羅柳英

【摘要】配方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的方法，隨著高中數(shù)學(xué)知識的深入，初中所學(xué)的配方方法不能滿足高中學(xué)習(xí)的需求.通過對比試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀學(xué)生可以自學(xué)適應(yīng)高中學(xué)習(xí)，但是普通高中校普通學(xué)生卻需要數(shù)學(xué)教師的專項(xiàng)訓(xùn)練，而且這種專項(xiàng)訓(xùn)練需要分層進(jìn)行.第一層，掌握對二次三項(xiàng)式的配方方法;第二層，把換元法與配方法結(jié)合;第三層，先恒等變形，然后換元，最后配方求解.因此，對于普通高中校普通班學(xué)生來說，配方法的學(xué)習(xí)不僅僅是運(yùn)算能力的培養(yǎng)，同時(shí)也是幫助學(xué)生逐步體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象思維形成的過程.普通生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)需要數(shù)學(xué)教師的智慧與策略，對學(xué)生抽象思維的形成過程先降低起點(diǎn)，搭建臺階并分解動(dòng)作，讓學(xué)生拾級而上，同時(shí)放慢節(jié)奏降低難度，一步一個(gè)腳印地落實(shí).雖然教學(xué)進(jìn)度慢點(diǎn)，只要教師方法得當(dāng)，抽象思維能力和運(yùn)算能力的提升也能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】配方法;抽象思維;運(yùn)算能力;普通高中;對比試驗(yàn)

一、背景介紹

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.其中，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的兩個(gè)方面.也是決定初、高中銜接中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否順利度過的關(guān)鍵.本文對普通高中高一配方法教學(xué)進(jìn)行了對比試驗(yàn)，目的是研究學(xué)生抽象思維與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升的途徑，尋找?guī)椭鷮W(xué)生快速提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的方法.

配方法是指將一個(gè)式子（包括有理式和超越式）或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和.這種方法常常被用到恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一.高中數(shù)學(xué)中這種解題方法可廣泛應(yīng)用于因式分解、解方程、代數(shù)求值等，特別是求函數(shù)值域，證明不等式等數(shù)學(xué)問題離不開配方法.也是提升學(xué)生運(yùn)算能力的有力手段之一.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中配方法與其他方法比較，顯然是微不足道的方法，常常被忽視.高中生需要對含指數(shù)式、對數(shù)式、根式、三角函數(shù)等復(fù)雜的函數(shù)式配方.優(yōu)秀生在初中已經(jīng)掌握基本的配方法，并且在高中學(xué)習(xí)中不斷自我完善與提升.但對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生卻有著無窮的煩惱.因?yàn)楦咧薪處煵恢v，就直接用，自己又不會，特別是把高中數(shù)學(xué)知識加入后的配方更是無從入手.所以，他們只能死記公式，慢慢地，部分高一的學(xué)生就跟不上了.從而導(dǎo)致高一數(shù)學(xué)成績的劇烈分化，好的越學(xué)越好，差的越來越差.

對于普通高中校普通班學(xué)生來說，配方法的學(xué)習(xí)不僅僅是運(yùn)算能力的培養(yǎng)，同時(shí)也是幫助學(xué)生逐步體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象思維形成的過程.特別是當(dāng)二次三項(xiàng)式與根式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)等結(jié)合時(shí)，更能體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象思維形成過程，幫助普通學(xué)生提升抽象思維能力.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等，可以說數(shù)學(xué)的抽象性，決定了數(shù)學(xué)思維的核心形式是抽象思維.數(shù)學(xué)對象都是抽象思維的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)教學(xué)除了知識的傳授，更重要的是幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的抽象過程，提升學(xué)生的抽象能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、對比試驗(yàn)

筆者在普通高中校，所教兩個(gè)班級學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差距比較大，A班數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，B班級數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，便于做對比試驗(yàn).為了掃除學(xué)生高中學(xué)習(xí)障礙，初、高中銜接時(shí)統(tǒng)一安排了配方法教學(xué).

兩個(gè)班級的學(xué)生基本狀態(tài)是：初中所學(xué)的配方法只記得公式法，對二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式不會配方，而且對于非整數(shù)運(yùn)算有排斥性.經(jīng)過初、高中銜接課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上掌握了對二次三項(xiàng)式的配方方法.

考慮到較弱班級B班學(xué)生的抽象思維能力的不足，安排在學(xué)習(xí)完成指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后進(jìn)行第二次配方法的教學(xué)，以及學(xué)習(xí)完三角函數(shù)后安排第三次配方法教學(xué).A班按正常高中數(shù)學(xué)進(jìn)度進(jìn)行日常教學(xué)，沒有另外再進(jìn)行配方法的教學(xué).經(jīng)過一年的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)B班學(xué)生配方法學(xué)習(xí)效果好，學(xué)生的抽象思維能力顯著提升.下面把試驗(yàn)情況匯報(bào)如下：

（一）理解配方的基本方法，養(yǎng)成配方習(xí)慣

高一新生初、高中銜接教學(xué)，配方法是常規(guī)課.課前對所教兩個(gè)班級74人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：

從調(diào)查結(jié)果看，有超過60%的學(xué)生不會配方.特別是二次項(xiàng)系數(shù)不是1，對稱軸不是整數(shù)的問題.同時(shí)，了解到大部分學(xué)生對問題（1）配方只是套用公式ax2+bx+c=ax-b2a2+4ac-b24a，自己不會靈活配方.所以說，初中掌握的配方法不足以適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需求，需要在高中進(jìn)一步鞏固與提高.于是在初、高中銜接時(shí)安排了兩個(gè)課時(shí)配方法教學(xué)訓(xùn)練.經(jīng)過學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上掌握了配方法，知道了對于二次式可以通過配方進(jìn)行恒等變形為完全平方式.對于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式基本上可以進(jìn)行配方，更主要是養(yǎng)成了對二次三項(xiàng)式配方的習(xí)慣，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

（二）配方法與換元法結(jié)合，學(xué)生思維的第一次飛躍

對數(shù)學(xué)的抽象性的領(lǐng)悟是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的分水嶺.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)高，則能力強(qiáng)，成績就好，否則數(shù)學(xué)成績差.因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象能力不強(qiáng)，造成對數(shù)學(xué)公式中的字母含義理解不清.例如，y=ax2+bx+c都知道如何配方.但是當(dāng)公式中的x被其他數(shù)學(xué)式代替時(shí)，大部分學(xué)生不能接受，更不會把配方法遷移到其他知識上.

在完成了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)之后，需要求復(fù)合函數(shù)的值域，如求函數(shù)f（x）=22x-2x+3的值域，但是學(xué)生不會，所以在B班安排了把換元法與配方法結(jié)合的小專題課.A班由于基礎(chǔ)較好，沒有單獨(dú)安排，但是教學(xué)中已講授了把換元法與配方法結(jié)合的方法與例題.兩個(gè)班做的對比試驗(yàn)如下：

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，兩個(gè)班的學(xué)生對于單純的配方方法已經(jīng)掌握.A班由于教師沒有系統(tǒng)講解，但有55.3%的學(xué)生抽象水平高，能自覺把2x或log2x抽象成t，然后把問題轉(zhuǎn)化為y=t2-3t+3的值域，然后通過配方求解.其中47.2%學(xué)生發(fā)現(xiàn)了t=2x中t>0的限定條件，把問題圓滿解決.這部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，抽象思維水平高，所以運(yùn)算能力強(qiáng).