何貴平，朱崇林，謝 艷，雷孝章

（1.四川大學(xué)水利水電學(xué)院，成都610065；2.四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610065；3.四川省公路規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，成都610041）

0 引 言

泥沙起動(dòng)問(wèn)題一直是泥沙運(yùn)動(dòng)力學(xué)中關(guān)注的重點(diǎn)，泥沙起動(dòng)通常有滾動(dòng)、滑動(dòng)、躍移3種模式。在工程應(yīng)用中，水庫(kù)排沙、河床演變、航道治理以及橋梁沖刷、水環(huán)境保護(hù)等方面與泥沙起動(dòng)均有密切的聯(lián)系［1］。同時(shí)開(kāi)展泥沙起動(dòng)研究有助于進(jìn)一步豐富和發(fā)展泥沙運(yùn)動(dòng)理論。因此，研究泥沙起動(dòng)的臨界條件對(duì)于理論和工程應(yīng)用方面均有重要的實(shí)際意義。

目前，研究泥沙起動(dòng)的臨界條件主要從臨界起動(dòng)切應(yīng)力、臨界起動(dòng)流速和臨界起動(dòng)功率3 個(gè)方面入手。竇國(guó)仁［2］將泥沙起動(dòng)問(wèn)題總結(jié)為3 種狀態(tài)，將動(dòng)未動(dòng)、少量動(dòng)和普遍動(dòng)，并根據(jù)其發(fā)生機(jī)率進(jìn)一步推導(dǎo)出了泥沙起動(dòng)切應(yīng)力和起動(dòng)流速的表達(dá)式。何文社等［3］通過(guò)考慮相對(duì)暴露度、附加質(zhì)量力等影響因子，采用滾動(dòng)模式，推得了非均勻沙起動(dòng)臨界無(wú)因次切應(yīng)力公式。劉興年等［4］分析了粗細(xì)化過(guò)程中非均勻沙的起動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而導(dǎo)出了非均勻沙分級(jí)起動(dòng)流速的計(jì)算公式。張俊宏等［5］對(duì)國(guó)內(nèi)外非均勻沙起動(dòng)研究的成果進(jìn)行了分析和總結(jié)，指出了3 種泥沙起動(dòng)臨界判別條件在各自的應(yīng)用中存在的問(wèn)題。程燁等［6］基于顆粒間相對(duì)暴露度的分布規(guī)律，推導(dǎo)出了3 種泥沙起動(dòng)模式的起動(dòng)概率。吳巖等［7］與李林林等［8］分別采用滾動(dòng)和滑動(dòng)模型推導(dǎo)出了滲流作用下岸坡泥沙起動(dòng)流速公式。

綜上所述，以往大多數(shù)研究都是針對(duì)平坡及岸坡上的泥沙起動(dòng)，對(duì)于坡面薄層水流下泥沙起動(dòng)的研究至今較少。李林林等［9］通過(guò)引入附加質(zhì)量力的辦法，采用滑動(dòng)起動(dòng)模式，得到了正負(fù)坡上泥沙起動(dòng)概率的計(jì)算公式，并進(jìn)一步推導(dǎo)出了起動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)為中動(dòng)時(shí)的無(wú)量綱起動(dòng)切應(yīng)力的表達(dá)式。朱崇林等［10］通過(guò)室內(nèi)水槽沖刷實(shí)驗(yàn)，采用滾動(dòng)模式并結(jié)合斜坡徑流-滲流耦合模型推導(dǎo)出了臨界水深的理論表達(dá)式，但其理論分析中并未考慮到泥沙間相互作用的影響。本文從相對(duì)暴露度的角度出發(fā)，采用滾動(dòng)模式建立坡面徑流作用下斜坡臨界水深的表達(dá)式，計(jì)算得到的理論值與實(shí)測(cè)值較為符合，精度較高。

1 理論分析

1.1 暴露度分析

暴露度法是描述非均勻泥沙顆粒之間相互影響的方法之一，均勻沙起動(dòng)則可以作為非均勻沙起動(dòng)的一種特殊情況進(jìn)行處理。另一種方法則通過(guò)直接引入附加質(zhì)量力來(lái)表示這種相互影響作用。Paintal［11］在考慮均勻沙在床面上的位置時(shí)，提出了涉及相鄰上下游顆粒的絕對(duì)暴露度的概念。其理論主要是通過(guò)平均床面來(lái)反映絕對(duì)暴露度，并將其作為一個(gè)修正項(xiàng)引入作用力表達(dá)式。本文采取韓其為等［12］提出的相對(duì)暴露度概念，由于泥沙顆粒處于床面的位置隨機(jī)且作用于顆粒上的水流速度隨機(jī)，故單顆粒泥沙的起動(dòng)具有偶然性。為簡(jiǎn)化這種隨機(jī)作用，引入了相對(duì)暴露度的概念，如圖1所示。

圖1 泥沙顆粒暴露度示意圖Fig.1 Schematic illustration of exposure of sediment particles to slopes

在床面上，將暴露度Δ定義為所研究顆粒的最低點(diǎn)與下游相鄰顆粒接觸點(diǎn)的豎向距離，暴露角α則定義為研究顆粒的球心位置同下游相鄰顆粒接觸點(diǎn)連線與豎直方向的夾角，如圖1（a）所示；在斜坡上，本文將暴露度Δ定義為研究顆粒最低點(diǎn)與下游顆粒接觸點(diǎn)在垂直斜坡方向上的距離，暴露角α定義不變，如圖1（b）所示。其相對(duì)值Δ′則統(tǒng)一用暴露度Δ與泥沙顆粒半徑R的比值，即Δ/R，來(lái)表示。從圖中可以看出，當(dāng)Δ越大時(shí)，隱蔽作用越強(qiáng)。

進(jìn)行均勻沙分析時(shí)，Δ′可取為均勻分布，其分布函數(shù)為［13］

式中：ξΔ′表示Δ′的隨機(jī)變量為Δ′的最小值，當(dāng)泥沙顆粒均勻且緊密排列時(shí)，Δ′m=0.134。

由式（1）可求得Δ′的數(shù)學(xué)期望為［7］：

對(duì)于非均勻沙，可將泥沙顆粒進(jìn)一步劃分為粗顆粒、中顆粒和細(xì)顆粒，并求得各粒組Δ′的數(shù)學(xué)期望［7，14］。

式（3）～式（5）中：Dl為第l組泥沙粒徑為非均勻沙的平均粒徑，可用計(jì)算；其中，n為分組數(shù)，P1，l為床沙組配，即第l粒組泥沙所占質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

1.2 泥沙起動(dòng)流速公式推導(dǎo)

由圖2 可知，在坡度為θ的斜坡上，假設(shè)水流方向與斜坡方向平行，且與斜坡水平軸成90°夾角。泥沙在水流作用下所受的力有：水流拖曳力Fd、上舉力FL、水下重力W′。由于坡面泥沙起動(dòng)條件的推導(dǎo)基于的是水流為連續(xù)流動(dòng)的過(guò)程，因此忽略垂直滲流的影響。各力分別說(shuō)明如下：

圖2 斜坡上泥沙顆粒起動(dòng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of sediment particle starting on slope

式中：Cd為阻力系數(shù)，一般取0.4；CL為上舉力系數(shù)，一般取0.1；γs、γ分別為泥沙和水的容重；U0為泥沙起動(dòng)時(shí)水流瞬時(shí)底速；ρ為水的密度；D為泥沙粒徑。

從圖2由幾何關(guān)系還可得：

聯(lián)立式（9）和式（10）可得：

本文采用滾動(dòng)模式，以所研究泥沙顆粒與下游相鄰顆粒相接觸點(diǎn)O為起動(dòng)支點(diǎn)，構(gòu)建力矩平衡式可得：

將式（6）～式（11）代入到式（13），并取a=b=R/3，化簡(jiǎn)后得：

式（14）中Gs為泥沙顆粒比重，令：

當(dāng)Δ′取緊實(shí)排列時(shí)，考慮實(shí)際坡面流傾角多為0～30°之間，在此范圍內(nèi)驗(yàn)證可知，φ（θ，Δ′）隨著坡度的增加，其值逐漸降低。而當(dāng)θ取為定值時(shí)，一定范圍內(nèi)，φ（θ，Δ′）隨著Δ′的增加而增大，將式（15）代到式（14）。則：

1.3 起動(dòng)臨界水深推導(dǎo)

為獲取斜坡橫斷面上的流速分布，選取坡面徑流條件下的水流剖面建立徑流-滲流模型。如圖3 所示，假設(shè)斜坡無(wú)限長(zhǎng)，以水流方向?yàn)閄軸正方向，垂直水流方向向上為Y軸正向，建立如圖所示坐標(biāo)系。坡面與水平方向夾角為θ，坡面長(zhǎng)度為L(zhǎng)，坡面徑流沿Y軸方向水深為h，沿Y方向土層厚度為H，下部為基巖。沿X軸方向的流速為ux，坡內(nèi)滲流流速沿X軸方向?yàn)関x，并忽略垂直滲流的影響。

圖3 徑流-滲流耦合模型Fig.3 Coupling model of runoff-seepage

針對(duì)所建徑流-滲流耦合模型，采用文獻(xiàn)［15］中水流的流速分布：

式中：γ w為水的容重；η為水的動(dòng)力黏滯系數(shù)；n、K分別為坡面土體的孔隙率和滲透率；

由式（17）可知，令y=0即可得水流底部流速：

聯(lián)立式（16）和式（18）即可得出徑流條件下泥沙起動(dòng)的臨界水深：

由于滲透率K的量級(jí)較小，故式（19）右邊第二項(xiàng)可忽略。同時(shí)，引入一個(gè)暴露度坡度因子λ（θ，Δ′），并令λ(θ，Δ')=式（19）可化為

由式（20）可知，臨界起動(dòng)水深主要與顆粒粒徑D、比重Gs、滲透率K、孔隙率n、斜坡坡度θ以及相對(duì)暴露度Δ′有關(guān)。理論表達(dá)式結(jié)合實(shí)際情況分析可得，θ一定時(shí)，一定范圍內(nèi)，當(dāng)Δ′越大，其隱蔽作用越強(qiáng)，泥沙顆粒越不容易起動(dòng)，故所需的臨界水深值越大；Δ′一定時(shí)，在相應(yīng)的坡度范圍內(nèi)，當(dāng)坡度越大，重力分力對(duì)泥沙起動(dòng)的影響就越大，相比之下，水流對(duì)泥沙的作用進(jìn)一步削弱，故所需的臨界水深較小。綜上所述，斜坡上泥沙的起動(dòng)主要與泥沙自身的物理性質(zhì)、坡度還有相對(duì)暴露度相關(guān)。

2 公式驗(yàn)證

本文采用朱崇林等［10］的散粒體顆粒起動(dòng)實(shí)測(cè)臨界水深對(duì)式（20）進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果見(jiàn)表1 和圖4～6。實(shí)驗(yàn)條件下每組粒徑、每一坡度下分別測(cè)量了3 次，盡量避免了人為誤差帶來(lái)的影響。

圖4 粒徑0～5 mm下臨界水深計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較Fig.4 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 0～5 mm diameter

表1 斜坡臨界起動(dòng)水深計(jì)算值與實(shí)測(cè)值比較Tab.1 Comparison between calculated and measured values of critical starting water depth of slope

圖5 粒徑5～10 mm下臨界水深計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較Fig.5 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 5～10 mm diameter

圖6 粒徑10～20 mm下臨界水深計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較Fig.6 Comparison between the calculated and measured values of critical water depth at 10～20 mm diameter

由表1 和圖4～6 可以看出，隨著坡度的增大，各粒組的相對(duì)誤差值總體上呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì)。同時(shí)隨著泥沙粒徑的增加，同一坡度上的起動(dòng)臨界水深相對(duì)誤差值也在逐步增大。在粒徑5～10 和10～20 mm 之間，存在一個(gè)“分界粒徑”，其值約為10 mm，在該粒徑兩側(cè)的相對(duì)誤差值存在一個(gè)顯著的躍幅，整體相對(duì)誤差大約上升31.23%。散粒體粒徑在0～5 和5～10 mm 下，公式計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差不超過(guò)12%，最小為0.97%，精度較高；然而在粒徑10～20 mm 下，二者的相對(duì)誤差值開(kāi)始顯著增高，最高為44.10%。分析產(chǎn)生該結(jié)果的原因有：①泥沙的粒徑較大，而此時(shí)的臨界水深較淺，坡面上的水流無(wú)法完全覆蓋泥沙顆粒，此時(shí)在水流作用下，水下重力大小、水流拖曳力和上舉力的作用力大小及位置都有可能要發(fā)生改變；②由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的缺乏，在計(jì)算過(guò)程中，對(duì)散粒體泥沙進(jìn)行了均勻沙處理，而大顆粒泥沙之間的嵌合能力更強(qiáng)，造成了其計(jì)算值比實(shí)測(cè)值偏低的結(jié)果；③在進(jìn)行起動(dòng)臨界水深的推導(dǎo)過(guò)程中，令水流瞬時(shí)底速的邊界條件取為y=0，可能對(duì)大顆粒泥沙起動(dòng)的計(jì)算結(jié)果帶來(lái)一定偏差。

綜上所述，通過(guò)對(duì)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較，可以發(fā)現(xiàn)各粒組的相對(duì)誤差值與坡度總體上呈現(xiàn)出正相關(guān)趨勢(shì)。對(duì)同一坡度而言，起動(dòng)臨界水深相對(duì)誤差值與泥沙粒徑也呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系，存在一個(gè)“分界粒徑”，超出此界限，相對(duì)誤差值將顯著增大。鑒于坡面薄層水流條件下的大顆粒泥沙受力較為復(fù)雜，對(duì)于泥沙粒徑大于10 mm 的泥沙顆粒起動(dòng)問(wèn)題尚有待進(jìn)一步研究。

3 結(jié) 論

在采用滾動(dòng)模式推導(dǎo)斜坡泥沙起動(dòng)臨界條件的過(guò)程中，引入了相對(duì)暴露度的概念，并結(jié)合徑流-滲流耦合模型下的流速分布，最終得到了斜坡上泥沙起動(dòng)臨界水深的理論表達(dá)式。該表達(dá)式表明臨界水深的大小主要與泥沙自身的物理性質(zhì)、坡度和相對(duì)暴露度有關(guān)。當(dāng)Δ′取緊實(shí)排列時(shí)，表達(dá)式適用坡度范圍為0～30°，此時(shí)臨界起動(dòng)水深與坡度呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)坡度取為定值時(shí)，在相應(yīng)范圍內(nèi)，臨界起動(dòng)水深與相對(duì)暴露度Δ′呈一定的正向關(guān)系。實(shí)測(cè)資料表明該表達(dá)式對(duì)于粒徑小于10 mm 的粒組的臨界起動(dòng)水深值預(yù)測(cè)較為符合，具有較好的精度。同時(shí)存在一個(gè)“分界粒徑”，超出此粒徑值，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值二者的相對(duì)誤差將顯著增大。由于坡面薄層水流條件下大顆粒泥沙并不能被水流完全覆蓋，受力情況和邊界條件等較河道中的泥沙起動(dòng)問(wèn)題復(fù)雜得多，因此其起動(dòng)問(wèn)題尚有待進(jìn)一步研究。