李 剛

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 陜西 延安 716000)

0 引 言

1988年，弱測量理論由Aharonov等[1]提出，通常被稱之為弱值放大機(jī)制。目前，弱測量已成為最有前途的精密測量工具之一，它已應(yīng)用于各個研究領(lǐng)域，包括解決量子力學(xué)中的基礎(chǔ)問題[2-3]和解釋一些違反直覺的量子悖論[4]。在弱測量中，指針弱耦合到被測量的系統(tǒng)。與投影測量對比，若指針的初始波函數(shù)的寬度很大，則在弱測量中指針的輸出信號，指針觀測量的值會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出系統(tǒng)觀察量的特征值的范圍，這個結(jié)論歸因于指針的量子態(tài)疊加量子干涉效應(yīng)。當(dāng)被測量的系統(tǒng)發(fā)生接近正交的后選擇后，指針的兩個或多個稍微不同的平移高斯態(tài)的疊加[1,5]可以給出系統(tǒng)觀察量的值超出其特征值的范圍。最近發(fā)現(xiàn)，弱測量可以幫助測量較小的物理量[6]或?qū)^小的物理參數(shù)進(jìn)行靈敏地估計[7-11]，然而傳統(tǒng)技術(shù)很難直接檢測到它們。大多數(shù)弱測量方案都可以通過經(jīng)典波動力學(xué)來解釋[12]。此外，更多有關(guān)弱測量領(lǐng)域的評論可以參見文獻(xiàn)[13-14]。

盡管弱測量在光學(xué)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，但其在光力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用還不是很多[15-18]。筆者從相干態(tài)指針入手對量子弱測量放大進(jìn)行詳細(xì)的討論，試圖找到有關(guān)弱測量的一種新放大機(jī)制，以及在結(jié)合弱測量的光機(jī)械系統(tǒng)中是否存在一些新穎量子效應(yīng)。

1 弱測量放大原理

文中使用馬赫曾德干涉儀模擬弱測量的方法研究光機(jī)械系統(tǒng)中弱測量放大效應(yīng)。光機(jī)械系統(tǒng)裝置如圖1所示。

圖1 光機(jī)械系統(tǒng)裝置Fig. 1 Optomechanical system device

光機(jī)械腔A被放置在馬赫曾德干涉儀的一個臂上，并將常規(guī)光學(xué)腔B放置在干涉儀的另一個臂上。兩個分束器(BS)都是對稱的，整個系統(tǒng)的哈密頓量的表達(dá)式[15-17]為

(1)

ω0——光學(xué)腔模A、B的角頻率；

a1、a2——光學(xué)腔模A、B的湮滅算符；

b——角頻率為ωm的機(jī)械模的湮滅算符；

g——光機(jī)械耦合強(qiáng)度，g=ω0σ/L；

L——光學(xué)腔的長度；

M——機(jī)械振子的有效質(zhì)量。

假設(shè)鏡子初態(tài)被制備在相干態(tài)|α〉m，α=|α|expiθ，其中|α|和θ都是實數(shù)，分別稱之為相干態(tài)的振幅和相位[19]。經(jīng)式(1)的弱相互作用后，整個系統(tǒng)(被測系統(tǒng)和指針)的時間演化是與處于相干態(tài)的鏡子微弱相互作用之后，整個系統(tǒng)的狀態(tài)變?yōu)?/p>

|ψsm(t)〉 =U(t)|ψi〉|α〉m，

(2)

(3)

式中：φ(t)——克爾項的時間，φ(t)=k2(ωmt-sinωmt)；

λ(t)——平移項的時間，λ(t)=k(1-e-iωmt)；

k——縮小比例的光機(jī)械耦合參數(shù)，k=g/ωm。

對式(3)進(jìn)行簡化，得

(4)

式中：|ψ(λ,φ,t)〉——單光子作用的鏡子演化態(tài)，|ψ(λ,φ,t)〉=eiφ(t)D(λ)|φ(t)〉m；

φ——無光子作用的鏡子演化態(tài)，φ=αe-iωmt；

D(λ)——一個平移算符，D(λ)=exp[λb?-λ*b]。

當(dāng)在暗口檢測到光子時，用弱測量語言來說后選擇發(fā)生，即對單光子系統(tǒng)進(jìn)行了投影測量，投影算符|ψf〉〈ψf|，則鏡子的最終狀態(tài)變?yōu)?/p>

|Ψm(t)〉=〈ψf|ψsm(t)〉 =(|ψ(λ,φ,t)〉m-

|φ(t)〉m)/2,

(5)

為了進(jìn)一步簡化分析，利用定義式 |χm(t)〉=D?(φ(t))|Ψm(t)〉，即平移等式(5)的態(tài)到相空間原點(diǎn)，獲得

|χm(t)〉=(exp[iφ(t)+iφ(α,t)]|ξ(t)〉m-|0〉m)/2，

(6)

其中，exp[iφ(t)+iφ(α,t)]是相干態(tài)|λ〉m和基態(tài)|0〉m之間的相對相位。而φ(α,t)=-i[(λφ*-λ*φ)]是通過兩個不同的平移算子非對易性質(zhì)，

(7)

由式(7)可知，兩個鏡子態(tài)之間的相對相位是由量子力學(xué)中非對易性[20-21]引起的。文獻(xiàn)[15]中，正交后選擇發(fā)生后兩個鏡子態(tài)之間的相對相位可以導(dǎo)致弱測量放大效應(yīng)。

將給出如何通過該相對相位exp[iφ(t)+iφ(α,t)]來產(chǎn)生鏡子微弱動量，類比于經(jīng)典動量等于質(zhì)量乘以速度的放大。換一句話說，鏡子質(zhì)量不變，速度能通過弱測量放大變快。

2 相干態(tài)對動量p放大的影響

2.1 相干態(tài)指針對動量p放大的影響

在弱測量中，鏡子(機(jī)械振子)上動量p的平均平移為

(8)

將式(6)代入式(8)，得

(exp[iφ(t)+iφ(α,t)]λ(t)-exp·

[-(iφ(t)+iφ(α,t))]λ*(t))]/

[2σ(2-exp[-|λ(t))|2/2](exp[iφ(t)+

iφ(α,t)]+exp[-(iφ(t)+

iφ(α,t))])]。

(9)

圖2 鏡子的動量平均位移Fig. 2 Average momentum displacement mirror

接下來，分析相對相位是怎么使鏡子的微弱動量放大。

2.2 動力學(xué)演化時間對放大效應(yīng)的影響

為了探討在ωmt=π附近發(fā)生的放大效應(yīng)，對于式(6)，在時間ωmt=π處進(jìn)行泰勒展開，保留到第一階。假設(shè)|ωmt-π|?1和k?1，則

|χm(t)〉 ≈ [2k|1〉m+i2k|α|(2sinθ-
(ωmt-π)cosθ))|0〉m]/2。

(10)

3 耗散對動量p放大效應(yīng)的影響

文中僅考慮零溫條件下的耗散，因此，機(jī)械系統(tǒng)的主方程[21,23]為

c?cρ(t)-ρ(t)c?c]/2，

(11)

式中，γm——阻尼常數(shù)。

阻尼噪聲對鏡子放大效應(yīng)的影響如圖3所示。通過式(11)給出光機(jī)械系統(tǒng)的耗散演化解析解或者數(shù)值解，與無耗散條件的式(9)進(jìn)行對比可知，在零溫條件下阻尼噪聲對弱測量放大的影響。

圖3 阻尼噪聲對鏡子的放大效應(yīng)影響Fig. 3 Influence of damping noise on amplification effect of mirror

文中所給的方案需要單光子源，并且它成功的選擇后概率非常低。眾所周知，制備理想單光子的條件非?？量?，經(jīng)濟(jì)成本很高[25]，這些方案[15,18]在單光子條件下是很難通過實驗驗證的。最近，利用弱相干光代替單光子的弱測量方案被提出[26]，表明單光子情況下的微弱動量放大可以通過弱相干光來實現(xiàn)，其成功的后選擇概率也變大，因此，這個方案在目前實驗條件下是可行的。根據(jù)量子力學(xué)不確定性原理，不可能同時測量鏡子的位置和動量。 但是，可以以任意精度測量機(jī)械運(yùn)動的一個正交分量[27](例如動量)。這個方法可以用來完全重構(gòu)機(jī)械振子量子態(tài)，并使用量子態(tài)層析技術(shù)提取其威格納函數(shù)密度[28]，從而給出相空間的動量分布。

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)鏡子處于相干態(tài)時，鏡子動量的平均平移的最大放大值可以在ωmt=π附近發(fā)生，并可達(dá)到基態(tài)的零點(diǎn)漲落，當(dāng)鏡子處于基態(tài)時[1,5,7-11]，不難發(fā)現(xiàn)，放大效應(yīng)不會出現(xiàn)。

(2)后選擇測量后，指針態(tài)之間的相對相位是由量子力學(xué)中非對易性引起的，這是一種弱測量放大的新機(jī)制，與標(biāo)準(zhǔn)弱測量放大機(jī)制不同[1,5]，后者是通過對被測系統(tǒng)的后選擇(對被測系統(tǒng)進(jìn)行投影測量)獲得相對相位。

文中所給的方案在目前實驗條件下是可行的實驗方案。這些結(jié)果不但擴(kuò)展了弱測量在光學(xué)機(jī)械系統(tǒng)中的應(yīng)用，也加深了人們對弱測量的理解。