吳哲昊 張群力 王天裕 方 波 周科均

(1.浙江省建筑設(shè)計(jì)研究院，杭州 310006； 2.浙江新盛建設(shè)集團(tuán)有限公司，杭州 310011； 3.杭州吉易科技有限公司，杭州 310051； 4.浙江中南建設(shè)集團(tuán)鋼構(gòu)有限公司，杭州 310051)

1 自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)與彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

1.1 自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)整體幾何形態(tài)不能用解析函數(shù)精確表達(dá)或擬合，但能以任何方式自由變換的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，具有形式多樣化和自由化的特點(diǎn)，但其網(wǎng)格劃分存在一定的難度。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)的進(jìn)步，建筑造型藝術(shù)的提高和人們審美水平的改變，自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)越來(lái)越多地出現(xiàn)在大眾的視野中，該類空間結(jié)構(gòu)具有靈活的外形設(shè)計(jì)，體現(xiàn)出較好的視覺表現(xiàn)力，并能滿足豐富的建筑使用需求，因而日益獲得建筑師和結(jié)構(gòu)師的青睞，逐漸被應(yīng)用于標(biāo)志性公共建筑中[1]。

1.2 彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)[2]屬于自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中的一種，其構(gòu)件截面大多采用矩形或多邊形，截面形心約束在控制曲線上。彎扭構(gòu)件的四個(gè)表面及四條棱邊線在空間連續(xù)變化，將控制曲線的曲率、撓率變換充分地展現(xiàn)出來(lái)，從而能提供比圓形截面空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)更豐富多彩的視覺效果，但在幾何建模時(shí)與圓形截面構(gòu)件相比，需增加矩形截面姿態(tài)信息。從2008年北京奧運(yùn)會(huì)主場(chǎng)館鳥巢開始，我國(guó)出現(xiàn)了一批彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)造型的建筑，其中最具代表的是北鳥巢南春繭和北京鳳凰國(guó)際中心[3]。這些優(yōu)秀的建筑設(shè)計(jì)不僅突破了傳統(tǒng)建筑造型觀念的束縛，還引領(lǐng)了我國(guó)建筑行業(yè)中數(shù)字化設(shè)計(jì)、數(shù)字化建造、數(shù)字化運(yùn)營(yíng)的潮流。通過(guò)這些工程的實(shí)踐，大大提高了我國(guó)建筑行業(yè)BIM的實(shí)際運(yùn)用水平。在2022年杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球館和游泳館設(shè)計(jì)中都可以看到采用彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)造型的建筑形式。

彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)由彎扭構(gòu)件斜交組成，彎扭構(gòu)件可以由剛性截面運(yùn)動(dòng)掃掠成形，當(dāng)構(gòu)件截面控制軸線為空間曲線時(shí)稱為彎扭構(gòu)件，構(gòu)件截面控制軸線為平面曲線時(shí)稱為彎曲構(gòu)件。本文介紹彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)幾種不同的幾何建模方法，這些方法在2022杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球館的彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)并取得理想效果，高效、高質(zhì)量的幾何模型驗(yàn)證了方法的有效可靠性。本文中的圖片除了圖1和圖2外，都來(lái)自乒乓球館的參數(shù)化設(shè)計(jì)過(guò)程。

圖1 自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

圖2 自由形態(tài)空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

圖3 2022杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球館彎扭斜交網(wǎng)格

圖4 2022杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球館彎扭斜交網(wǎng)格

2 自由曲面上的網(wǎng)格及網(wǎng)格優(yōu)化

2.1 曲面上優(yōu)美網(wǎng)格剖分方法

曲面上有很多重要的參數(shù)曲線如曲率線、測(cè)地線、漸進(jìn)線、斜駛線等等，用它們就可以構(gòu)造許多重要的參數(shù)網(wǎng)格。實(shí)際應(yīng)用中為了對(duì)彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何建模，首先要在控制曲面上先建立一個(gè)優(yōu)美的斜交曲線網(wǎng)格作為彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)截面的定位軸線系統(tǒng)。

當(dāng)前自由曲面上網(wǎng)格雖然已有各種各樣的劃分理論和方法，但尚未有成熟且適用性廣的網(wǎng)格劃分理論和方法，相應(yīng)的一體化輔助設(shè)計(jì)軟件，更多時(shí)候是根據(jù)具體工程情況，建筑師和結(jié)構(gòu)師相互溝通、反復(fù)協(xié)調(diào)合作，手動(dòng)生成網(wǎng)格加以優(yōu)化，該方法設(shè)計(jì)效率較低。

Rhino軟件、CATIA軟件、自由曲面網(wǎng)格劃分專用軟件ZD-mesher等專用幾何造型軟件，都具有較好的曲面、曲線的幾何操作功能，為相關(guān)設(shè)計(jì)人員提供所需的技術(shù)支撐。主要功能包括，在自由曲面上任意畫線、曲線的調(diào)整、曲線的分段； 曲面的分區(qū)、曲面的展開； 采用Delaunay三角網(wǎng)格劃分、映射法網(wǎng)格劃分及調(diào)整技術(shù)、波前法、基本曲面展開的引導(dǎo)線波前法、映射—擬桁架等網(wǎng)格劃分方法。

2.2 乒乓球館彎扭斜交網(wǎng)格定位軸線優(yōu)化

曲面上網(wǎng)格的最優(yōu)控制指標(biāo)是根據(jù)造型設(shè)計(jì)要求所確定，通常情況下，曲面上一個(gè)良好的造型網(wǎng)格應(yīng)該滿足以下幾個(gè)基本控制條件。曲線的光順性、網(wǎng)格大小、夾角的均勻性、良好的漸進(jìn)性和對(duì)復(fù)雜曲面的適應(yīng)性、可參數(shù)化調(diào)整(網(wǎng)格曲線為等參曲線、等值曲線)。編寫相關(guān)子程序“按最優(yōu)控制指標(biāo)設(shè)定的獎(jiǎng)罰函數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算，條件判斷直到滿足精度，最后給出網(wǎng)格圖形”。子程序中含有以下幾個(gè)過(guò)程體：

(1)利用控制曲面的邊界曲線上按設(shè)定的線段長(zhǎng)度劃分，確定曲面內(nèi)部?jī)蓚€(gè)斜交方向曲線網(wǎng)格初步劃分。

(2)根據(jù)初步劃分，計(jì)算網(wǎng)格邊長(zhǎng)、夾角、面積等幾何量。按控制指標(biāo)和獎(jiǎng)罰函數(shù)自動(dòng)迭代調(diào)整網(wǎng)格的交點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)用分段測(cè)地線取代原始網(wǎng)格曲線，提高網(wǎng)格曲線的整體光順要求，其中第(2)與第(3)可由程序自動(dòng)判斷交替執(zhí)行。計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序后就能給出令人滿意的曲面上網(wǎng)格效果。

圖5中：頂上的網(wǎng)格用邊長(zhǎng)及夾角大小作為主要的優(yōu)化控制指標(biāo)迭代生成，中間的網(wǎng)格用曲線的光順性作為主要的優(yōu)化控制指標(biāo)迭代生成，底下的網(wǎng)格用邊長(zhǎng)及夾角大小及曲線光順性共同作為優(yōu)化控制指標(biāo)迭代生成。

圖5 網(wǎng)格優(yōu)化

圖6 控制網(wǎng)格與控制曲面

3 曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)

3.1 曲面上的黎曼度量

受高斯曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何啟發(fā)，黎曼提出了n維流形的概念，這是更高層次的數(shù)形結(jié)合。曲面是二維流形，是內(nèi)部可以進(jìn)行幾何討論維數(shù)最低的空間。R3中的光滑曲面(二維流形)在剛體運(yùn)動(dòng)群下的完全不變量組是曲面的第一基本形式(內(nèi)蘊(yùn))和第二基本形式(外在)，這二個(gè)基本形式須滿足Gauss-Codazzi條件。曲面的度量(內(nèi)蘊(yùn))由曲面的第一基本形式表達(dá)，由R3中歐氏度量在曲面上誘導(dǎo)出來(lái)的一種黎曼度量，黎曼度量是張量場(chǎng)的一個(gè)重要特例，度量提供了切空間的內(nèi)積，且可以測(cè)量流形上曲線的長(zhǎng)度。度量在流形上定義了一個(gè)距離函數(shù)使之成為一個(gè)度量空間。利用曲面上的度量，就可以定義曲線的弧長(zhǎng)、曲面的面積、兩曲線的夾角、高斯曲率的等幾何量，在曲面上進(jìn)行幾何計(jì)算。曲面和平面最大的區(qū)別是以曲代平，因此曲率是最重要的概念，而聯(lián)絡(luò)是研究曲率的最重要的工具[4]。意大利數(shù)學(xué)家列維齊維塔(Levi-Civita)對(duì)彎曲空間上的幾何做出了突出貢獻(xiàn)，1917年他發(fā)現(xiàn)了著名的平行移動(dòng)，這是切向量保持內(nèi)積的一個(gè)無(wú)窮小變換，也是聯(lián)絡(luò)的一個(gè)實(shí)例。關(guān)于列維—齊維塔平行移動(dòng)的一個(gè)突出事實(shí)表明：正是平行移動(dòng)，而不是黎曼度量，對(duì)涉及曲率的絕大多數(shù)性質(zhì)做出了解釋。

3.2 曲面上向量場(chǎng)的協(xié)變微分(或Levi-Civita聯(lián)絡(luò))

歐氏幾何中的平行性公理獨(dú)立于其它公理具有特殊意義，其研究導(dǎo)致了非歐幾何的誕生。曲面上Levi-Civita平行移動(dòng)解釋了Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的幾何意義。曲面上的測(cè)地線相當(dāng)于平面上的直線，例如，直線的曲率為0，而測(cè)地線的測(cè)地曲率為0； 平面上兩點(diǎn)間的最短距離是直線，曲面上(在小范圍內(nèi))兩點(diǎn)間最短的距離是測(cè)地線； 假如過(guò)這兩點(diǎn)有測(cè)地線連接，平面上給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)方向后能決定一條直線，曲面上給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)方向后，也能決定一條測(cè)地線。但是直線還有一個(gè)性質(zhì)，即直線上的切向量都是平行的，為了把這個(gè)性質(zhì)推廣到測(cè)地線上，必須先把平面上的平行的概念推廣到曲面上。聯(lián)絡(luò)的概念與向量平移有關(guān)，因此要將平面上的向量平移的概念推廣到曲面上來(lái)。

曲面上的向量是指曲面上切于該曲面的向量，如果把曲面P點(diǎn)處的向量a按三維歐氏空間中的平移，平移到曲面的Q點(diǎn)處，那么向量a在Q點(diǎn)處不一定是切于該曲面的，因此a在Q點(diǎn)處不一定是曲面上的向量。因此我們不能用R3中的平移方式來(lái)討論曲面上的向量是否平行，必須改變?cè)械臍W氏平移概念[5]。

將曲面S上曲線C上的向量場(chǎng)α(s)沿曲線的微分da(s)，按曲面的法線n方向投影到曲面S的切平面上，就得到了協(xié)變微分Da(s)。協(xié)變微分是一種線性微分算子有時(shí)也稱為聯(lián)絡(luò)，利用它可以建立曲面上的向量場(chǎng)不同點(diǎn)之間的保向量長(zhǎng)度、保內(nèi)積的一種同構(gòu)關(guān)系。曲面S上的向量α(s)經(jīng)過(guò)普通微分后得到的da(s)，一般不再是曲面S上的向量，而經(jīng)過(guò)協(xié)變微分后得到的向量Da(s)，仍然為曲面上的向量。因此在曲面上可用協(xié)變微分代替普通微分。另外，由協(xié)變微分的公式可以看出協(xié)變微分的概念只涉及曲面的第一基本形式，與度量的微分有關(guān)，因此聯(lián)絡(luò)概念也是屬于曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何。根據(jù)黎曼幾何的基本定理可知，曲面上給定一個(gè)黎曼度量g后，可以得到一個(gè)唯一確定的相容Dg=0且無(wú)撓聯(lián)絡(luò)D，這個(gè)聯(lián)絡(luò)稱為曲面關(guān)于該黎曼度量的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)。協(xié)變微分沿曲線為零時(shí)，稱向量場(chǎng)沿曲線C在Levi-Civita意義下平行。

有了協(xié)變微分的概念，就可以把平行的概念推廣到曲面上去，平面上一個(gè)向量場(chǎng)a是平行向量場(chǎng)的充要條件是da=0，也就是說(shuō)a為常向量(長(zhǎng)度、方向均不改變)。類似地，設(shè)a(s)是曲面S上曲線C的向量場(chǎng)。如果Da=0，那么稱向量場(chǎng)a(s)是沿曲線C平行向量場(chǎng)，或者說(shuō)向量場(chǎng)a(s)中的向量(沿曲線C)是互相平行的。也可以說(shuō)向量場(chǎng)中的向量是由a(s0)經(jīng)過(guò)(沿曲線C)平行移動(dòng)得到的。稱這種平移為L(zhǎng)evi-Civita平移。

注記1：曲面上任意兩個(gè)點(diǎn)A、B可用無(wú)數(shù)條曲線進(jìn)行連接，每條曲線決定一種Levi-Civita平移(與路徑有關(guān))。如果起點(diǎn)A的向量不同，該Levi-Civita平移會(huì)產(chǎn)生不同的Levi-Civita平移向量場(chǎng)(與初始向量有關(guān))。

注記2：對(duì)曲面S上任一點(diǎn)P，作S上過(guò)P的閉環(huán)路，若把P點(diǎn)的切平面中的向量，沿著這個(gè)閉環(huán)路作平行移動(dòng)后再回到P點(diǎn)，兩個(gè)向量不重合，相差一個(gè)旋轉(zhuǎn)角(該角度與曲面的高斯曲率在曲線所包圍區(qū)域內(nèi)的積分有關(guān))。由此得到切平面到其自身的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，如取遍所有閉環(huán)路時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的切平面中的旋轉(zhuǎn)變換全體就構(gòu)成切平面上的旋轉(zhuǎn)變換群的一個(gè)子群，稱為P點(diǎn)的和樂群(holonomy group)。

3.3 曲面上的平行曲線及等距曲線問題

平面上的等距曲線關(guān)系就是平行曲線關(guān)系，但曲面上曲線的平行與等距概念涉及度量與聯(lián)絡(luò)的概念就變得較為復(fù)雜。

(1)曲面上的測(cè)地等距曲線

平面上等距曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離是歐氏直線距離，曲面上兩點(diǎn)間的距離與連接這兩點(diǎn)間的路徑有關(guān)，它們的下確界就是連接這兩點(diǎn)的短程線的長(zhǎng)度。這個(gè)長(zhǎng)度稱為測(cè)地距離。所以曲面上(直紋曲面除外)只有測(cè)地距離意義下的等距線。這種等距關(guān)系稱為曲面上的測(cè)地等距曲線。

(2)曲面上Levi-Civita意義下的平行曲線

平面上平行曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的切向量互相平行，但曲面上切向量只能作Levi-Civita意義下平行移動(dòng)，所以曲面上只有Levi-Civita意義下平行曲線(兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的切向量在Levi-Civita意義下平行)。這種平行關(guān)系稱為曲面上Levi-Civita意義下的平行曲線。

可用以下方法，利用測(cè)地線來(lái)判斷曲面上的兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的切向量在Levi-Civita意義下是否平行。設(shè)A1∈L1，A2∈L2，兩條曲線L1，L2對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，A2上的切向量為r1，r2，判斷r1與r2是Levi-Civita平行的方法很簡(jiǎn)單，

將r1，r2用測(cè)地線連接起來(lái)，再將r1從A1點(diǎn)沿著測(cè)地線作Levi-Civita平行移動(dòng)(移動(dòng)過(guò)程中r1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)上測(cè)地線的切向量始終保持夾角不變)到達(dá)A2點(diǎn)后若r1與r2重合。稱r1與r2是Levi-Civita意義下平行的。當(dāng)兩條曲線上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的切向量都有Levi-Civita意義下平行(兩個(gè)切向量場(chǎng)是Levi-Civita平行的)，這兩條曲線就是Levi-Civita平行的。

(3)曲面上曲線的偏移(Offset)曲線

由于曲面上曲線的“等距”、“平行”性質(zhì)對(duì)幾何形體的觀察、修改及參數(shù)化是直觀而重用的，但是除了極少數(shù)曲面(如直紋曲面)上的曲線可以較方便構(gòu)造等距線、平行曲線外。一般曲面上曲線的Levi-Civita意義下的平行曲線、測(cè)地等距曲線都很難構(gòu)造。為解決此問題許多幾何造型軟件上推出了曲線的偏移(Offset)曲線。偏移曲線只是部分地滿足了等距曲線或平行曲線的幾何性質(zhì)。在滿足設(shè)計(jì)精度的前提下，可用曲面上曲線的偏移曲線近似代替曲面上曲線測(cè)地等距曲線以及Levi-Civita平行曲線。

4 彎扭斜交網(wǎng)格幾何模型

4.1 直紋曲面S‖

用控制曲面上切叢約束在控制曲線L上的子切叢的一個(gè)特殊叢截面(L上的一個(gè)水平向量場(chǎng))構(gòu)造出直紋曲面S‖。曲面S上任一點(diǎn)上都有一張切平面，曲面及曲面上的所有切平面構(gòu)成曲面的切叢。由曲面S的切叢在曲線L上的限制可以得到限制在曲線L上的子切叢TL(TL由L上每一點(diǎn)上的切平面構(gòu)成)由L上每一個(gè)點(diǎn)上S的切平面中與L的切線垂直的切向量組成TL的一個(gè)叢截面～L上的一個(gè)水平向量場(chǎng)，由該向量場(chǎng)可得到一張直紋曲面S‖。(詳見圖7)

圖6 控制網(wǎng)格與控制曲面

圖7 S‖水平直紋曲面與它的法向等距面

4.2 直紋曲面S⊥

用控制曲面S上約束在控制曲線L上，S的法向量場(chǎng)組成的垂直(S的)向量場(chǎng)構(gòu)造出直紋曲面S⊥。曲面S上任一點(diǎn)上都有一條法線，曲面上的所有法線構(gòu)成曲面上的法向量場(chǎng)，由曲面S的法向量場(chǎng)在曲線L上的限制可以得到L上的子法向量場(chǎng)～垂直向量場(chǎng)，由該向量場(chǎng)可得到一張直紋曲面S⊥。(詳見圖8)

圖8 S⊥垂直直紋曲面和它的等距面

4.3 用參數(shù)曲面求交、等厚殼鏤空等構(gòu)造彎扭斜交網(wǎng)格幾何模型—-方法1

(1)模型分析(用方法1可生成M和N二種模型； N模型詳見圖9，M模型詳見圖10)

圖9 S⊥+S‖的法向等距面生成的模型(方法1生成的N模型)

圖10 殼與鏤空殼(方法1，M模型)

由控制曲面S+S⊥的法向等距面生成等厚殼鏤空模型M和由直紋曲面S‖+S⊥的法向等距面生成等厚殼鏤空模型N之間的比較。顯然S‖與S沿著L相切，S⊥與S沿著L相垂直，所以這兩張直紋曲面沿著曲線L保持垂直關(guān)系。用S⊥的等距曲面和S的等距曲面可以得到關(guān)于S的等厚殼鏤空后的模型M。用S⊥的等距曲面和S‖的等距曲面我們就可以得到關(guān)于S‖的等厚殼鏤空后的模型N。模型M和N的側(cè)面相同均為S⊥的等距面，M的前后兩個(gè)面為S的等距面，N的前后兩個(gè)面為的S‖等距面。M與N在前后兩個(gè)表面上沿中曲線相切，共用同一法向量(保持一階幾何接觸關(guān)系)。

再討論一下兩種模型的不同加工工藝，S+S⊥生成的等厚殼鏤空后的模型M可用于減料加工(在具有初始形狀的原材料上經(jīng)過(guò)切、削、磨等工藝制作成形)的制造工藝加工制作，由于它的前后兩個(gè)曲面是S的等距曲面，與S一樣是自由曲面，其高斯曲率一般不等于0，是不可展曲面。對(duì)于S‖+S⊥生成的模型N來(lái)說(shuō)，由于S⊥和S‖都是可展的直紋曲面(高斯曲率等于0)，直紋曲面經(jīng)法向等距映射后仍然是直紋曲面。所以彎扭斜交網(wǎng)格模型N的四個(gè)表面都是可展的直紋曲面，因此可以用平面板材通過(guò)彎扭的方法加工制作彎扭板件來(lái)擬合模型。

注記：如果控制曲面上的控制曲線是測(cè)地線或分段測(cè)地線，那么按我們的構(gòu)造方法得到的曲面S‖實(shí)際上是測(cè)地線L上的一個(gè)Levi-Civita平行向量場(chǎng)Lr2。因?yàn)楦鶕?jù)測(cè)地線性質(zhì)定理可知，測(cè)地線上每一個(gè)點(diǎn)上的單位切向量構(gòu)成了測(cè)地線上的一個(gè)Levi-Civita平行向量場(chǎng)Lr1。(r1為L(zhǎng)的切向量，r2為切平面上與r1垂直的向量)事實(shí)上在構(gòu)造S‖時(shí)，要求在測(cè)地線L任一點(diǎn)上，向量場(chǎng)Lr1和向量場(chǎng)Lr2的向量的夾角保持不變(始終垂直)，向量長(zhǎng)度保持不變，內(nèi)積不變。

4.4 曲面S⊥和曲面S‖的參數(shù)方程

設(shè)曲面S的參數(shù)方程是r(u，v)，為雙參數(shù)方程，參數(shù)u， v是獨(dú)立參數(shù)，當(dāng)兩個(gè)參數(shù)都是另一個(gè)參數(shù)t的函數(shù)時(shí)互相之間就不再獨(dú)立了。這時(shí)雙參數(shù)的曲面方程也成為了一個(gè)單參數(shù)的曲線方程r(u，v)=r(u(t)，v(t))=r(t)。

圖11 需要鏤空的棱形邊界線

(1)構(gòu)造S⊥參數(shù)方程

設(shè)S曲面r(u，v)上的單位法向量場(chǎng)為r′u×r′v=n(u，v)，它約束在曲線L上的法向量場(chǎng)為n(u(t)，v(t))=n(t)。

法向直紋曲面S⊥方程為：r(s，t)=r(t)+sn(t)

其中，s、t為參數(shù)，

其中，k為常數(shù)表示S⊥的法向映射距離。當(dāng)k激活成為參數(shù)后，就得到三維流形r(s，t，k)=r(s，t)+kn(s，t)(關(guān)于S⊥的等厚體)。

(2)構(gòu)造S‖參數(shù)方程

設(shè)S曲面上曲線L的方程為r(t)，S曲面在P點(diǎn)的單位法向量為n(t)，曲線上任一點(diǎn)P上的單位切向量為r′(t)。

在P點(diǎn)曲面S切平面上的且與R′(t)垂直的單位切向量為r′(t)×n(t)=m(t)

切向直紋曲面S‖方程為：R(s，t)=r(t)+sm(t)其中，s、t為參數(shù)，

S‖的法向量為R′s×R′t=m(s，t)

4.5 基于曲線曲面上的活動(dòng)標(biāo)架建立彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)模型——方法2(用方法2生成的模型詳見圖12、圖14、圖16)

圖12 室內(nèi)效果(方法2生成的模型)

圖13 離散的——活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)與截面場(chǎng)

圖14 活動(dòng)標(biāo)架+LOFT模型(方法2生成的模型)

圖16 外部效果(曲翹點(diǎn)為4#點(diǎn)，方法2生成的模型)

活動(dòng)標(biāo)架外微分法是微分幾何中的重要工具。在這里介紹利用曲線、曲面上的活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)，對(duì)斜交彎扭網(wǎng)格進(jìn)行建模。R3中的光滑曲線在剛體運(yùn)動(dòng)群下的完全不變量組是它的弧長(zhǎng)、曲率和撓率。設(shè)s是曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)，α(s)，β(s)，γ(s)是曲線的切矢、主法矢、付法矢。曲線上的Frenet標(biāo)架場(chǎng){r(s)；α(s)，β(s)，γ(s)}是十分重要的，它的導(dǎo)數(shù)公式就是Frenet公式，其中的系數(shù)恰好就是曲率和撓率，曲線論基本定理的證明需要利用Frenet公式。

(1)活動(dòng)標(biāo)架結(jié)合sweep 曲面的幾何建模

Sweep(掃掠)操作在刻劃復(fù)雜形體的曲面和實(shí)體的幾何造型系統(tǒng)中具有很強(qiáng)的造型功能。作為Sweep運(yùn)動(dòng)的物體，可以是一個(gè)點(diǎn)，也可以是曲線或曲面甚至是實(shí)體。在基于Sweep的幾何造型中，一個(gè)基本的問題是運(yùn)動(dòng)路徑上活動(dòng)標(biāo)架的確定，尤其是對(duì)于運(yùn)動(dòng)路徑是空間曲線的情形，它直接影響到生成Sweep曲面的形狀控制，在其它應(yīng)用中，也直接影響運(yùn)動(dòng)物體的形狀和姿態(tài)的調(diào)整。一條空間曲線上有無(wú)數(shù)種活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)，常用的有Frenet標(biāo)架、RMF標(biāo)架(最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架)及GTF(廣義平移標(biāo)架)等，它們所生成的Sweep曲面的形狀效果是不同的。問題是如何在路徑曲線上放置局部標(biāo)架，利用局部標(biāo)架對(duì)運(yùn)動(dòng)物體作定位或姿態(tài)的調(diào)整。

Sweep曲面通常可以用以下構(gòu)造式來(lái)表示：

S(t，s)=γ(s)+C1(t，s)N+C2(t，s)B

其中，γ(s)是路徑，C=(C1(t，s)，C2(t，s))為平面截線(空間截線所生成的曲面形狀類似； 因此可轉(zhuǎn)化為平面情形)，它可以沿路徑形變或扭轉(zhuǎn)，N、B是沿著路徑運(yùn)動(dòng)的活動(dòng)標(biāo)架的兩個(gè)單位矢量。我們未采用上面三種常用標(biāo)架，而是利用控制曲面、曲線上的線性結(jié)構(gòu)建立一個(gè)專用活動(dòng)標(biāo)架。彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的每根桿件可以由一個(gè)矩形邊框(或矩形環(huán))，將其中心約束在控制曲線上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，在控制曲線的每一點(diǎn)上，該矩形框的姿態(tài)可由該點(diǎn)上一個(gè)專用活動(dòng)標(biāo)架所確定。用sweep操作可以得到高精度的彎扭構(gòu)件模型。

(2)活動(dòng)標(biāo)架結(jié)合loft(放樣曲面)的幾何建模

采用控制曲線及該曲線上的活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)還可以用loft(放樣)曲面的方法建立變截面的彎扭斜交網(wǎng)格的構(gòu)件模型。

實(shí)際上在計(jì)算機(jī)上建模時(shí)往往是利用活動(dòng)標(biāo)架建立離散的截面場(chǎng)(詳見圖13)，再用loft(放樣)的方法得到loft曲面來(lái)近似代替Sweep(掃掠)曲面。

(3)建立控制曲面、曲線上的專用活動(dòng)標(biāo)架場(chǎng)

設(shè)P為曲線L上一個(gè)點(diǎn)，L為曲面S上的一條曲線：P∈L?S，利用P點(diǎn)曲線L的單位切向量作為P的活動(dòng)標(biāo)架的第一基矢r1，曲面S的單位法向量作為P點(diǎn)的活動(dòng)標(biāo)架的第二基矢r2，r1×r2=r3作為P的活動(dòng)標(biāo)架的第三基矢。即得P點(diǎn)的活動(dòng)標(biāo)架(P；r1，r2，r3)。利用該標(biāo)架中的平面直角坐標(biāo)系(P；r2，r3)，由活動(dòng)標(biāo)架的構(gòu)造過(guò)程可知該坐標(biāo)系位于曲線的法平面中，就可以將彎扭構(gòu)件的正截面布置在R3空間中，其中矩形的兩個(gè)主軸分別與r2，r3重合。

具體步驟如下：

1)建立控制曲面上的斜交曲線網(wǎng)格；

2)對(duì)每條網(wǎng)格線按弧長(zhǎng)等分；

3)在每個(gè)分點(diǎn)上建立活動(dòng)標(biāo)架；

4)在每個(gè)標(biāo)架平面上用歐氏幾何布置桿件的截面；

5)用放樣的方法得到loft曲面。當(dāng)截面足夠密時(shí)，所得到的loft曲面就會(huì)逼近Sweep曲面。

5 彎扭構(gòu)件上的玻璃幕墻龍骨及玻璃裁剪與排布方法

5.1 幕墻龍骨

彎扭斜交網(wǎng)格區(qū)域的玻璃幕墻龍骨可以利用彎扭構(gòu)件的活動(dòng)標(biāo)架來(lái)建立三維模型(圖15)。因?yàn)樗目刂魄媾c鋼結(jié)構(gòu)的控制曲面是(法向)等距曲面關(guān)系，其控制曲線與鋼結(jié)構(gòu)的控制網(wǎng)線也是(法向)等距線關(guān)系。

圖15 彎扭斜交網(wǎng)格帶龍骨

5.2 玻璃的裁剪與排布

前面已對(duì)曲面上曲線的測(cè)地等距線、曲線的Levi-Civita平行曲線進(jìn)行了討論，在三維建模時(shí)，在滿足設(shè)計(jì)精度的前提下可以利用(offset)偏移曲線來(lái)代替“平行”或“等距”曲線。

將等距曲面上的所有控制網(wǎng)格線向兩側(cè)棱形區(qū)域偏移75得到偏移曲線，然后用這些偏移曲線兩兩求交，刪除棱形區(qū)域以外的部分曲線和曲面，得到一塊塊獨(dú)立的棱形曲面。每一個(gè)曲面棱形上有4個(gè)角點(diǎn)，用其中的1#、2#、3#點(diǎn)作一個(gè)平面(該平面并不是某一個(gè)點(diǎn)的切平面)，4#點(diǎn)一般情況下位于平面的下方，但也有極少數(shù)位于平面上方。用4#點(diǎn)上控制曲面的法線與平面相交得到4′#點(diǎn)，這樣我們就可以利用1#、2#、3#、4′#點(diǎn)建立一個(gè)棱形的平面，其各條邊均為直線。其中的4′#點(diǎn)曲翹脫離控制曲面，其它三個(gè)點(diǎn)都位于在曲面上。對(duì)于前面提到的極少數(shù)情況“4#點(diǎn)位于平面的上方”就要將此棱形平面玻璃沿平面的法線方向，向外平移保證4#點(diǎn)位于平面的下方。

圖17 棱形玻璃幕墻

6 彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)從虛擬到現(xiàn)實(shí)

CAD→CAE→CAPP→CAM

當(dāng)前數(shù)字信息技術(shù)在人工智能、大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、5G通訊等技術(shù)支持下突飛猛進(jìn)，不同學(xué)科、不同產(chǎn)業(yè)的理論知識(shí)、技術(shù)方法相互融合已成為一種趨勢(shì)。利用目前涵蓋機(jī)械產(chǎn)業(yè)場(chǎng)景的計(jì)算機(jī)輔助4C系統(tǒng)，對(duì)彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)從虛擬到現(xiàn)實(shí)的過(guò)程進(jìn)行小結(jié)。

6.1 CAD

CAD(Computer Aided Design)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，研究了參數(shù)化設(shè)計(jì)中的幾何方法后，可根據(jù)建筑的基本幾何控制系統(tǒng)，對(duì)彎扭斜交網(wǎng)格進(jìn)行CAD。本工程采用RhinoScript[7]或RhinoGrasshopper[8]幾何造型軟件進(jìn)行參數(shù)化建模得到NURBS[7]曲面、NURBS實(shí)體模型。

6.2 CAD→CAE

CAE(Computer Aided Engineering)計(jì)算計(jì)輔助工程，CAE與CAD銜接，基于數(shù)模進(jìn)行計(jì)算，可得到仿真結(jié)果(一種近似的數(shù)值分析方法)。利用Rhino模型中彎扭斜交網(wǎng)格的定位軸線(線模型)，將Rhino數(shù)據(jù)文件轉(zhuǎn)換為CAD格式，導(dǎo)入鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)軟件3D3S、MST等軟件，設(shè)定相關(guān)幾何、物理參數(shù)后，按單層網(wǎng)殼進(jìn)行力學(xué)分析。也可結(jié)合AutoCAD平臺(tái)、Revit平臺(tái)提取Rhino模型中彎扭斜交網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)構(gòu)件的分析計(jì)算數(shù)據(jù)，然后通過(guò)自主編制的自動(dòng)化數(shù)據(jù)處理和傳遞程序?qū)?shù)據(jù)傳遞給有限元軟件SAP2000進(jìn)行整體受力分析，及有限元軟件ANSYS進(jìn)行整體穩(wěn)定分析。

目前CAE中的一個(gè)熱門課題是等幾何分析方法[9]，等幾何分析(IGA-Isogeometric Analysis)方法基于有限元分析方法的等參單元思想，將計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中用于表達(dá)幾何模型的NURBS基函數(shù)作為有限元分析方法中的形函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了CDA和CAE的無(wú)縫結(jié)合。IGA也是有限元分析的一個(gè)很有前途和潛力的發(fā)展方向。

6.3 CAD→CAE→CAPP

CAPP(Computer Aided Process Planning)計(jì)算機(jī)輔助工藝設(shè)計(jì)，指借助于計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)和支撐環(huán)境，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、邏輯判斷和推理等的功能來(lái)制定零件機(jī)械加工工藝過(guò)程。借助于CAPP系統(tǒng)，可以解決手工工藝設(shè)計(jì)效率低、質(zhì)量不穩(wěn)定、一致性差、不易達(dá)到優(yōu)化等問題。

將幾何模型中的數(shù)據(jù)格式與數(shù)控設(shè)備的數(shù)據(jù)格式進(jìn)行統(tǒng)一匹配后導(dǎo)入數(shù)控設(shè)備，對(duì)彎扭構(gòu)件中扭轉(zhuǎn)程度較小的構(gòu)件可以采用“數(shù)控+激光加熱-拉彎工藝”在矩形鋼管上直接加工。類似的加工方法還有頂推技術(shù)。對(duì)彎扭構(gòu)件中扭轉(zhuǎn)程度大的構(gòu)件，則需要用彎扭板件焊接組成。方法：數(shù)控裁剪、數(shù)控多點(diǎn)成形機(jī)成形、全自動(dòng)三維測(cè)量、搭建三維胎架、全自動(dòng)焊接成形。

6.4 CAD→CAE→CAPP→CAM

計(jì)算機(jī)輔助制造CAM(Computer Aided manufacturing)在機(jī)械制造業(yè)中利用計(jì)算機(jī)通過(guò)各種數(shù)值控制機(jī)床和設(shè)備，自動(dòng)完成離散產(chǎn)品的加工、裝配、檢測(cè)和包裝等制造過(guò)程。

CAD模型與CAM模型用相同的數(shù)據(jù)格式進(jìn)行對(duì)接[10]。將Rhino數(shù)據(jù)文件轉(zhuǎn)換為CAD格式，導(dǎo)入鋼結(jié)構(gòu)出圖軟件takela設(shè)定相關(guān)參數(shù)后，就能得到鋼結(jié)構(gòu)施工詳圖?；蛱崛D紙表達(dá)數(shù)據(jù)，然后通過(guò)自主編制的自動(dòng)化數(shù)據(jù)處理和傳遞程序，傳遞給施工圖出圖軟件 MIDAS-Building進(jìn)行出圖?；?qū)hino數(shù)據(jù)文件的格式轉(zhuǎn)換成數(shù)控加工軟件所要求的文件格式后進(jìn)入CAM階段，Rhinoceros具有眾多數(shù)據(jù)文件通用性較強(qiáng)。但當(dāng)前CAD環(huán)境普遍存在數(shù)據(jù)交換問題，可使用CAD轉(zhuǎn)換軟件Transmagic，從而能降低成本、消除隱患以及實(shí)現(xiàn)與多種應(yīng)用程序間的CAD進(jìn)行數(shù)據(jù)交換。TransMagic公司是一家領(lǐng)先的三維CAD轉(zhuǎn)換軟件開發(fā)商，其所開發(fā)的產(chǎn)品為制造業(yè)解決了互操作性所面臨的難題。TransMagic提供獨(dú)特的多格式轉(zhuǎn)換軟件產(chǎn)品，使模型能夠在三維CAD/CAE/CAM系統(tǒng)之間快速轉(zhuǎn)換。支持三維CAD模型文件類型和生成文件有，CATIAV4，CATIAV5，Unigraphics，Pro/ENGINEER，AutodeskINventor，AutoCAD(via*.sat)，Solidworks，ACIS，Parasolid，JT，STL，STEP，IGES。

7 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合工程實(shí)例介紹了彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)中的幾何學(xué)理論和方法，曲面上的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)相對(duì)于彎曲形體的參數(shù)化設(shè)計(jì)來(lái)講是一種底層理論與技術(shù)。彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)幾何形體確實(shí)有些復(fù)雜，但用流形幾何語(yǔ)言來(lái)描述就很簡(jiǎn)單：由控制曲面和控制曲線生成一個(gè)垂直向量場(chǎng)S⊥和一個(gè)水平向量場(chǎng)S‖，由這兩個(gè)向量場(chǎng)構(gòu)造成的直紋曲面是彎扭構(gòu)件的中曲面，將它們做法向等距映射就可得到彎扭構(gòu)件的四個(gè)表面，通過(guò)曲面求交、裁剪就可以得到彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的模型。用活動(dòng)標(biāo)架加剛體運(yùn)動(dòng)掃掠成形也可以得到彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的模型。兩種方法得到的模型從幾何本質(zhì)上講是相同的，在控制點(diǎn)加密后有很高的擬合度。方法1生成的模型幾何意義明確，模型生成便捷適用于方案和初步設(shè)計(jì)階段，方法2生成的模型精度隨著控制點(diǎn)加密而不斷提高，模型上直接生成彎扭構(gòu)件的截面信息便于后期生產(chǎn)加工，適合于施工圖設(shè)計(jì)階段。彎扭斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可采用RhinoScript或RhinoGrasshopper等幾何造型軟件進(jìn)行參數(shù)化建模，得到NURBS曲面、NURBS實(shí)體模型。新型有限元方法“等幾何分析-IGA”在CAD模型與CAE模型之間搭建了一座橋梁，在高質(zhì)量NURBS模型支持下，可以實(shí)現(xiàn)兩者間的無(wú)縫對(duì)接。