段黽釗

(江蘇省南通市海門市包場高級中學 226100)

數學知識具有比較強的繁雜性與抽象性特性，是高中生學習的重點與難點所在，尤其是其中涉及到許多復雜性與綜合性比較強的類型題，常常使學生陷入解題困境.在正向解題思路下無法快速求解數學問題，如果可以靈活地應用逆向思維，借助構造法分析問題，那么就可以通過對題干中的隱性及顯性解題信息進行挖掘來快速明確求解問題所必備的關鍵解題條件與信息，進而可以簡化學生求解問題的過程，提高了他們求解數學問題的能力.

一、基于構造方程法，求解數學問題

構造方程法是求解高中數學題中用的比較多一種解題方法，主要是由于方程和函數之間具有緊密聯系，許多數學類型題常常都可以通過尋求方程和函數之間的相關性來進行求解.構造方程法主要是在對相關問題中的已知條件以及它們之間的相關性進行深入分析的基礎上，通過利用這些已知關系與條件來相應地構造能夠求解問題的等量方程.

例1已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0，試求參數m，n，x之間互相構成等差數列.

解析在求解這道與數列相關的類型題中，如果采用傳統(tǒng)求解方法，那么整體的求解難度比較大，并且還會使學生進行大量的計算，容易造成錯解情況.此時在求解這道問題中可以靈活地運用構造法，以“參數m，n，x之間互相構成等差數列”這一待求解條件作為求解問題的已知條件，同(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0這一給定的關系式相結合，那么可以具象化和簡單化處理這道抽象數學問題，大大提高了問題求解效率.

解構造如下方程：(m-n)t2-(m-n)t+(x-m)=0；

令F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m).

通過分析本道題，可以發(fā)現：F(1)=0，可知：(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的實數根保持相等，求解可得：t=1，所以可知相應方程實數根均為1.然后可以結合韋達定理來得到如下方程：m+n=2x，所以可知參數m，n，x之間互相構成等差數列.

基于上述分析可知，在求解這道問題中，核心解題思想是借助構造法的運用來簡化復雜的問題，提高問題求解的準確率與效率.

試求：tan(α+β+γ)的值.

解析針對上述這道涉及到三角函數的問題，學生在求解的過程中如果直接采取分解待求函數tan(α+β+γ)的方式來求解問題，那么會大大增加學生求解問題的難度，并且非常容易出現錯解情況.此時如果靈活應用構造方程的方法來簡化問題，那么可以大大提高解題的便捷性與準確度，并且可以避免因為計算量過大而造成錯解情況的出現.

解假定tanα=x，tanβ=y，tanγ=z,那么基于給定的題干條件可知，

由此可見，靈活運用構造方程思想等一些方法來簡化問題求解過程，這樣可以最大程度提高學生求解數學問題的質量與效率.

二、基于構造數列法，求解數學問題

數列作為高中數學教學的重要內容，是高考數學試卷必考的題目.其中主要涵蓋了等差數列、等比數列兩個方面的數列知識，但是卻依舊包含比較多的數學內容.在求解數列問題時，如果可以靈活地運用構造數列的方法，那么在求解部分數學題目中常常會發(fā)揮非常神奇的效用，具體就是借助聯想或替換等方法來構建等比數列或等差數列，之后結合數列方面的相關知識來深入分析題干當中的相關信息、條件及要求，這樣可以極大地簡化問題，提高問題分析及解決的有效性.

解析基于題干信息，給出部分解題條件與信息來求解Sn是一道比較常見的類型題.在明確前幾項之和，且給定了{an}這一通項公式，所以可以借此來推算出相應的Sn表達式.

解基于問題題干信息可得，在n≥2的時候，an=Sn-Sn+1，所以可知：

三、基于構造函數法，求解數學問題

同構造方法這一解題方法類似，構造函數法也是求解數學問題中比較常見的一類解題方法，二者本質在解題上存在相通性.在平時的解題教學中，可以結合具體的解題來指導學生同時訓練自身靈活應用構造函數法求解數學問題的能力.通過有效應用構造函數法分析及求解數學問題，可以鍛煉學生思維的靈活性，尤其是在代數問題、三角函數問題、幾何問題等相關數學類型題當中.如果可以指導學生深入挖掘所給數學題目中的關鍵信息，找到其中有關的函數關系，那么可以將這些復雜數學問題的求解過程進行簡化，配合函數問題求解方法及思想的靈活應用可以大大提高學生求解數學問題的能力，同時借助構造函數方法的靈活應用可以進一步提高整體的解題準確率.

例4已知a,b,c,d均為實數，且滿足：針對任意一個實數x，均滿足下一不等式：acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x≤1.試求：a+b-c+d的最大值，以及此時a,b,c,d各自的值是多少？

解析在求解這一道三角函數相關的類型題中，由于其中涉及到a,b,c,d幾個未知參數，所以在對相應不等式進行化簡的時候會遇到一些難題，學生常常不知道該如何解題.此時如果可以靈活應用構造函數法，那么可以將復雜的三角函數問題進行簡化，快速找到解題的突破口，避免大量的計算.

解令f(x)=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x

此時可以令t=cosx(-1≤t≤1)，那么可知:

f(x)-1=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x-1

通過進一步簡化上式，可以得到：

f(x)-1=2(t-1)(t+1)(2t-1)[2dt-(1-d)]≤0

針對定義域為(-1≤t≤1)范圍內的t，上式均成立，所以可知：d>0，且2d/2=(1-d)/1，求解得：d=1/2.這樣可以快速求解本道題的正確答案為：最大值為3，且對應最大值時候a，b，c，d分別為1，1/2，-1和1/2.

綜上所述，在求解某些數學問題中，如果可以指導學生巧用構造法，通過構造數列、構造函數以及構造方程，可以有效簡化求解的問題，大大提高學生解題的準確度與效率.但是在實際求解問題中應用構造法期間，必須要結合實際的類型題進行合理分析，保證可以選擇適宜的構造法來簡化問題，這樣才能不斷提升學生運用構造法解題的能力.