董九志 李曉晨 陳云軍 楊素君

1. 天津工業(yè)大學機械工程學院，天津 300387；2. 天津工業(yè)大學天津市現(xiàn)代機電裝備技術重點實驗室，天津 300387；3. 天津工業(yè)大學電氣工程與自動化學院，天津 300387

隨著光伏行業(yè)的快速發(fā)展，作為直拉單晶硅熱場重要部件的石墨坩堝阻礙了熱場技術的發(fā)展。為提高單晶硅的生產(chǎn)效率并降低成本，眾多機構(gòu)展開了用碳/碳復合材料坩堝替代石墨坩堝的研究。相比于石墨坩堝脆性大、強度低、結(jié)構(gòu)復雜等不足，碳/碳復合材料坩堝具有結(jié)構(gòu)簡單、熱膨脹系數(shù)小、質(zhì)量輕、高溫強度高、抗熱震性好，在急熱、急冷環(huán)境中使用時不開裂、使用壽命長等優(yōu)點[1-5]。當前，碳/碳坩堝預制體多通過單次鋪層、逐層針刺加工而成，相比編織成型的碳/碳坩堝預制體，針刺技術成本低、工藝簡單，然而整體針刺成型制得的碳/碳坩堝預制體纖維連續(xù)性差，長期承載大量重物時易開裂。

碳/碳坩堝預制體增強碳纖維纏繞是在坩堝芯模碳布針刺鋪層的基礎上進行碳纖維纏繞增強。均勻穩(wěn)定的纏繞線型將有效增加碳/碳坩堝預制體中連續(xù)纖維的含量，提高形狀穩(wěn)定性的同時確保其高負荷時所需的強度。在纏繞線型設計方面，郭凱特等[6]針對不等開口極孔的復合材料壓力容器，提出了一套非測地線纏繞線型設計方法，并開發(fā)了一套仿真系統(tǒng)。楊海等[7]針對纏繞過程中纖維束重疊、壓縮等原因?qū)е碌睦p繞厚度不一，分析了纖維寬度、極孔尺寸及芯模結(jié)構(gòu)等參數(shù)對纏繞厚度的影響。李海晟等[8]、李彥虎等[9]提出適用于彎管纏繞線型的數(shù)學原理和方法，確定了最佳纏繞方式并對其纏繞線型進行了驗證性仿真。祖磊等[10]針對環(huán)形壓力容器給出了非測地線型模式和纏繞參數(shù)的最優(yōu)化設計方法，并結(jié)合均勻布滿條件對優(yōu)化線型進行調(diào)整。王顯峰[11]對異形件的纏繞成型進行了深入研究，提出了一種同時適用于回轉(zhuǎn)體和非回轉(zhuǎn)體的纖維纏繞方法。Park等[12]針對任意曲面，使用半測地線纏繞成型理論設計壓力容器纏繞線型。Rojas等[13]提出了適用于復雜形狀芯模的纖維纏繞方法。這些提出的理論或方法對不同結(jié)構(gòu)預制體纏繞線型進行了研究，但對于一端封頭、一端開口的特殊非對稱結(jié)構(gòu)的碳/碳坩堝預制體增強碳纖維纏繞的研究鮮有涉及。本文基于非測地線纏繞，采用微分幾何方法和Runge-Kutta法確定不同段的纏繞線型，以纏繞角和中心轉(zhuǎn)角確定碳/碳坩堝預制體整體最佳纏繞線型，提出一種針對不同碳/碳坩堝預制體結(jié)構(gòu)尺寸的增強碳纖維纏繞線型設計方法。

1 碳/碳坩堝預制體幾何模型

以z軸為回轉(zhuǎn)軸，坩堝由橢球面和圓柱面構(gòu)成。以圓柱段最底端外圓處某點為纏繞起點，建立碳/碳坩堝預制體三維模型(圖1)及其在坐標系下的幾何結(jié)構(gòu)(圖2)。圖2中，o為坐標原點，H為橢球封頭高度，a為橢球長半軸、圓柱底面半徑，L為圓柱段高度。

圖1 碳/碳坩堝預制體三維模型

圖2 碳/碳坩堝預制體幾何結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)碳/碳坩堝預制體的結(jié)構(gòu)對增強碳纖維纏繞線型進行設計，分帶開口的封頭段(上部)及圓柱段(下部)兩部分進行研究。其中，封頭段和圓柱段的數(shù)學表達式分別為式(1)和式(2)。

(1)

(2)

2 增強碳纖維纏繞線型設計分析

正確設計增強碳纖維纏繞線型是保證碳/碳坩堝預制體力學性能的重要前提。增強纏繞線型設計通常可以采用幾何化方法或網(wǎng)格化方法。網(wǎng)格化方法通過將組合回轉(zhuǎn)體表面網(wǎng)格化，提取網(wǎng)格節(jié)點信息并按順序確定落紗點形成纏繞軌跡，但該方法不能保證纖維在開口端可以連續(xù)不斷地反向纏繞，故本文采用幾何化方法進行增強碳纖維的纏繞。其中，纏繞角決定總體纖維纏繞線型，中心轉(zhuǎn)角決定纖維軌跡上某一點的坐標。由于碳/碳坩堝預制體是一端有封頭的特殊結(jié)構(gòu)，圓柱段的初始纏繞角和封頭段的末端纏繞角都需要保證為90.00 °，要使纖維均勻穩(wěn)定地纏繞在預制體上，需要在纏繞過程中通過改變纏繞角來保證兩端的纏繞角要求，圓柱段采用非測地線纏繞，封頭段采用測地線或非測地線纏繞。

為避免纖維纏繞過程中出現(xiàn)打滑現(xiàn)象，纖維需滿足穩(wěn)定纏繞條件，即保證纏繞過程中的滑移系數(shù)λ不大于纖維材料的最大靜摩擦因數(shù)μ0：

(3)

式中：Kg和Kn分別為纖維纏繞軌跡上某一點的測地曲率和法曲率。

滑移系數(shù)可以取λ∈[-μ0,μ0]。當μ0為正值時，表示該點的測地曲率與法曲率方向相同；當μ0為負值時，表示該點的測地曲率與法曲率方向相反；當μ0為零時，表示采用測地線纏繞。

2.1 封頭段線型設計

碳/碳坩堝預制體封頭段為標準橢圓封頭，其長短軸之比a/b=2，此時封頭段的最大壓應力和最大拉應力相等，橢圓封頭在相同厚度的情況下可承受的內(nèi)壓力最大，坩堝制品具有高性能。橢圓封頭段結(jié)構(gòu)如圖3所示(r為極孔半徑，H為封頭高度，2a為橢圓長軸，2b為橢圓短軸)。

圖3 橢圓封頭結(jié)構(gòu)尺寸

2.1.1 纏繞角與中心轉(zhuǎn)角方程的建立

設封頭子午線方程r=r(z)，封頭段橢圓面的參數(shù)表達式

(4)

根據(jù)微分幾何知識中曲面的第一基本量和第二基本量求得法曲率Kn。

(5)

根據(jù)Liouville公式可求得測地曲率Kg：

(6)

根據(jù)纖維穩(wěn)定纏繞的條件，最終可得到封頭段非測地線纏繞角方程和中心轉(zhuǎn)角方程：

(7)

(8)

式中：λ為滑移系數(shù)，z為曲面的軸線坐標，r為封頭曲面子午線方程，r′和r″分別為子午線方程對軸線坐標z的一階導數(shù)和二階導數(shù)，α為纏繞角，θ為中心轉(zhuǎn)角。

由于封頭為橢圓封頭，其子午線方程：

(9)

則有

(10)

當λ=0時，方程轉(zhuǎn)變成測地線纏繞方程。求解微分方程(7)和(8)可得到纏繞角和中心轉(zhuǎn)角沿著芯模軸線方向的變化規(guī)律。

2.1.2 纏繞角沿芯模軸線方向變化規(guī)律

采用Runge-Kutta法求解式(9)和式(10)，可得到纏繞角和中心轉(zhuǎn)角在z方向上的數(shù)值變化。其中極孔處理論纏繞角應為90.00 °，由于在求解過程中會在該點處產(chǎn)生奇異，取極孔處纏繞角為89.99°以滿足精度要求。對于不同尺寸的橢圓封頭芯模，只要各尺寸的對應比例相同，則對應各點處的纏繞角相等，即纏繞線型相同。以標準橢圓封頭a=40 cm,b=20 cm且封頭高度與短軸之比H/b分別為0.65、0.70、0.75、0.80，滑線系數(shù)λ∈[-2, 2]為例，建立纏繞角在不同滑移系數(shù)條件下沿芯模軸線方向的變化曲線，具體如圖4所示。

圖4 不同滑移系數(shù)和H/b條件下纏繞角隨芯模軸線變化曲線圖

圖4中，z=0處為封頭段與圓柱段交接處，稱此處纏繞角為封頭段的初始纏繞角和圓柱段的末端纏繞角。由圖4可知，對于橢圓封頭，在λ∈(-μ,μ)內(nèi)，存在初始纏繞角α∈(αmin,αmax)，使得橢圓極孔處的纏繞角達到89.99°，滿足橢圓封頭纏繞要求。同時最大纏繞角與最小纏繞角之間差值在20°左右，且最大纏繞角在λ=μ處，最小纏繞角在λ=-μ處。隨著滑移系數(shù)λ范圍的增加，可以使最大纏繞角更大，最小纏繞角更小，進而使其之間的差值更大，這就使整體線型的設計具有更高的靈活性。同時可以看出隨著封頭高度H的增加，封頭段初始纏繞角α的整體數(shù)值減少。

2.1.3 封頭段非測地線軌跡仿真

由幾何關系可知纖維軌跡上任意一點的坐標可表示為(rcosθ,rsinθ,z)

(11)

求解式(8)可得中心轉(zhuǎn)角θ在不同滑線系數(shù)和封頭高度下沿芯模軸線方向的變化范圍，進而可根據(jù)式(11)得到封頭段纏繞軌跡上每一點的坐標，最終得到碳/碳坩堝預制體封頭段的纏繞軌跡如圖5所示。

圖5 不同滑移系數(shù)和H/b條件下封頭軌跡仿真

2.2 圓柱段線型設計

圓柱段非測地線纏繞角與中心轉(zhuǎn)角方程：

(12)

(13)

由于碳/碳坩堝預制體為短粗型殼體，圓柱段以長徑比不大于1為標準。以λ=0.1、0.2、0.3，底面半徑r=a=40 cm，圓柱段長度L=40、60、80 cm，即長徑比分別為0.50、0.75、1.00為例，求解微分方程(12)，可得到圓柱段纏繞角隨芯模軸線方向變化的曲線(圖6)。

由圖6可知，在滑移系數(shù)一定的情況下，圓柱段纏繞角沿著芯模軸線方向逐漸減??；同時，在z方向上圓柱段長度L確定的情況下，纏繞角隨滑移系數(shù)的增加而減少。由此可以看出圓柱段末端纏繞角也存在一個可設計范圍，如在L=z=40 cm，即長徑比為0.50時，纏繞角范圍為α∈[50.28°,65.38°]，即在此范圍內(nèi)的任意一個纏繞角都表示一個滿足纖維穩(wěn)定纏繞條件的線型。

圖6 不同滑移系數(shù)下圓柱段纏繞角隨芯模軸線方向變化曲線

根據(jù)式(13)求得中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線方向的變化，可得到圓柱段非測地線纏繞軌跡(圖7)。

圖7 不同滑移系數(shù)和長度下圓柱段軌跡仿真

2.3 碳/碳坩堝預制體增強纏繞整體線型研究

為得到碳/碳坩堝預制體增強纏繞整體線型，需使圓柱段末端纏繞角和橢圓封頭段初始纏繞角相一致，即需要在過渡點處尋找到在滑移系數(shù)允許的范圍內(nèi)同時滿足兩段纏繞要求的纏繞角以進行整體線型設計。以文中所涉及的橢圓封頭段H/b=0.75和圓柱段長徑比0.75為例，建立整體纏繞角隨芯模軸向方向曲線(圖8)。

圖8 坩堝整體纏繞角對比

圖8中，以z=60 cm為界，A區(qū)域為圓柱段纏繞角的變化曲線，B區(qū)域為橢圓封頭段纏繞角的變化曲線，圖中黑色加粗部分是滿足碳/碳坩堝預制體增強纏繞整體線型設計過渡點處的纏繞角，其可設計范圍為α∈[43.60°,52.05°]，即在此范圍內(nèi)的任意一個纏繞角都對應一個滿足纏繞穩(wěn)定要求的纏繞線型。

同時，若使纖維纏繞均勻，需保證纏繞的每一個循環(huán)可以首尾相接，定義：

mθ=n×360° (m,n<10)

(14)

圖9給出了當α∈[43.60°,52.05°]，中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線的變化曲線。

圖9 中心轉(zhuǎn)角隨芯模軸線方向變化曲線

由圖9可知，滿足纏繞穩(wěn)定要求的中心轉(zhuǎn)角θ∈[237.54°,298.55°]，其中滿足纏繞均勻要求的中心轉(zhuǎn)角可取θ=240.00 °或θ=270.00 °。

當取θ=240.00 °時，可得到此時過渡點處纏繞角為α=44.18°，圓柱段λ=0.293，封頭段λ=-0.051，切點數(shù)為3。

當θ=270.00 °時，可得到此時過渡點處纏繞角α=48.68°，圓柱段λ=0.221，封頭段λ=-0.138，切點數(shù)為2。

圖10所示為橢圓封頭段H/b為0.80和圓柱段長徑比為0.50時所生成的纏繞角整體變化曲線，可以看出：在過渡點并沒有一個合適的纏繞角同時滿足兩段纏繞的要求。此時，使用上述內(nèi)容所涉及的方法并不能實現(xiàn)纖維的穩(wěn)定纏繞, 解決這一問題有兩種方法:一是通過增加纏繞過程中纖維的滑移系數(shù)，擴大纏繞角的范圍，得到一個合適的過渡點纏繞角；二是通過在纏繞機的設計中增加機構(gòu)使圓柱段的可纏繞高度增加，減小圓柱段末端纏繞角，以得到合適的過渡點纏繞角，待整體纏繞完成后對多余部分進行修剪。

圖10 坩堝整體纏繞角對比

為提高纏繞效率，可在進行坩堝芯模的設計時考慮芯模尺寸對纏繞角的影響。在不同λ和H/b的條件下，能使纖維穩(wěn)定纏繞的圓柱段的最小長徑比如表1所示。

表1 不同λ和H/b條件下圓柱段的最小長徑比

3 增強碳纖維纏繞整體線型仿真

圖11所示為碳/碳坩堝預制體增強纏繞整體線型設計流程。

圖11 碳/碳坩堝預制體增強纏繞線型設計流程

針對2.3節(jié)中橢圓封頭段H/b為0.75時和圓柱段長徑比為0.75時所得到的各段參數(shù)，對碳/碳坩堝預制體進行整體增強碳纖維纏繞線型循環(huán)效果仿真，結(jié)果見圖12。

圖12 整體結(jié)構(gòu)纏繞線型效果仿真圖

由圖12可以看出，纖維能均勻穩(wěn)定地纏繞在碳/碳坩堝預制體上，同時在每完成一個纏繞循環(huán)后間隔一個纖維寬度，直到碳纖維布滿整個碳/碳坩堝預制體。

4 結(jié)論

本文進行了碳/碳坩堝預制體增強碳纖維纏繞線型設計及分析，得出：

(1) 對碳/碳坩堝預制體進行整體纏繞增強，解決了僅采用整體針刺成型制品強度低的問題；

(2) 采用非測地線纏繞，彌補了測地線纏繞纏繞角不可改變的不足，提高了設計性，實現(xiàn)了碳/碳坩堝預制體兩端纏繞角為90.00 °的工藝要求；

(3) 提出了一種碳/碳坩堝預制體碳纖維纏繞增強的CAD設計方法，可直觀地驗證纏繞線型設計的正確性、合理性和可行性，減少了出錯率，提高了工作效率，實現(xiàn)了纏繞線型的快速設計，為下一步的CAM奠定了理論基礎。