魏其萍, 王躍

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引言

假定Ω?RN(N≥1)是具有光滑邊界?Ω的區(qū)域.本文將討論如下的Kirchhoff-Carrier型方程：

(1)

其中a和b都是任意正實(shí)數(shù)，λ為正參數(shù)，? 表示梯度算子，Δ表示Laplace算子.

1876年，Kirhhoff[1]首次提出了用于刻畫(huà)弦振動(dòng)問(wèn)題的Kirchhoff方程.在考慮外力作用下時(shí)Kirchhoff型弦振動(dòng)問(wèn)題的駐波解的空間部分可以表示為：

(2)

其中a和b都是實(shí)數(shù)，f(x,u)為抽象函數(shù).目前已有諸多學(xué)者利用不同的方法在f(x,u)滿(mǎn)足不同的假設(shè)條件時(shí)對(duì)方程(2)進(jìn)行研究，并取得了一些成果[2-8].在描述弦振動(dòng)問(wèn)題方程時(shí)，最小張力(靜止位置)處的弦振動(dòng)通常需通過(guò)線性化分析才能得到振動(dòng)弦的更為精確的狀態(tài)u=u(x).因此，Carrier在文獻(xiàn)[9]中對(duì)弦鏈兩端固定時(shí)的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了補(bǔ)充刻畫(huà)，并提出了如下模型：

該模型考慮的是弦自身在前后左右4個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而Kirchhoff型問(wèn)題主要考慮的是橫向振動(dòng)中的細(xì)小位移,因此二者屬于不同的弦振動(dòng)問(wèn)題.目前，已有許多學(xué)者對(duì)Kirchhoff型問(wèn)題和Carrier型問(wèn)題或二者的耦合問(wèn)題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[10]的作者考慮了如下問(wèn)題：

1 結(jié)論及其證明

定理1當(dāng)0<λ

(3)

根據(jù)以上計(jì)算可得

(4)

(5)

(6)

(7)

由上式可知，φ也是問(wèn)題(1)的解,且φ(x)?u(x)，因此u和φ是問(wèn)題(1)的一對(duì)一正一負(fù)的解.

第4步，利用反證法證明當(dāng)λ≥aλ1時(shí)，問(wèn)題(1)不存在同號(hào)解.假設(shè)λ≥aλ1時(shí)u是方程(1)的同號(hào)解，則將其代入方程(1)后在等號(hào)兩端同乘以φ1并在Ω上積分可得：

由上式可推出當(dāng)u是方程(1)的正解時(shí)，有

當(dāng)u是方程(1)的負(fù)解時(shí)，有

由上式可得λ

綜上所述，當(dāng)0<λ