shù)隔振器和X形結(jié)構(gòu)在減隔振方面的優(yōu)良性能，本文在傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器中附加X(jué)形結(jié)構(gòu)，提出一種含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型。利用諧波平衡法推導(dǎo)出該模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式，并利用時(shí)域數(shù)值解對(duì)解析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器對(duì)比，證明X形結(jié)構(gòu)引入的幾何非線性使非線性三參數(shù)隔振器在減隔振方面具有優(yōu)勢(shì)，能夠顯著降低諧振頻率幅值，且對(duì)高頻區(qū)域的傳遞特性未產(chǎn)生顯著的負(fù)面影響。

2 非線性三參數(shù)隔振器建模

含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型如圖2所示。與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器Ruzicka模型或者Zener模型相比（參見(jiàn)圖1），在阻尼元件Ca和輔助彈簧Kb之間安裝X形結(jié)構(gòu)，并將該結(jié)構(gòu)一側(cè)與輔助彈簧連接，另一側(cè)接地;阻尼元件沿X形結(jié)構(gòu)水平方向安裝。從工程實(shí)際出發(fā)，阻尼元件（如：流體阻尼器）往往存在一定剛度，故在模型中引入與阻尼元件并聯(lián)的輔助彈簧Kc。此處，為了保持與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型一致，則考慮輔助彈簧Kc剛度為零。

模型中，實(shí)線為考慮負(fù)載時(shí)的靜平衡狀態(tài)，虛線為未考慮負(fù)載時(shí)的初始狀態(tài)。X形結(jié)構(gòu)由4根剛性鉸接桿組成，單根剛性桿長(zhǎng)度為l;與水平軸y的初始夾角為θi;受外部負(fù)載Fe作用，剛性鉸接桿與水平軸夾角的變化量為φ;定義模型中坐標(biāo)原點(diǎn)位于負(fù)載安裝面中點(diǎn)，垂直向上為x軸正方向，水平向右為y軸正方向。

由圖2所示力學(xué)模型，得到系統(tǒng)沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程

其中，ωn為隔振器固有頻率，τ為無(wú)量綱時(shí)間，γ1和γ2為隔振器剛度比，Ω為頻率比，u1和u2為無(wú)量綱長(zhǎng)度，ξ為阻尼比，f0為無(wú)量綱激勵(lì)力。

進(jìn)而化簡(jiǎn)得到

采用諧波平衡法對(duì)式（9）求解其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)近似解，假設(shè)其穩(wěn)態(tài)解為

式中 u10和u20為位移幅值。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率和激勵(lì)頻率相同。實(shí)際中，系統(tǒng)的響應(yīng)也可能會(huì)引起其他頻率的諧波。但是，受迫振動(dòng)的響應(yīng)中與激勵(lì)頻率相同的基礎(chǔ)頻率占主要部分，故式（10）并不影響對(duì)系統(tǒng)非線性特性的認(rèn)識(shí)。

2.2 隔振性能

采用力傳遞率作為含幾何非線性三參數(shù)隔振器隔振性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。力傳遞率定義為傳遞到基礎(chǔ)上的力幅值和激勵(lì)力幅值之比，即

式中 T為非線性三參數(shù)隔振器的力傳遞率，ftr為通過(guò)隔振器傳遞到基礎(chǔ)上的力。其中，通過(guò)非線性三參數(shù)隔振器傳遞到基礎(chǔ)的力為

3 驗(yàn)證與對(duì)比分析

3.1 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證幾何非線性三參數(shù)隔振器動(dòng)力學(xué)方程采用諧波平衡法求解的正確性，選取剛度比γ1=0.05，γ2=3，主彈簧剛度Ka=2000 N/m，剛性桿長(zhǎng)度l=0.1 m，剛性桿與水平軸y的初始夾角為θi=60°，負(fù)載質(zhì)量M=1 kg，阻尼系數(shù)Ca=1 N·s/m，激勵(lì)力幅值F0=1 N。

選取計(jì)算時(shí)間為50 s，利用四階龍格?庫(kù)塔法得到隔振系統(tǒng)在定頻激勵(lì)下的數(shù)值解，選取穩(wěn)態(tài)解的最大值為響應(yīng)幅值并做歸一化處理，由此得到位移響應(yīng)的幅頻曲線如圖3所示。圖中還給出系統(tǒng)的解析解。其中，“AS”表示解析解，“NS”表示數(shù)值解?？梢钥闯?，數(shù)值解與采用諧波平衡法求解方程（4）所得結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文求解過(guò)程的正確性。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型及解析解的正確性，設(shè)計(jì)非線性三參數(shù)隔振器實(shí)驗(yàn)件并搭建實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

非線性三參數(shù)隔振器具體設(shè)計(jì)參數(shù)：M=2 kg，l=0.15 m，θi=65°，Ka=7500 N/m，Kb=26250 N/m，Kc=2250 N/m。另外，阻尼部分包括各部件之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)材料阻尼和空氣阻尼。

測(cè)試系統(tǒng)主要包括：電磁激振器、信號(hào)采集儀、信號(hào)發(fā)生器、功率放大器、計(jì)算機(jī)等。分別在慣性質(zhì)量與電磁激振器連接位置和隔振器安裝底板粘貼力傳感器1#和2#。

圖5分別給出實(shí)測(cè)和解析計(jì)算獲得非線性三參數(shù)隔振器的力傳遞率曲線?？梢?jiàn)，在50 Hz以下頻段，解析結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)一致性較好;隨著頻率增加，實(shí)測(cè)力傳遞率曲線出現(xiàn)波動(dòng)且與解析結(jié)果誤差較大。該現(xiàn)象主要由隔振器高頻局部模態(tài)所致，由于所建理論模型主要用于表征隔振系統(tǒng)在中低頻段的減隔振效果，不包含高頻模態(tài)的影響，說(shuō)明理論模型和解析結(jié)果正確有效。

3.3 與其他隔振器模型對(duì)比

為了驗(yàn)證本文所提出的含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型的減振效果，將該模型與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器模型（又稱為Voigt模型）和三參數(shù)隔振器模型（又稱為Ruzicka模型或者Zener模型參見(jiàn)圖1）進(jìn)行對(duì)比。此時(shí)不同類型隔振器的力傳遞率曲線如圖6所示。其中，“V?M”表示Voigt模型，“R?M”表示Ruzicka模型和“M?R?M”表示非線性Ruzicka模型。

從圖6中可以看出，在選用相同設(shè)計(jì)參數(shù)情況下，本文所提出的含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型在高頻區(qū)域（即：頻率比Ω>2）傳遞率曲線保持一致，且減隔振效果優(yōu)于兩參數(shù)隔振器。相比于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型，通過(guò)X形結(jié)構(gòu)引入幾何非線性后非線性三參數(shù)隔振器模型的諧振振幅更?。ㄓ?9.1減小為11.5），說(shuō)明隔振系統(tǒng)在諧振頻率的阻尼顯著增大，有利于改善系統(tǒng)的減隔振性能。此外，受水平方向輔助彈簧Kc的影響，諧振頻率比由1增大到1.07。在高頻范圍，傳統(tǒng)三參數(shù)隔振系統(tǒng)和非線性三參數(shù)隔振系統(tǒng)的減隔振效果均優(yōu)于兩參數(shù)系統(tǒng)。

3.4 設(shè)計(jì)參數(shù)影響分析

相比傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型，含幾何非線性三參數(shù)隔振器模型通過(guò)引入X形結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)獨(dú)特的力學(xué)特性。因此，本節(jié)重點(diǎn)針對(duì)非線性三參數(shù)隔振器的部分設(shè)計(jì)參數(shù)，即：剛度比γ1和γ2，阻尼系數(shù)Ca和剛性桿與水平軸y，初始夾角θi和激勵(lì)力幅值F0對(duì)其減隔振效果的影響展開(kāi)討論。

3.4.1 γ1對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

為方便對(duì)比，給出傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型的力傳遞率。保持其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變，僅改變剛度比γ1分別取值-0.05，0，0.05和1.5。此時(shí)得到剛度比γ1對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖7所示。可見(jiàn)：當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)頻率較低時(shí)，系統(tǒng)力傳遞率等于0;當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)頻率較高時(shí)，系統(tǒng)力傳遞率與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器一致。在諧振頻率附近，剛度比γ1增大，諧振振幅增大且諧振頻率向高頻移動(dòng)。另外，隔振系統(tǒng)剛度比γ1<0時(shí)，系統(tǒng)頻率向低頻移動(dòng)，有效隔振頻帶變寬;剛度比γ1=0時(shí)，X形結(jié)構(gòu)引入的幾何非線性系統(tǒng)參數(shù)與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器完全相同，顯見(jiàn)除諧振幅值大幅衰減之外，其他頻點(diǎn)的響應(yīng)特性均未發(fā)生變化;當(dāng)剛度比0<γ1<1時(shí)，諧振頻率及峰值略有增加但不明顯;當(dāng)γ1>1時(shí)，諧振頻率向高頻發(fā)生明顯移動(dòng)且峰值增加顯著，由此導(dǎo)致系統(tǒng)中頻段的減隔振效果變差。綜上，合理選擇剛度比γ1可分別實(shí)現(xiàn)“低剛度”或者“高阻尼”的振動(dòng)控制效果。

3.4.2 γ2對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

為了便于評(píng)價(jià)剛度比γ2對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響，選擇剛度比γ1=0，僅改變剛度比γ2分別取值-0.3，0.3，1和3。剛度比γ2對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖8所示?？梢钥闯觯簞偠缺圈?<1時(shí)，隨著剛度比增大系統(tǒng)諧振頻率和峰值均增加，在高頻范圍隔振效果也隨著剛度比增大而變差;剛度比γ2>1時(shí)，諧振頻率對(duì)應(yīng)峰值顯著減小，高頻范圍減隔振效果進(jìn)一步變差。綜上，合理選擇剛度比γ2可對(duì)系統(tǒng)諧振頻率的峰值實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，但剛度比γ2增加使系統(tǒng)高頻范圍的隔振效果變差。

3.4.3 γ1和γ2組合參數(shù)對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

為了進(jìn)一步明確非線性三參數(shù)隔振器中不同剛度比γ1和γ2的組合特性對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響。結(jié)合前述分析結(jié)果，當(dāng)γ1≤0時(shí)更利于改善系統(tǒng)的減隔振性能且不影響其他頻段的力傳遞特性。因此本部分重點(diǎn)討論選擇γ1≤0和不同γ2時(shí)，系統(tǒng)的力傳遞率曲線如圖9所示。

首先，不考慮水平剛度的影響γ1=0，γ2的變化主要對(duì)系統(tǒng)高頻段的減隔振效果產(chǎn)生影響，即：當(dāng)γ2>1時(shí)高頻段的減隔振效果由20 dB/dec提高為40 dB/dec;而在諧振頻率附近的系統(tǒng)力傳遞特性不受γ2變化的影響。然后，分析水平剛度為γ1<0與γ2的組合剛度控制效果?？梢?jiàn)，γ1<0和γ2>1時(shí)系統(tǒng)力傳遞特性得到顯著改善，在諧振頻率實(shí)現(xiàn)無(wú)諧振峰的控制效果，而在高頻段的減隔振效果則與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振系統(tǒng)相同。但是，當(dāng)γ1<0和0<γ2<1時(shí)系統(tǒng)在全頻段的振動(dòng)控制效果最差。

3.4.4 Ca對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

阻尼系數(shù)作為本文所討論隔振器中唯一的耗能單元將顯著影響隔振器在諧振頻率和高頻區(qū)域的振動(dòng)控制效果。為了充分考慮阻尼系數(shù)的影響，選擇剛度比γ1=0和γ2=3，保持其他參數(shù)不變，阻尼系數(shù)分別取值0.1，0.5，1和4 N·s/m。阻尼系數(shù)Ca對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖10所示?？梢钥闯觯C振頻率處阻尼系數(shù)增大響應(yīng)幅值減小;在高頻區(qū)域，隨著阻尼系數(shù)增大減隔振效果變差。此外，利用傳統(tǒng)Zener模型的傳遞率可以給出最優(yōu)阻尼比的解析表達(dá)式，但由于X形結(jié)構(gòu)幾何非線性特征的影響，非線性三參數(shù)隔振器無(wú)法直接給出阻尼系數(shù)Ca的最優(yōu)值表達(dá)式。

3.4.5 θi對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

選擇剛度比γ1=0和γ2=3，保持其他參數(shù)不變，僅改變剛性桿初始夾角θi分別取值30°，45°，60°和80°，對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖11所示。由圖可見(jiàn)，隨著初始夾角增大系統(tǒng)輸出阻尼增大，由此導(dǎo)致諧振幅值減小甚至達(dá)到無(wú)諧振峰的振動(dòng)控制效果;在高頻區(qū)域的隔振效果則受系統(tǒng)阻尼增大而變差。

3.4.6 F0對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響

選擇力幅值F0=1 N和F0=10 N，保持其他參數(shù)不變，其對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖12所示。由圖12可見(jiàn)，在不同力激勵(lì)幅值條件下，傳遞率曲線完全重合，由此可說(shuō)明，激勵(lì)力幅值的大小對(duì)該隔振系統(tǒng)的傳遞特性影響較小，基本可忽略。

另外，根據(jù)非線性三參數(shù)隔振器的力傳遞率公式（14）和（15），可見(jiàn)X形結(jié)構(gòu)的桿長(zhǎng)l和激勵(lì)力幅值F0無(wú)關(guān)，也證明了上述關(guān)于力激勵(lì)幅值F0影響的計(jì)算結(jié)果，故未考慮X形結(jié)構(gòu)的桿長(zhǎng)l對(duì)系統(tǒng)力傳遞特性的影響。而且，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，X形結(jié)構(gòu)相比準(zhǔn)零剛度和負(fù)剛度等非線性隔振系統(tǒng)不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，故關(guān)于非線性三參數(shù)隔振器的穩(wěn)定性問(wèn)題也不在此討論。

3.5 時(shí)域響應(yīng)對(duì)比

通過(guò)分析幾何非線性對(duì)三參數(shù)隔振器頻域力傳遞率的影響，非線性三參數(shù)隔振器可以顯著提高傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器在諧振頻率的阻尼且諧振振幅被減小，如果參數(shù)選擇合適可以保持系統(tǒng)高頻區(qū)域的衰減效果不受影響。為了全面了解含幾何非線性三參數(shù)隔振器的響應(yīng)特性，以下分別在時(shí)間域和頻率域討論其受多頻穩(wěn)態(tài)激勵(lì)的振動(dòng)控制效果。

具體計(jì)算過(guò)程：針對(duì)不同隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，引入狀態(tài)變量化簡(jiǎn)為一階微分方程組;然后，采用四階龍格?庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算即可得到隔振器各部分的時(shí)域響應(yīng)位移和速度;進(jìn)而可以得到傳遞到基礎(chǔ)的力的時(shí)域響應(yīng)曲線;最后，采用快速傅里葉變換將時(shí)域結(jié)果轉(zhuǎn)換到頻率域，對(duì)比不同隔振系統(tǒng)對(duì)多頻穩(wěn)態(tài)激勵(lì)的振動(dòng)控制效果。

實(shí)際應(yīng)用中，環(huán)境激勵(lì)呈現(xiàn)寬頻特性，假設(shè)隔振器所受外激勵(lì)Fe=nωnt，n=0.1，0.5，1，5，10，20，30，40，50為多頻激勵(lì)，ωn為隔振系統(tǒng)固有頻率。多頻力激勵(lì)下不同隔振器傳遞到基礎(chǔ)的力在時(shí)間域和頻率域的計(jì)算結(jié)果如圖13和14所示。可以看出，非線性三參數(shù)隔振器對(duì)多頻寬頻激勵(lì)的控制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，且系統(tǒng)諧振頻率未發(fā)生變化。

4 結(jié) 論

利用X形結(jié)構(gòu)引入幾何非線性實(shí)現(xiàn)對(duì)三參數(shù)隔振器的改進(jìn)，研究了此類隔振器的動(dòng)力學(xué)特性。與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器不同，通過(guò)對(duì)阻尼元件的幾何非線性布置，系統(tǒng)的阻尼特性被放大，建立了非線性三參數(shù)隔振器的數(shù)學(xué)模型，采用諧波平衡法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，獲得了隔振器的力傳遞率。通過(guò)與時(shí)域數(shù)值解對(duì)比，證明諧波平衡法求解結(jié)果的正確性?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：

（1）設(shè)計(jì)參數(shù)中剛度比γ1和γ2，阻尼系數(shù)Ca和初始夾角θi可改善隔振系統(tǒng)在諧振頻率和高頻區(qū)域的減隔振效果，X形結(jié)構(gòu)的桿長(zhǎng)l和激勵(lì)力幅值F0對(duì)減隔振效果沒(méi)有影響;

（2）通過(guò)合理的參數(shù)選擇，可使非線性三參數(shù)隔振器在諧振頻率衰減效果優(yōu)于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，且在高頻區(qū)域的傳遞曲線衰減率與傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器保持一致;

（3）通過(guò)對(duì)時(shí)域響應(yīng)和頻域傳遞特性的對(duì)比，幾何非線性使非線性三參數(shù)隔振器的振動(dòng)控制性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器。

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作者簡(jiǎn)介： 劉海平（1982?），男，副教授。電話： （010）62334845;E-mail： liuhaiping@ustb.edu.cn