江蘇省南京市溧水區(qū)東廬初級(jí)中學(xué) 王 靜

一、試題的呈現(xiàn)

二、特色解讀

（一）圖形簡(jiǎn)約，內(nèi)涵豐富

本題呈現(xiàn)方式簡(jiǎn)約，主要由圓和兩條相等的弦（兩條弦相交于點(diǎn)P）組成。雖然圖形簡(jiǎn)潔，但考查的內(nèi)容很豐富，如可用到的知識(shí)點(diǎn)：“等角對(duì)等邊”“全等三角形的判定”“全等三角形對(duì)應(yīng)邊（對(duì)應(yīng)角）相等”“在同圓或等圓中，同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等”“圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系”“垂徑定理”“勾股定理”“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”“相似的性質(zhì)與判定”“平行線的性質(zhì)”“等式的性質(zhì)”“同角（等角）的補(bǔ)角相等”“三角形內(nèi)角和定理”“外角的性質(zhì)”等?？疾榈哪芰σ埠芏?，如邏輯推理能力、識(shí)圖能力、構(gòu)圖能力、轉(zhuǎn)化能力、直觀想象能力、遷移能力、數(shù)學(xué)建模能力等。

（二）巧妙構(gòu)圖，關(guān)注素養(yǎng)

由于圖形本身簡(jiǎn)約，在解題時(shí)需要聯(lián)想到一些基本圖形，如可構(gòu)造三角形、貓耳朵模型、飛鏢模型、“8”字形、“A”字形、圓的內(nèi)接四邊形等，要用到這些基本圖形，首先要思考，如何構(gòu)造這些基本圖形，再用構(gòu)造出來(lái)的基本圖形解答題目，這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的直觀想象素養(yǎng)。每一種構(gòu)圖方法，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚@也體現(xiàn)了邏輯推理素養(yǎng)。本題圖形之所以簡(jiǎn)潔，是因?yàn)槠浔旧硎遣煌暾幕緢D形，是由基本圖形抽出部分元素形成，所以在解答的過(guò)程中，需要填補(bǔ)上相應(yīng)的元素，命題者此種出題方式正是逆用數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。添加元素構(gòu)造基本圖形解決問(wèn)題，更是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。由于版面關(guān)系，本文只呈現(xiàn)了部分結(jié)題思路。

三、解法賞析

（一）利用等角對(duì)等邊證明線段相等

解法1：構(gòu)造三角形

如圖2，聯(lián)結(jié)BD，因?yàn)锳B ＝CD，所以＝AB=CD，

圖2

所 以AB+BD ＝CD+CB， 即AD＝CB，

所以∠C ＝∠A，所以PA ＝PC。

解法:2：構(gòu)造半徑和三角形

如 圖3， 聯(lián) 結(jié)AC、OA、OB、OC、OD，因?yàn)樵凇袿 中，所以O(shè)A ＝OB=OC=OD，所以∠OAC=∠OCA。

圖3

因 為∠OAB+ ∠OBA+ ∠AOB=180°，所以∠OCD+∠ODC+∠COD=180°。

所以2 ∠OAB+∠AOB=180°，2 ∠ OCD+ ∠ COD=1 8 0 °，所 以 ∠OAB= ∠OCD， 所 以∠OAC+∠OAB=∠OCA +∠OCD，所 以∠PAC= ∠PCA， 所 以PA ＝

PC。

解法3：構(gòu)造同弧（等?。┧鶎?duì)的圓周角

如圖4，聯(lián)結(jié)AC、BC、AD，因?yàn)锽D ＝BD，所以∠PAD ＝ PCB。

圖4

因?yàn)锳B ＝CD，所以AB ＝CD，所以∠BCA ＝∠DAC。

因?yàn)椤螾AD ＝∠PCB，∠BCA＝∠DAC， 所 以∠PAD+∠DAC ＝∠PCB+ ∠BCA， 所 以 ∠PAC ＝∠PCA，所以PA=PC。

（二）利用三角形全等證明線段相等

解法4：構(gòu)造貓耳朵模型

如 圖4，聯(lián)結(jié)AC、BC、AD，因?yàn)锳C ＝AC，所以∠ABC ＝∠CDA。因?yàn)锳B ＝CD，所以AB ＝CD，所以∠BCA ＝∠DAC，因?yàn)樵凇鰽BC 與△CDA 中，

∠ABC ＝∠CDA，

∠BCA ＝∠DAC，

AC=CA

所 以△ABC ≌△CDA（AAS），所以∠BAC ＝∠DCA，所以PA=PC。

（三）利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線段相等

解法5:構(gòu)造橫向“A”字形和“8”字形

圖5

四、教學(xué)啟示

（一）注重探究過(guò)程，積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

本文的多種不同的解法，涉及到構(gòu)造“貓耳朵”模型、“飛鏢”模型、“8”字形、“A”字形、三角形、圓內(nèi)接四邊形等，這些構(gòu)造法都很常見(jiàn)。在平時(shí)的教學(xué)中，課本的例題或是定理的探究過(guò)程中，有許多需要“構(gòu)圖”才能解決，如在證明勾股定理逆定理時(shí)，需要另外構(gòu)造一個(gè)直角三角形，而有很多教師在講解勾股定理逆定理時(shí)，直接告訴結(jié)論，導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)這種構(gòu)造法毫不知曉。從本文所探究的中考題，可看出試題重在考查識(shí)圖、構(gòu)圖能力，這些能力的培養(yǎng)，教師應(yīng)在日常教學(xué)中，一以貫之地落實(shí)知識(shí)的探究過(guò)程，積累一些數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)模型，才能讓這些方法成為解決新題的構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)。如果教師在平時(shí)教學(xué)中，注重知識(shí)的探究過(guò)程，那么這種思維過(guò)程，也將成為一種構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)，成為學(xué)生解題時(shí)的一種靈感頓悟。

（二）立足基本圖形，注重構(gòu)圖過(guò)程

基本圖形在學(xué)業(yè)考試考查中主要圍繞基本圖形的疊加、隱藏的綜合應(yīng)用，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是平時(shí)要做好基本圖形的積累，加強(qiáng)分離、補(bǔ)形、構(gòu)造的相關(guān)訓(xùn)練，掌握解決這類問(wèn)題的基本策略?！皹?gòu)造”即“構(gòu)圖”，指構(gòu)造出基本圖形，構(gòu)圖過(guò)程其實(shí)包括四個(gè)環(huán)節(jié)：儲(chǔ)圖、想圖、構(gòu)圖、用圖。四個(gè)環(huán)節(jié)相輔相成，缺少任一環(huán)節(jié)都不能順利地解決相關(guān)習(xí)題，但想圖、構(gòu)圖的過(guò)程是整個(gè)構(gòu)圖過(guò)程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在實(shí)際教學(xué)中，教師為了節(jié)省時(shí)間，對(duì)于一些必須構(gòu)圖才能解答的習(xí)題，沒(méi)有給學(xué)生想圖、構(gòu)圖的時(shí)間，直接給出構(gòu)圖方法。以致學(xué)生碰到類似題型時(shí)，仍然不會(huì)構(gòu)圖。因此，教師應(yīng)給學(xué)生充足的探究時(shí)間，這樣經(jīng)過(guò)思考后，即使沒(méi)有構(gòu)出圖形，等到教師講解時(shí)，也能加深對(duì)此題的印象，再遇到同類型的題目時(shí)，便能調(diào)用頭腦中的知識(shí)儲(chǔ)備，找到解題的突破口。同時(shí)在教學(xué)中，教師應(yīng)該向?qū)W生介紹為何這樣構(gòu)圖。如何想到的，這其實(shí)就是要引導(dǎo)學(xué)生知道構(gòu)圖的依據(jù)是原有的基本圖形。每一種構(gòu)圖方法，其實(shí)都源于一種基本圖形。因此解題教學(xué)中，教師應(yīng)注重構(gòu)圖過(guò)程，并啟發(fā)學(xué)生思考這樣構(gòu)圖的依據(jù)是什么，才能達(dá)到“解一題，同一類，會(huì)一片”的效果。

（三）注重一圖多“構(gòu)”，關(guān)注核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，一題多“構(gòu)”不僅能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，而且能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 年版）指出：教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。由于每個(gè)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)不一樣，所以不同的構(gòu)圖方法可能適合不同的學(xué)生。因此，教師應(yīng)注重對(duì)一道習(xí)題采取多種構(gòu)圖方法，不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)內(nèi)存，提升學(xué)生的綜合解題能力，更能促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化。需要構(gòu)圖才能解決的習(xí)題，說(shuō)明原圖被抽出了部分元素，這正逆向訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。有些構(gòu)圖法在解決某些習(xí)題時(shí)可能比較煩瑣，但是對(duì)別的題目，可能是簡(jiǎn)單的方法。因此，平時(shí)教學(xué)中注意“一題多構(gòu)”能加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)系統(tǒng)，提升學(xué)生在新問(wèn)題情境下準(zhǔn)確把握核心知識(shí)、形成解題決策的能力。因此，構(gòu)造多種基本圖形解決問(wèn)題，建立幾何模型，實(shí)際上更是一種數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。