姚 輝，張潤畦，蔣知廷，劉 鑫

(華北科技學(xué)院 河北省礦井災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 東燕郊 065201)

0 引言

礦井涌水量是在礦井建設(shè)和開采過程中，單位時(shí)間內(nèi)通過各種途徑涌入井巷的水量[1]，其指標(biāo)大小是制定合理開采方案、選用合理排放水設(shè)施的依據(jù)[2]。如果短時(shí)間內(nèi)礦井涌水量超出礦井排放水設(shè)施負(fù)荷，將會導(dǎo)致煤礦透水事故的發(fā)生，造成人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失。因此，對礦井涌水量的預(yù)測將直接影響到礦井建設(shè)安全。

隨著生產(chǎn)技術(shù)的飛速發(fā)展，涌水量預(yù)測方法也在進(jìn)行著革新。從傳統(tǒng)意義上純粹的利用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo)——大井法及水文地質(zhì)比擬法，到后來融入了計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的數(shù)值法，再到現(xiàn)在融合了數(shù)理統(tǒng)計(jì)及計(jì)算機(jī)分析的各種不確定性分析方法的提出——BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、灰色系統(tǒng)理論[4]，預(yù)測方法呈現(xiàn)形式多樣化的變化趨勢。但綜合來看，礦井涌水量是受各種因素共同影響的結(jié)果，拋開礦井現(xiàn)有生產(chǎn)資料所造成的影響去進(jìn)行涌水量分析顯然過于片面，預(yù)測精度會降低很多[5]。

本文以時(shí)間序列季節(jié)加法模型為基礎(chǔ)，以河南某礦近20年月度平均涌水量數(shù)據(jù)為研究對象，綜合考慮上述分析方法中未曾考慮到的季節(jié)因素及不確定性因素，建立起涌水量預(yù)測模型，以期實(shí)現(xiàn)礦井涌水量預(yù)測精度的提升。

1 理論基礎(chǔ)

時(shí)間序列是研究對象中某一變量按照時(shí)間排序形成的數(shù)值序列。通過對變量在一定時(shí)期內(nèi)的變化過程進(jìn)行研究，可以得到該研究對象的演變規(guī)律及趨勢，從而預(yù)測其未來走向[6，7]。

1.1 ARIMA(p，d，q)模型

自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)是自回歸模型(AR)及移動(dòng)平均模型(MA)的綜合形式[8]，通過差分手段，將非平穩(wěn)時(shí)間序列準(zhǔn)平穩(wěn)化后再建立起ARIMA(p，d，q)模型[9]。其中p為自回歸階數(shù)，d為序列平穩(wěn)化所采用的差分階數(shù)，q為移動(dòng)平均階數(shù)。

當(dāng)p，d，q已知時(shí)，ARIMA的數(shù)學(xué)表示形式[10]為

(1)

式中，yt為t時(shí)刻y的預(yù)測值；φ為自回歸系數(shù)；θ為移動(dòng)平均系數(shù)；μ為常數(shù)；ζ為t時(shí)刻的誤差。

1.2 季節(jié)分解模型

一般來講，時(shí)間序列有4種主要影響因素分別是：Tt，長期趨勢，表示序列值隨時(shí)間變化所展現(xiàn)的長期發(fā)展趨勢；St，季節(jié)趨勢，表示因季節(jié)性因素而呈現(xiàn)的規(guī)律性變化；Ct，循環(huán)趨勢，表示序列值循環(huán)變動(dòng)；It，不規(guī)則變動(dòng)，表示剔除其他因素后剩余的隨機(jī)波動(dòng)[11，12]。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

yt=f(Tt，St，Ct，It)

(2)

f函數(shù)表示模型的加法和乘法運(yùn)算。

2 實(shí)證分析

選取河南某煤礦2000年～2020年的月度涌水量數(shù)據(jù)，將2000年～2019年的數(shù)據(jù)作為分析處理數(shù)據(jù)，將2020上半年的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。

原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某礦近20年月度涌水量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

續(xù)表

表2 某礦近20年月度涌水量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

2.1 傳統(tǒng)ARIMA模型建模

利用SPSS軟件做出涌水量時(shí)間序列圖如圖1所示。

圖1 涌水量時(shí)間序列圖

由圖1可以看出涌水量的月度平均值波動(dòng)較大，為非平穩(wěn)序列。需要對其進(jìn)行一階差分處理使其平穩(wěn)化；波動(dòng)幅度隨時(shí)間變化并無逐漸增大或減小的趨勢，因此選用加法模型。

經(jīng)一階差分過的數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 一階差分后的涌水量時(shí)間序列圖

可以看出，在經(jīng)過一階差分以后，涌水量數(shù)據(jù)基本呈平穩(wěn)化發(fā)展趨勢。檢測數(shù)據(jù)平穩(wěn)化一般常用的方法是單位根檢驗(yàn)[13]，即ADF檢驗(yàn)。利用Eviews軟件完成一階差分序列的單位根檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

得到的顯著性檢驗(yàn)值t值為-18.13316，小于1%、5%、10%水平的臨界值，且得到的概率值p=0。證明一階差分序列為平穩(wěn)序列。

表3 ADF檢驗(yàn)水平對應(yīng)表

經(jīng)過平穩(wěn)性檢驗(yàn)后，通過對p值和q值的多次設(shè)定，最終確定ARIMA(1，1，1)模型擬合效果較好，殘差檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。結(jié)果表明，殘差序列通過了白噪聲檢驗(yàn)，模型已經(jīng)得到了較好的擬合[14]。

根據(jù)擬合結(jié)果，確定自回歸系數(shù)φ為0.68；移動(dòng)平均系數(shù)θ為0.673，常數(shù)為48.633。由此建立不考慮相關(guān)因素的傳統(tǒng)ARIMA模型：

yt=0.68yt-1+0.673ζt-1+48.633

(3)

預(yù)測結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)擬合曲線如圖4所示，其中日期為從2000年1月開始計(jì)數(shù)的月數(shù)。

由擬合圖可以看出，在前半段數(shù)據(jù)波動(dòng)較為強(qiáng)烈時(shí)，擬合結(jié)果較好，當(dāng)后半段數(shù)據(jù)變化轉(zhuǎn)為平緩時(shí)，擬合曲線與實(shí)測曲線有較大差距，且在一段時(shí)間內(nèi)的數(shù)據(jù)波峰及谷底表現(xiàn)尤為明顯。

2.2 季節(jié)分解加法模型建模

礦區(qū)資料顯示，大氣降水為礦區(qū)主要充水水源，且考慮到涌水量大小是多種因素共同影響的結(jié)果，因此有必要考慮其他因素，建立季節(jié)分解加法模型，以提高預(yù)測精度。

2.2.1 趨勢—循環(huán)因子(T-C)提取

考慮到涌水量的長期變化趨勢恰恰是一種以年份為單位的循環(huán)，且在所選取數(shù)據(jù)年限跨度長的情況下，忽略短期波動(dòng)，直接將趨勢因子和循環(huán)因子合并為一項(xiàng)提取，進(jìn)行長期預(yù)測。

季節(jié)變動(dòng)和隨機(jī)變動(dòng)通過移動(dòng)平均法予以消除[15]?？紤]到本文是以月度涌水量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，以季節(jié)為移動(dòng)區(qū)間，因此選用跨度N=3進(jìn)行相加平均。得到的數(shù)據(jù)既通過移動(dòng)消除了季節(jié)的影響，又通過平均消除了隨機(jī)誤差的影響。而為了提升預(yù)測精度，需要對得到的數(shù)據(jù)再進(jìn)行多次循環(huán)移動(dòng)平均。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)進(jìn)行7次移動(dòng)平均后的數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)擬合效果較好。

觀察到原始數(shù)據(jù)有較多峰值波動(dòng)，因此選用傅里葉公式進(jìn)行擬合；利用Matlab軟件完成對擬合曲線的參數(shù)計(jì)算。

趨勢—循環(huán)預(yù)測方程為：

(4)

式中，x為從2000年1月開始算起的月數(shù)。

第7次移動(dòng)平均線及擬合曲線對比圖如圖5所示。

2.2.2 季節(jié)指數(shù)(S)提取

利用SPSS軟件，以12為周期長度進(jìn)行季節(jié)性分解。所得季節(jié)因子為：1.976、3.880、2.307、7.288、1.731、-6.324、3.816、-4.254、-4.954、-6.853、1.334、0.053。從2000年1月開始，以一個(gè)月為單位，以12為周期長度進(jìn)行循環(huán)，獲得研究時(shí)段內(nèi)每月所對應(yīng)的季節(jié)指數(shù)。

2.2.3 隨機(jī)變動(dòng)(I)的提取

提取完趨勢因子、循環(huán)因子以及季節(jié)因子后，通過式2得到隨機(jī)變動(dòng)因子。

隨機(jī)變動(dòng)的趨勢圖如圖6所示。

圖3 殘差檢驗(yàn)結(jié)果

圖4 實(shí)測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)對比圖

圖5 第七次移動(dòng)平均線及擬合曲線對比圖

可以看出，月度涌水量的變化集中在[-50，50]區(qū)間內(nèi)，利用Excel軟件的隨機(jī)函數(shù)功能來實(shí)現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)的模擬預(yù)測。

具體代碼為“=RAND*100-50”

2.2.4 重新建立回歸模型

將上述提取出的趨勢-循環(huán)因子、季節(jié)指數(shù)和隨機(jī)變動(dòng)歸類整理相加，重新建立起工作面涌水量的預(yù)測模型，其數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)形式為：

(5)

式中，Yt為涌水量預(yù)測值，x為從2000年1月開始算起的月數(shù)，St為所對應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，It為通過函數(shù)所隨機(jī)生產(chǎn)的波動(dòng)值。

3 對比分析

分別用傳統(tǒng)的ARIMA模型和季節(jié)分解加法模型對2020年上半年6組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表4。

表4 傳統(tǒng)模型與季節(jié)分解加法模型預(yù)測結(jié)果對比圖

結(jié)果表明，利用傳統(tǒng)的ARIMA模型對礦區(qū)2020年上半年涌水量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果的相對誤差基本在13%～15%范圍內(nèi)，誤差較大，而通過對ARIMA模型實(shí)現(xiàn)季節(jié)分解后再預(yù)測，預(yù)測結(jié)果的相對誤差控制在0～2%范圍內(nèi)，預(yù)測精度有了大幅度提高。

4 結(jié)論

(1) 利用傳統(tǒng)的ARIMA模型對某礦明顯具有季節(jié)特征的涌水量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測誤差較大，在對模型進(jìn)行分解提取出趨勢—循環(huán)因子、季節(jié)指數(shù)和隨機(jī)變動(dòng)后，重新建立起預(yù)測模型，預(yù)測精度有了大幅度提升，基本實(shí)現(xiàn)無偏差預(yù)測，為煤礦防治水工作中的涌水量預(yù)測難題提供了新的方案和思路。

(2) 在對涌水量信息進(jìn)行多因素分解后預(yù)測結(jié)果的精度提升表明：在諸如突水危險(xiǎn)性評價(jià)、危險(xiǎn)系數(shù)確定等煤礦定量化作業(yè)過程中應(yīng)當(dāng)綜合考慮多因素多變量的影響。

(3) 在數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理過程中，需要考慮到極端數(shù)據(jù)的影響情況，因此，在模型的后續(xù)完善工作中，可以考慮將濾波算法加入到模型中來，排除不良數(shù)據(jù)的干擾。