王松英

[摘? 要] 文章以4的平方根計(jì)算失誤為例，具體闡述在初中數(shù)學(xué)計(jì)算中常見的失誤原因有思維定式的影響、新舊認(rèn)知沖突與程序跳躍性錯(cuò)誤等. 為了避免這些問題對(duì)計(jì)算的影響，筆者從順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展需求，認(rèn)識(shí)計(jì)算與結(jié)果的關(guān)系和建立概念與符號(hào)的認(rèn)識(shí)三方面出發(fā)提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 平方根;計(jì)算;思維定式

運(yùn)算能力是初中學(xué)生必備的基本技能之一. 新課標(biāo)明確提出：“要注重學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、數(shù)學(xué)感覺與運(yùn)算能力等的培養(yǎng)[1] . ”計(jì)算作為體現(xiàn)運(yùn)算能力的重要指標(biāo)之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的作用. 但從當(dāng)前學(xué)生的實(shí)際計(jì)算水平來看，總存在著一些不盡如人意的地方，不少學(xué)生在一些簡單的計(jì)算中出現(xiàn)失分的現(xiàn)象讓人感到十分惋惜. 鑒于此，筆者以4的平方根計(jì)算失誤為例，具體剖析計(jì)算失誤常見的原因，并提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

常見計(jì)算失誤原因

1. 思維定式的影響

從心理學(xué)角度來看，思維定式是一種習(xí)慣性的反應(yīng)，它具有促進(jìn)問題解決與阻礙問題解決的雙重效應(yīng). 在初中數(shù)學(xué)計(jì)算中，學(xué)生受小學(xué)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的影響，容易出現(xiàn)一些因思維定式產(chǎn)生的計(jì)算錯(cuò)誤. 筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)高頻率出現(xiàn)的受思維定式影響的計(jì)算錯(cuò)誤有：（a+b）2=a2+b2;sin（A+B）=sinA+sinB;4的平方根為2等.

出現(xiàn)4的平方根為2的錯(cuò)誤，從思維定式的角度分析，主要因小學(xué)時(shí)期對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)僅僅停留在正數(shù)上，對(duì)有理數(shù)尚未形成一個(gè)完備的體系，習(xí)慣性地認(rèn)為4的平方根為2，而忽略了-2這個(gè)結(jié)論.

2. 新舊認(rèn)知的沖突

新知的構(gòu)建都是建立在舊知的基礎(chǔ)上的，而新知替代舊知必須經(jīng)歷一個(gè)矛盾沖突的過程，有些學(xué)生在此過程中容易產(chǎn)生計(jì)算上的錯(cuò)誤. 在對(duì)算術(shù)平方根有一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平方根時(shí)，在概念模糊的狀態(tài)下，學(xué)生更傾向于用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)代替新知，或?qū)烧吆隙橐坏厥褂?

計(jì)算4的平方根時(shí)，學(xué)生因無法清晰地辨識(shí)平方根與算術(shù)平方根這兩個(gè)概念，而將它們混為一談，在模棱兩可中出現(xiàn)偷梁換柱的現(xiàn)象. 理所當(dāng)然地認(rèn)為2的平方為4，那么4的平方根必然為2.

3. 程序跳躍性錯(cuò)誤

教學(xué)中，我們常發(fā)現(xiàn)一些計(jì)算能力較強(qiáng)的學(xué)生在計(jì)算時(shí)條理清晰，過程明朗. 但一些運(yùn)算能力較弱的學(xué)生，計(jì)算的精確度就大打折扣，尤其是涉及混合運(yùn)算的計(jì)算，有些學(xué)生懶得書寫計(jì)算步驟，從而出現(xiàn)程序跳躍性錯(cuò)誤，這也是初中數(shù)學(xué)計(jì)算中最常見的錯(cuò)誤原因之一. 如一元二次方程的計(jì)算，一些學(xué)生未能掌握移項(xiàng)、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等計(jì)算順序，導(dǎo)致因程序混亂而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

平方根概念的形成主要建立在方程思想上，而方程思想又建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成一種正序或倒序的綜合體，這種綜合體是正向思維與逆向思維的體現(xiàn). 表征4的平方根時(shí)需要?jiǎng)佑媚嫦蛩季S，這給部分學(xué)生帶來了一定的思維障礙，從而出現(xiàn)程序跳躍性的錯(cuò)誤，單純地認(rèn)為4的平方根為2.

避免計(jì)算錯(cuò)誤的教學(xué)建議

學(xué)生出現(xiàn)的任何錯(cuò)誤信息表征都與教學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系. 作為教師，應(yīng)剖析學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤形成的根本原因，從而改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)方式，以提高學(xué)生的運(yùn)算能力. 筆者在近些年的教學(xué)中，著手研究了如何避免計(jì)算錯(cuò)誤發(fā)生的教學(xué)方法. 在此，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展需求

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中提到：兒童認(rèn)知發(fā)展的第三和第四階段是具體運(yùn)算階段與形式運(yùn)算階段. 其中，第三階段（即具體運(yùn)算階段）的兒童思維活動(dòng)離不開具體事物或內(nèi)容的支持，而第四階段（即形式運(yùn)算階段）的兒童思維則不需要具體事物或內(nèi)容支撐 [2].

例如平方根這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，該時(shí)期學(xué)生的認(rèn)知水平還處于具體運(yùn)算階段或三四階段的交界處. 此時(shí)若想獲得平方根知識(shí)，自然離不開具體事物或內(nèi)容的支持. 因此，教師可借助具體的事物幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)平方根知識(shí)的內(nèi)化.

在練習(xí)中，教師也不能將眼光只停留在問題的答案是否正確上，更重要的是鼓勵(lì)學(xué)生將概念獲得的過程與結(jié)果完整地表述出來. 如求出4的平方根，可鼓勵(lì)學(xué)生如此表達(dá)：因?yàn)椋ā?）2=4，所以4的平方根為±2. 將所表達(dá)的信息看作一種習(xí)慣或固定形式來執(zhí)行，就容易形成一種條件反射. 學(xué)生在個(gè)案中強(qiáng)化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，對(duì)于一些習(xí)慣于過程型導(dǎo)向的學(xué)生效果尤為明顯.

將整體學(xué)習(xí)分解為一個(gè)個(gè)局部記憶，學(xué)生在“刺激——反應(yīng)”的慣性中逐漸實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的飛躍，這為提升學(xué)生的思維搭建了良好的平臺(tái). 因此，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，完整學(xué)生計(jì)算練習(xí)的過程是避免計(jì)算錯(cuò)誤發(fā)生的基礎(chǔ).

2. 認(rèn)識(shí)計(jì)算與結(jié)果的關(guān)系

為了讓學(xué)生理解計(jì)算規(guī)律，掌握計(jì)算技巧，教師真可謂是費(fèi)盡心機(jī). 不少教師將學(xué)生引入他們所熟悉的運(yùn)算領(lǐng)域，利用類比的方法來進(jìn)行各種計(jì)算，如加減法或乘除法的逆運(yùn)算等. 在平方根教學(xué)時(shí)，將開平方與乘方的逆運(yùn)算放在一起思考，這種做法無可厚非，但開平方與乘方還是有區(qū)別的，乘方的計(jì)算與結(jié)果是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而開平方則不一定，這就要看運(yùn)算形式的域與運(yùn)算結(jié)果的域是否在同一范圍內(nèi).

如有理數(shù)范圍內(nèi)的加法，其結(jié)果對(duì)應(yīng)有理數(shù)，而開平方的作用的域是非負(fù)實(shí)數(shù)的范圍，其結(jié)果卻是全體實(shí)數(shù)，此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)關(guān)于0對(duì)稱的正負(fù)實(shí)數(shù)，式子與結(jié)論不是逐一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

為了讓學(xué)生理解這種非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，教師可通過數(shù)形結(jié)合（見圖1）的方式加深學(xué)生的印象. 這種不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系與后期所學(xué)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)在數(shù)軸上是一一對(duì)應(yīng)的內(nèi)容形成類比. 在平方根階段強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)思想可為后期的函數(shù)思想做鋪墊，這對(duì)后期涉及函數(shù)中自變量x的值與y一一對(duì)應(yīng)的教學(xué)大有裨益.

平方根的重要性質(zhì)之一就是計(jì)算結(jié)果具有不唯一性的特征，教師強(qiáng)調(diào)計(jì)算與結(jié)果不是逐一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)此性質(zhì)的理解. 此知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)需用一定數(shù)量的計(jì)算來訓(xùn)練學(xué)生的熟練性，學(xué)生在練習(xí)中感悟開平方與普通運(yùn)算的區(qū)別，以形成開平方的條件反射，提高計(jì)算正確率.

3. 建立概念與符號(hào)的認(rèn)識(shí)

符號(hào)意識(shí)是新課標(biāo)提出的十個(gè)關(guān)鍵詞之一，主要指在理解的基礎(chǔ)上用符號(hào)來表示數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化規(guī)律或數(shù)量關(guān)系. 符號(hào)意識(shí)的建立是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)與思考的重要形式之一. 符號(hào)作為理學(xué)科特有的表現(xiàn)形式，其形成經(jīng)歷了漫長而又曲折的過程，具有深厚的文化底蘊(yùn)與內(nèi)涵. 符號(hào)可視為一種特殊的記號(hào)，反映了數(shù)學(xué)現(xiàn)象或事物的邏輯關(guān)系或內(nèi)在結(jié)構(gòu)，是誘導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展的刺激物 [3].

平方根的概念就是通過符號(hào)信息與文字信息進(jìn)行組合闡述的，在表征平方根信息時(shí)可借助符號(hào)的功能. 例如表征的主問題是開4的平方根，可先寫± ，再將要執(zhí)行的4代入根號(hào)內(nèi)，這樣就能減少丟掉-2的可能. 用這種方式表征的前提是要有良好的符號(hào)與概念對(duì)應(yīng)意識(shí)，將± 與平方根準(zhǔn)確地對(duì)應(yīng)起來.

從廣義上來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不完全是為了知識(shí)，知識(shí)是文化的表現(xiàn)形式，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從根本上來說就是文化的傳承. 教師從這個(gè)高度來看待數(shù)學(xué)教學(xué)、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，就會(huì)真正起到教書育人的效果. 而傳統(tǒng)的教學(xué)模式是機(jī)械式地向?qū)W生介紹 這個(gè)符號(hào)，這就顯得過于生硬，學(xué)生也難以消化. 教師可鼓勵(lì)學(xué)生參與平方根符號(hào)的設(shè)計(jì)活動(dòng)或講述平方根符號(hào)形成的歷史文化等，以此為鋪墊引出平方根的符號(hào)與概念. 因有數(shù)學(xué)文化的潤澤和活動(dòng)的支撐，學(xué)生對(duì)平方根概念與符號(hào)的認(rèn)知建立會(huì)更加牢固.

總之，學(xué)習(xí)是一個(gè)訓(xùn)練心理與行為能力的復(fù)雜過程. 教學(xué)中的任何一個(gè)細(xì)節(jié)都會(huì)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生一定的影響. 作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)立足于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需求與規(guī)律，重視學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，根據(jù)學(xué)生的興趣全方位地關(guān)注整個(gè)教學(xué)過程，避免因思維定式、新舊知識(shí)互相影響以及程序錯(cuò)誤而導(dǎo)致一些計(jì)算錯(cuò)誤的發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]鄭毓信，梁貫成. 認(rèn)知科學(xué)——建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M]. 南京：江蘇教育出版社，1999.

[3]張慶林. 走進(jìn)學(xué)生心靈? 把握教學(xué)細(xì)節(jié)——談輕負(fù)高質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（16）.