葉長(zhǎng)龍，王 瑞，趙 東，于蘇洋

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，沈陽(yáng)110136)

全方位移動(dòng)機(jī)器人以其全方位運(yùn)動(dòng)特性被廣泛關(guān)注和應(yīng)用，尤其在一些特殊場(chǎng)合，如裝配車間，其作為移動(dòng)裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，使裝配變得更加靈活方便[1-2]。為了滿足高端裝配需要，仍需進(jìn)一步分析其運(yùn)動(dòng)及誤差以尋求提高運(yùn)動(dòng)精度的方法。

目前機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析建模與誤差分析建模多采用速度適量法[3]和矩陣法[4]。然而當(dāng)同一構(gòu)件兩端關(guān)節(jié)的軸線互相平行時(shí)，參數(shù)的微小變化將導(dǎo)致末端位姿的階躍，使得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的參數(shù)映射不連續(xù)，若采用旋量方法會(huì)避免這種情況發(fā)生。荊學(xué)東等[5]應(yīng)用螺旋公式使用矩陣指數(shù)和指數(shù)積建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。Yi BJ等[6]用旋量理論建立了移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。Moon等[7]將旋量矩陣微分獲得機(jī)器人的的誤差矩陣。

本文應(yīng)用虛擬連桿原理[8-10]和旋量理論方法[11-14]，以實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的基于MY4輪的全方位移動(dòng)裝配機(jī)器人(MY4-robot)為研究對(duì)象，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與誤差模型，分析了各誤差對(duì)裝配精度的影響，最后提出改進(jìn)方法。

1 全方位機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 MY4-robot

圖1為實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的MY4-robot試驗(yàn)樣機(jī),主要包括全方位移動(dòng)平臺(tái)和并聯(lián)裝配平臺(tái)兩部分，末端執(zhí)行器安置于O1點(diǎn)。其結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[15]中MY3-robot的不同僅在于其全方位移動(dòng)平臺(tái)采用并聯(lián)式MY輪組(即MY4輪)結(jié)構(gòu)，MY4-robot相關(guān)參數(shù)如表1所示。

1.2 全方位機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

1.2.1 全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

MY4-robot底盤(pán)輪結(jié)構(gòu)布局如圖2所示，4組MY4輪組均勻布置，編號(hào)1～4，αj為j號(hào)輪組的布置角。移動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系xroryr與實(shí)際坐標(biāo)系xwowyw重合。or為平臺(tái)的幾何中心，設(shè)定平臺(tái)在圖2a所示位姿為初始位姿。

圖1 MY4-robot樣機(jī)

表1 機(jī)器人的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)

圖2 全方位移動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)

全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可看作：沿xw方向的平移sx，沿yw方向的平移sy及繞幾何中心or的自轉(zhuǎn)θr。如圖3所示，此時(shí)世界坐標(biāo)系為固定基，機(jī)器人的位姿變化為xr→x′ry′r→x″ry″r。

圖3 全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析

由于MY4輪組的驅(qū)動(dòng)始終沿yjr軸方向，為了得到MY4輪組速度與全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系，選取變化后輪組坐標(biāo)系為固定基，以1號(hào)輪組為例，如圖4所示。

圖4 1號(hào)輪組為固定基

當(dāng)移動(dòng)平臺(tái)按如圖4a方式運(yùn)動(dòng)時(shí)，全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解指數(shù)積POE公式為

(1)

移動(dòng)平臺(tái)按圖4b所示方式運(yùn)動(dòng)也可以到達(dá)x″ry″r位姿，全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解指數(shù)積公式為

(2)

由公式(1)、(2)得到螺旋運(yùn)動(dòng)方程

(3)

式(3)中：ξ11=[0,1,0]T、ξ12=[0,0,1]T、ξ13=[1,0,0]T、ξrx=[0,cθrφ1,-sθrφ1]T、ξry=[0,sθrφ1,-cθrφ1]T、ξrθ=[1,0,R]T，表示移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)，其中cθrφ1=cos(θr+φ1)，sθrφ1=sin(θr+φ1)。

輪組驅(qū)動(dòng)只沿yjr軸方向，故由式(3)取得

(4)

同理綜合2、3、4號(hào)輪組可得到全方位移動(dòng)平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

ψP=JP·VP

(5)

式(5)中：VP=[ωP,vx,vy]T，為全方位移動(dòng)平臺(tái)速度矩陣；ψP=[v1,v2,v3,v4]T，為4組輪組驅(qū)動(dòng)速度矩陣；

1.2.2 并聯(lián)裝配平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

并聯(lián)裝配平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)絲杠實(shí)現(xiàn)舉升平臺(tái)上下的伸縮運(yùn)動(dòng)，直線伸縮導(dǎo)軌對(duì)上平臺(tái)起到一定的限位作用，使上平臺(tái)只能繞著導(dǎo)軌的上鉸接位置翻轉(zhuǎn)，所以并聯(lián)裝配平臺(tái)具有兩個(gè)自由度：即通過(guò)兩側(cè)的絲杠實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)沿著z軸方向的舉升和繞著x軸翻轉(zhuǎn)，所以針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)只需要在zroryr面內(nèi)進(jìn)行分析。

圖5為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的zr-or-yr面內(nèi)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。圖5中，θ10、θ11、θ21、θ30、θ31、S1、S2、S3表示關(guān)節(jié)變量，{S}表示慣性坐標(biāo)系，{T}表示工具坐標(biāo)系，末端執(zhí)行器固定于O1點(diǎn)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)包括3條子鏈：1號(hào)鏈P0-P1-O1，2號(hào)鏈Or-O1，3號(hào)鏈Q(jìng)0-Q1-O1。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,取如圖5所示時(shí)刻為參考位姿。

圖5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)zr-or-yr面內(nèi)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖5中3條子鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解指數(shù)積公式為

(6)

(7)

(8)

由公式(6)、(8)得到螺旋運(yùn)動(dòng)方程

(9)

式(9)中：ξP0=[1,0,l]T、ξ′P1=[1,acθ10,l-asθ10]T、ξS1=[0,sθ10,cθ10]T，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)后1號(hào)鏈各運(yùn)動(dòng)副旋量；ξO1=[1,b,0]T、ξS2=[0,0,1]T，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)后2號(hào)鏈各運(yùn)動(dòng)副的旋量坐標(biāo)。

其中a=H+S1，(b=H+S2，c=H+S3)，sθ10=sinθ10，cθ10=cosθ10，后文采用同樣的表達(dá)方式。

(10)

同理，由式(6)、(7)推導(dǎo)可得

(11)

通過(guò)式(10)、(11)的相加與相減，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

ψb=Jb·Vb

(12)

式(12)中，Vb=[ωb,vz]T，為并聯(lián)裝配平臺(tái)末端速度矩陣；Jb=(pη1-qμ1)·(pη2-qμ2)，為逆雅克比矩陣，p=[ξP0+ξP1,ξQ0-ξQ1]+、q=[ξP0+ξP1,ξQ1-ξQ0]+、μ1=[2ξS2,2ξO1-ξP1-ξQ1]、η1=[0,ξQ1-ξP1]、μ2=[ξS1,ξS3]、η2=[ξS1,-ξS3];ψb=[vs1,vs3]，為絲杠伸縮的線性速度。

綜合式(5)、(12)得到全方位移動(dòng)機(jī)器人的整體逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

ψr=Jr·Vr

(13)

2 全方位移動(dòng)機(jī)器人誤差模型

2.1 移動(dòng)平臺(tái)誤差模型

式(5)兩邊同時(shí)乘以dt，可得到移動(dòng)平臺(tái)的簡(jiǎn)單誤差模型

(14)

2.2 仿真分析

圖6 移動(dòng)平臺(tái)位置誤差仿真結(jié)果

通過(guò)比較圖6中的仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)平臺(tái)的位置誤差隨著平臺(tái)姿態(tài)周期性變化而呈現(xiàn)出正余弦周期性變化。分析圖6b、6c、6d、6f和6g，全方位移動(dòng)平臺(tái)位置誤差幅值由圖6b中的0.707 mm升到6f中的1 mm和降到6c、6d及6g中接近于0 mm可知，對(duì)稱位置輪組的驅(qū)動(dòng)誤差同向相等時(shí)可抵消對(duì)平臺(tái)位置誤差的影響，但對(duì)稱輪組驅(qū)動(dòng)誤差反向時(shí)反而會(huì)增加對(duì)平臺(tái)位置誤差的影響。比較圖6a和圖6h，移動(dòng)平臺(tái)位置誤差幅值由6a中的0.5 mm降到6h中的0.05 mm表明平臺(tái)的位置誤差與輪組驅(qū)動(dòng)誤差成正比；圖6b和圖6e對(duì)比分析，位置誤差幅值都為0.707 mm可知，非對(duì)稱輪組驅(qū)動(dòng)誤差的方向不會(huì)改變平臺(tái)整體位置誤差峰值大小，只會(huì)改變平臺(tái)達(dá)到位置誤差峰值時(shí)的姿態(tài)角度。

圖7中的仿真結(jié)果表明平臺(tái)的姿態(tài)誤差與平臺(tái)起始姿態(tài)角無(wú)關(guān)。圖7a表明隨著存在誤差的輪組數(shù)量的增加平臺(tái)的姿態(tài)誤差增大；圖7b表明平臺(tái)姿態(tài)誤差隨著輪組驅(qū)動(dòng)誤差的增大而增大；分析圖7c發(fā)現(xiàn)輪組間驅(qū)動(dòng)誤差方向相反時(shí)對(duì)平臺(tái)姿態(tài)誤差的影響有抵消作用。上述發(fā)現(xiàn)為降低該類全方位移動(dòng)平臺(tái)位姿誤差提供了參考依據(jù)，即可以通過(guò)采取合適的控制方法提高各對(duì)稱位置輪組驅(qū)動(dòng)誤差的同步性來(lái)降低平臺(tái)的位置誤差。同時(shí)，在單輪驅(qū)動(dòng)精度很難進(jìn)一步提高的情況下，轉(zhuǎn)而調(diào)整控制算法使輪組間驅(qū)動(dòng)誤差方向相異，以達(dá)到進(jìn)一步降低平臺(tái)姿態(tài)誤差的目標(biāo)。

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 移動(dòng)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)

移動(dòng)平臺(tái)的仿真軌跡為

(16)

仿真結(jié)果如圖8所示。

在地面上粘貼長(zhǎng)半軸為1 000 mm，短半軸為600 mm的橢圓理想軌跡，帶寬16 mm。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖9所示。圖10顯示了移動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的實(shí)際軌跡，其中黑色區(qū)域?yàn)闃?biāo)定理想軌跡域，白色線條為記錄的實(shí)際軌跡。

因?yàn)闄C(jī)器人輪子驅(qū)動(dòng)誤差很難定量控制，實(shí)驗(yàn)中通過(guò)人為設(shè)定速度偏差，忽略不可控誤差，以驗(yàn)證結(jié)論的正確性。通過(guò)圖9、圖10可以看出機(jī)器人成功地完成了設(shè)定的軌跡運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明對(duì)稱輪組驅(qū)動(dòng)誤差同向相等時(shí)可抵消對(duì)平臺(tái)位置誤差結(jié)論的正確性，同時(shí)也驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

圖8 仿真結(jié)果

圖9 機(jī)器人跟蹤軌跡實(shí)驗(yàn)

圖10 實(shí)際軌跡

3.2 舉升翻轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)

并聯(lián)平臺(tái)的仿真軌跡為

(17)

仿真結(jié)果如圖11所示。

對(duì)并聯(lián)裝配平臺(tái)進(jìn)行了兩組實(shí)驗(yàn)，兩組實(shí)驗(yàn)分別為舉升實(shí)驗(yàn)(如圖12所示)和翻轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)(如圖13所示)。實(shí)驗(yàn)采用分辨率為0.1°的數(shù)字螺距尺來(lái)測(cè)量上平臺(tái)的翻轉(zhuǎn)角度，通過(guò)海克斯康視覺(jué)檢測(cè)系統(tǒng)來(lái)測(cè)量其舉升高度，其分辨率為0.1 mm，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中放置重物的重量為6 kg。兩組實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

圖11 仿真結(jié)果

圖12 舉升實(shí)驗(yàn)

圖13 舉升實(shí)驗(yàn)

表2 舉升實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)旋量模型的舉升和翻轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)誤差分別在1 mm和1°左右，驗(yàn)證了并聯(lián)裝配平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，但與高精密作業(yè)精度要求還有差距。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用旋量理論的指數(shù)積公式建立了全方位移動(dòng)裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，避免了位姿階躍。速度矢量方法建立的移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是先確定輪的驅(qū)動(dòng)方式后建立模型，而旋量方法可以一次得到多種運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，然后根據(jù)實(shí)際選取的驅(qū)動(dòng)方式得到特定的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)與樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種建模方法的有效性。并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用旋量理論的指數(shù)積公式結(jié)合虛擬連桿原理建立了全方位移動(dòng)裝配機(jī)器人的誤差模型。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析這種關(guān)系得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)于該類全方位移動(dòng)平臺(tái)，對(duì)稱的輪組的驅(qū)動(dòng)誤差相近時(shí)平臺(tái)的位置誤差會(huì)減小，平臺(tái)的姿態(tài)誤差與輪組的誤差始終成正比，非對(duì)稱輪組驅(qū)動(dòng)誤差的方向不會(huì)改變平臺(tái)整體位置誤差幅值大小，其只會(huì)改變平臺(tái)達(dá)到位置誤差峰值時(shí)的姿態(tài)角度；

(2)隨著存在誤差的輪組數(shù)量的增加平臺(tái)的姿態(tài)誤差增大，平臺(tái)姿態(tài)誤差隨著輪組驅(qū)動(dòng)誤差的增大而增大，輪組間驅(qū)動(dòng)誤差方向相反時(shí)對(duì)平臺(tái)姿態(tài)誤差的影響有抵消作用。

通過(guò)分析仿真結(jié)果提出幾點(diǎn)改進(jìn)措施：

(1)根據(jù)全方位移動(dòng)機(jī)器人在X和Y方向的精度要求的不同，調(diào)整機(jī)器人的姿態(tài)角度從而提高機(jī)器人在某一方向(如X和Y方向)的精度要求；

(2)在滿足運(yùn)動(dòng)要求前提下，采用盡量少的驅(qū)動(dòng)輪組數(shù)量;

(3)提高鉸接的內(nèi)孔與桿長(zhǎng)的尺寸精度，以進(jìn)一步提高整體運(yùn)動(dòng)精度。以上措施為該類全方位移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度的深入研究提供參考。