曾 滔 劉戰(zhàn)強 左小陳 羅 勝

(①山東大學機械工程學院，山東 濟南 250100；②株洲鉆石切削刀具股份有限公司，湖南 株洲 412007)

刀具三維建模是刀具數(shù)字化設計技術的一項重要內容，螺旋槽是旋轉類整體刀具的共有特征，精確地建立螺旋槽的三維實體模型對于提高刀具設計開發(fā)效率具有重要意義。

螺旋槽結構設計與磨削加工中，有一條重要的特征線稱為磨削接觸線，它是砂輪作螺旋運動時，任意時刻砂輪與螺旋槽之間的瞬時相切線。接觸線繞砂輪軸線旋轉，得到砂輪的外圓周面；繞刀具軸線作螺旋運動，得到刀具螺旋槽。由于接觸線同時具備砂輪和螺旋槽的特征信息，如果能求解出螺旋槽磨削接觸線，在三維設計軟件中將其繞刀具軸線作螺旋運動，便可精確建立螺旋槽的三維實體模型。

目前建立刀具螺旋槽三維模型的方法主要有3種。一是“截面掃掠法”，即利用三維設計軟件的“掃掠”功能，將螺旋槽橫截面輪廓沿指定螺旋線掃掠生產螺旋槽[1-2]。這種方法原理和操作都非常簡單，應用非常普遍，但最大的問題是螺旋槽的截面輪廓通常僅用3個設計參數(shù)進行描述，與實際產品的截面輪廓存在一定誤差，而且螺旋槽槽尾即砂輪退刀處無法實現(xiàn)精準建模，故建模的精度不高。二是“實體切除法”，即利用某些三維設計軟件(如SolidWorks)中的特定功能，使砂輪實體沿指定路徑作螺旋運動形成包絡體，然后與刀體作布爾減運算形成螺旋槽[3-4]。這種方法操作簡單，但對三維設計軟件的功能有限制，具有一定局限性，而且計算量較大。三是“仿真加工法”，它是基于螺旋槽的磨削加工原理，利用數(shù)控加工仿真技術和軟件生成刀具實體模型[5-6]?！胺抡婕庸しā彼傻穆菪勰Ｐ屠碚撋吓c實際產品完全一致，精度非常高，但需要具備扎實的螺旋槽磨削加工理論知識，完成建模的難度較大。

可見，上述方法均存在一定弊端，而且建模過程中未有效利用螺旋槽磨削接觸線。造成該現(xiàn)狀的原因在于螺旋槽磨削接觸線通常基于曲面共軛原理進行求解，這種解析法涉及微分方程[7-8]和復雜的非線性方程[9]，接觸線只能用離散的點云進行描述，在三維設計軟件中，除非進行二次開發(fā)，不然接觸線和螺旋槽的建模很難實現(xiàn)參數(shù)化。為快捷、高效、精確地建立刀具螺旋槽的三維參數(shù)化實體模型，本文提出了一種求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法，并應用該方法實現(xiàn)了刀具螺旋槽的三維參數(shù)化建模。

1 解析法求解磨削接觸線

如圖1所示，以砂輪左側大端面圓心為原點建立砂輪坐標系oW-xWyWzW，其中zW軸與砂輪軸線重合，并指向砂輪左端面，xW軸垂直向上。以刀具刃部端面中心為圓心建立刀具坐標系oT-xTyTzT，其中zT軸與刀具軸線重合，并指向刀具刃部，xT軸同樣垂直向上，砂輪與刀具坐標系的y軸由右手定則確定。

加工刀具螺旋槽時，砂輪相對刀具的初始位姿由4個參數(shù)確定：砂輪軸線與刀具軸線間的距離在xT軸上的投影長度ax，砂輪與刀具坐標系原點之間的距離在yT軸上的投影長度ay，在zT上的投影長度az，以及兩軸線之間的夾角∑，這4個參數(shù)即為螺旋槽磨削參數(shù)。其中，參數(shù)ax、ay和∑決定螺旋槽的形狀，az決定螺旋槽端面截形的周向位置。

確定砂輪相對刀具的位姿后，砂輪繞刀具軸線作螺旋運動，完成螺旋槽的磨削加工。砂輪作螺旋運動的方程如下：

(1)

式中：p=R/tanβ(R為刀具半徑)，ε為螺旋運動參數(shù)。

GW(u,α,ε)=

(2)

GW(u,α,ε)表示以螺旋運動參數(shù)ε為參變量的曲面族，該曲面族存在包絡面S0，S0即為砂輪磨削加工形成的螺旋面。根據曲面共軛條件，

NG·VG=0

(3)

則根據式(2)和(3)，螺旋槽磨削時的曲面共軛條件可整理為

(4)

根據式(4)，可以確定參變量u和α之間的關系，將其代入式(2)中，可求得砂輪在任意加工位置與螺旋槽之間的磨削接觸線方程。

2 幾何法求解磨削接觸線

本文提出的幾何法求解螺旋槽磨削接觸線是應用目前機械制造行業(yè)通用的三維設計軟件，借助軟件的“曲面求交線”功能獲取螺旋槽磨削接觸線。

如圖2所示，在螺旋運動參數(shù)ε=ε0的當前位置，砂輪與螺旋槽之間的接觸線為L1，在螺旋運動參數(shù)ε=ε0+Δε的臨近位置，砂輪與螺旋槽之間的接觸線為L2。顯然，接觸線L2可看作接觸線L1作螺旋運動(螺旋運動參數(shù)為ε=Δε)形成的新曲線，二者形狀完全相同。

當Δε→0時，接觸線L2等同于接觸線L1，此時，L1上的所有點既在當前砂輪(ε=ε0)上，也在臨近位置的砂輪(ε=ε0+Δε)上，即此時接觸線L1的近似解是砂輪(ε=ε0)與砂輪(ε=ε0+Δε)的交線。該近似解的精度取決于三維設計軟件中，“曲面求交線”功能在可識別兩個不同曲面交線的前提下，角度差Δε設定值的大小，Δε越小，接觸線的精度越高。從目前的應用情況來看，在UG軟件中，Δε值設定為0.005°，甚至0.001°都可求解出接觸線，這樣的精度完全能夠滿足工程應用的需求。

由于砂輪任意位置與螺旋槽的磨削接觸線空間形狀完全一樣，根據前文所述極限思想，螺旋運動參數(shù)ε=0位置時的磨削接觸線滿足，

(5)

根據式(2)和式(5)有，

(6)

當螺旋運動參數(shù)Δε→0時，sinΔε?Δε，1-cosΔε=2sin2(Δε/2)?Δε2/2，高階無窮小量和無窮小量進行加減運算時，Δε2作為Δε的高階無窮小量，可以忽略。針對式(6)，通過去除或增加適合的高階無窮小項P·Δε2(P為函數(shù))，整理可得，

(7)

據式(7)，令y(u1)=g(u2,α2)，z(u1)=h(u2,α2)，當砂輪截形輪廓確定后，y(u1)和z(u1)之間的關系便唯一確定，據此可建立g(u2,α2)和h(u2,α2)之間的關系，即螺旋槽磨削加工時的曲面共軛條件為，

(8)

用于加工螺旋槽的砂輪，不管何種截面輪廓形狀，在工程應用中通常都是用多段圓弧或直線光滑連續(xù)相接進行擬合。如圖3所示的砂輪，若已知其截形輪廓直線段的斜率和截距分別為k、b，任意一個圓弧段的圓心為(xi,yi)，半徑Ri，則截形輪廓可用參數(shù)方程表示為

對于砂輪截面輪廓直線段，據式(7)、(9)有

(10)

式(10)消去參數(shù)u1整理可得

(11)

對于砂輪截面輪廓圓弧段，據式(7)、(9)有

(12)

式(12)消去參數(shù)u1整理可得

(13)

式(11)和(13)分別為采用極限思想推導出的砂輪截面輪廓直線段和圓弧段對應的螺旋槽磨削曲面共軛條件。同樣，利用解析法根據式(4)和(9)可推導出曲面共軛條件分別為

(14)

(15)

顯然，式(11)與(14)，以及式(13)與(15)在形式上一樣，從而證明了基于極限思想的幾何法求解接觸線具有可靠的數(shù)學原理基礎。

基于UG、CATIA、Pro/E等三維機械設計軟件應用幾何法求解刀具螺旋槽磨削加工接觸線的具體實施步驟如圖4所示：

(1)首先根據目標螺旋曲面的設計參數(shù)和加工該螺旋曲面所用砂輪的截面輪廓參數(shù)求解砂輪加工螺旋槽的刃磨參數(shù)。

(2)根據刃磨參數(shù)和砂輪外形尺寸參數(shù)，利用三維設計軟件在螺旋運動參數(shù)ε=ε0位置構造砂輪的三維模型。

(3)利用砂輪模型，抽取ε=ε0位置砂輪的有效加工表面S1。

(4)基于螺旋運動原則，根據有效加工表面S1，利用三維設計軟件在ε=ε0+Δε位置構造砂輪有效加工表面S2，其中Δε→0。

(5)選定砂輪有效加工表面S1和S2，利用三維設計軟件的“構造曲線交線”功能求出有效加工表面S1和S2的交線，該交線即為螺旋槽磨削接觸線。

3 幾何法求解接觸線的應用

通過一個具體實例，論述幾何法求解接觸線在刀具三維參數(shù)化建模中的應用。本研究應用的三維設計軟件為UG，目標刀具為四刃平頭立銑刀，其外形尺寸參數(shù)見表1。立銑刀三維實體建模的過程依次為：(1)建立刀具棒體毛坯模型；(2)建立螺旋槽模型；(3)建立周刃模型；(4)建立端齒gash模型；(5)建立端齒模型；(6)建立刀尖倒角模型，下文重點論述螺旋槽的三維建模方法。

表1 刀具外形尺寸參數(shù)

圖5所示為銑刀螺旋槽截形輪廓和設計參數(shù)示意圖，該螺旋槽采用圖6所示截形輪廓的 “Hcone”砂輪進行加工；螺旋槽設計參數(shù)和砂輪截形輪廓參數(shù)值見表2。

(1)構建刀具毛坯和砂輪模型。根據表1數(shù)據，建立刀具棒體毛坯模型。根據表2中數(shù)據，參考文獻[9]中提出的方法推導“Hcone”砂輪加工螺旋槽的刃磨參數(shù)求解方程，求解出砂輪刃磨參數(shù)為ax=77.917 mm，ay= 4.079 mm，az= 1.778 mm，∑= 41.64°。根據刃磨參數(shù)確定砂輪中心，并建立Hcone砂輪三維模型如圖7所示。

表2 螺旋槽設計參數(shù)和砂輪截形輪廓參數(shù)

(2)幾何法求解接觸線。根據刀具實際加工過程中砂輪外圓周面磨削刀具毛坯的有效范圍，在砂輪模型上截取有效加工部分，并抽取當前位置砂輪有效加工表面S。按照螺旋運動規(guī)則，利用UG中的“引用幾何體”功能，將有效加工表面S沿刀具軸向進行變換，得到ε=ε0位置砂輪的有效加工表面S1。變換參數(shù)包括沿軸線轉動的角度ε0和沿軸線移動的距離l0，其中l(wèi)0=lc，ε0=lc/p。同樣，利用“引用幾何體”功能，將有效加工表面S1沿刀具軸向進行變換，得到ε=ε0+Δε位置砂輪的有效加工表面S2，變換參數(shù)為Δε和Δl，其中Δε=0.001°和Δl=pΔε。然后利用“相交曲線功能”，直接求解出S1和S2的交線，如圖8所示。

(3)構建螺旋槽槽尾曲面。利用“修剪片體”功能，用接觸線將有效加工表面S2的上半部分修剪掉，保留下半部分作為螺旋槽槽尾曲面。

(4)構建螺旋槽曲面。利用“掃掠”功能將接觸線繞刀具螺旋刃線掃掠，得到螺旋槽槽體曲面，然后利用曲面“縫合”功能，將槽尾曲面和槽體曲面縫合，得到完整的螺旋槽曲面。

(5)構建螺旋槽實體模型。應用“修剪體”功能，用螺旋槽曲面將刀具棒體毛坯分割，得到螺旋槽實體模型，如圖9所示。

(6)最后依次建立周刃、端齒gash、端齒和刀尖倒角模型，完成目標銑刀三維實體模型的建立，如圖10所示。

通過檢測螺旋槽3個設計參數(shù)，間接驗證刀具三維模型精度。利用UG中的“測量”功能，對螺旋槽的槽前角、芯徑和槽夾角3個設計參數(shù)進行檢測，檢測結果如圖11和表3所示。表3顯示，3個設計參數(shù)的實際誤差分別為7.7%、0.16%、0.13%，除槽前角的實際誤差稍大外，其他兩個設計參數(shù)的誤差都非常小，但三者的實際誤差均顯著小于設計誤差要求，這表明應用新方法建立的模型精度完全能夠滿足工程應用需要。

三維模型誤差的產生原因主要有兩個方面：一是幾何法求解磨削接觸線導致的誤差；二是刃磨參數(shù)求解導致的誤差，可分別通過減小Δε的取值和提高刃磨參數(shù)的求解精度實現(xiàn)減小刀具三維建模誤差的目標。

表3 螺旋槽模型實際誤差與設計誤差對比

4 結語

(1)針對現(xiàn)有螺旋槽三維建模方法未充分利用磨削接觸線的現(xiàn)狀，以及解析法求解接觸線難以在三維軟件中實現(xiàn)參數(shù)化的弊端，提出一種基于極限思想求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法。

(2)對幾何法求解磨削接觸線的的數(shù)學原理進行了闡述，將基于極限思想推導的螺旋槽磨削曲面嚙合條件與基于包絡原理推導的曲面共軛條件進行對比，結果表明二者形式完全一樣，證明了極限幾何法求解接觸線的可靠性。對新方法的具體實施步驟進行了說明。

(3)通過四刃平頭立銑刀三維實體建模的具體實例，論述了極限幾何法求解螺旋槽磨削接觸線在刀具三維建模中的應用。最后對比了螺旋槽設計參數(shù)的建模誤差與設計誤差大小，間接證明了應用新方法建立的刀具三維模型精度完全滿足工程需要。