信世豪 張立強(qiáng) 李宇昊

(①上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 201620;②上海拓璞數(shù)控科技股份有限公司，上海 201100)

科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展帶動(dòng)了制造業(yè)的發(fā)展，數(shù)控機(jī)床日漸成為需要高性能機(jī)床的現(xiàn)代化制造產(chǎn)業(yè)中不可或缺的重要組成部分。在數(shù)控機(jī)床加工過(guò)程中，幾何誤差、裝配誤差、刀具磨損、加工熱及外部環(huán)境等都會(huì)造成加工誤差[1]。其中幾何誤差是指由于機(jī)床各個(gè)部件實(shí)際幾何參數(shù)偏離理想情況導(dǎo)致的誤差，是機(jī)床的固有誤差，是機(jī)床誤差源中重要的組成部分之一[2]。近年來(lái)，許多文獻(xiàn)圍繞誤差建模技術(shù)進(jìn)行了研究，誤差建模技術(shù)可以為建立誤差模型提供理論基礎(chǔ)，通過(guò)誤差模型建立零件制造裝配過(guò)程中的幾何誤差與最終機(jī)床空間定位誤差之間的關(guān)系[3]。

文獻(xiàn)表明，目前數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模時(shí)通常都假定幾何誤差為常量[4]，但是五軸數(shù)控機(jī)床是由多個(gè)平動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)軸串聯(lián)組成的，各運(yùn)動(dòng)軸在加工過(guò)程共同作用產(chǎn)生誤差[5]，因此在同一位置多次測(cè)量時(shí)，測(cè)得誤差隨機(jī)性較強(qiáng)。傳統(tǒng)模型沒(méi)有考慮誤差隨機(jī)分布情況對(duì)定位誤差的貢獻(xiàn)[6-7]。針對(duì)這一問(wèn)題，本文根據(jù)C100P五軸數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量統(tǒng)計(jì)確定各項(xiàng)幾何誤差分布，基于誤差的均值與方差進(jìn)行誤差建模。由于一般情況下幾何誤差十分接近正態(tài)分布，因此本文假設(shè)幾何誤差服從正態(tài)分布，以矩陣形式表示機(jī)床幾何誤差，從而將幾何誤差概率分布情況納入誤差模型。該研究方法也可為其他各類(lèi)機(jī)床建模問(wèn)題提供參考。

1 基本方法

1.1 誤差分析

數(shù)控機(jī)床是由多個(gè)活動(dòng)構(gòu)件聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)，由于間隙、形變和切削力等原因不可避免存在誤差[8]。傳統(tǒng)方法測(cè)量誤差時(shí)，通常將誤差視為定值，忽略了其分布情況，實(shí)際上，在誤差經(jīng)過(guò)傳遞之后，由于誤差隨機(jī)分布導(dǎo)致的誤差將被放大。

假設(shè)有兩個(gè)串聯(lián)且沿X軸移動(dòng)的移動(dòng)副，不考慮其分布情況時(shí)，極限誤差為μ1、μ2。

以表1中列舉的兩組誤差數(shù)值為例，傳統(tǒng)方法計(jì)算這兩個(gè)移動(dòng)副的合成極限誤差為μt=μ1+μ2，結(jié)果記錄于表1第三行；如果考慮誤差分布情況，在Matlab中設(shè)定誤差的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，模擬實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中由于多種原因?qū)е碌恼`差隨機(jī)分布，再對(duì)兩個(gè)誤差進(jìn)行合成，將結(jié)果記錄于表1第四行。

表1 傳統(tǒng)誤差合成與考慮分布的誤差合成

觀察表1中兩種方法的極限誤差可知，考慮誤差隨機(jī)分布情況時(shí)，合成誤差的極限誤差大于傳統(tǒng)計(jì)算方法算出的誤差，這是由于傳統(tǒng)誤差合成忽略了誤差在空間內(nèi)的隨機(jī)分布情況而產(chǎn)生的。針對(duì)因此產(chǎn)生的誤差，本文將考慮誤差分布情況，對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差建模，從而提高誤差模型的準(zhǔn)確度。

1.2 正態(tài)隨機(jī)變量矩陣運(yùn)算規(guī)則

1.2.1 基于二階矩信息建立誤差傳遞矩陣

多軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)副間位姿傳遞關(guān)系可用3項(xiàng)角度誤差與3項(xiàng)平動(dòng)誤差組成的傳遞矩陣表示，如圖1所示。

以C100P五軸數(shù)控機(jī)床Z軸為例，根據(jù)齊次坐標(biāo)變換原理，Z軸相對(duì)于床身的誤差傳遞矩陣可表示為：

(1)

為了考慮誤差分布情況，引入誤差的二階矩信息來(lái)描述各項(xiàng)誤差，二階矩信息即誤差的均值與方差，能夠準(zhǔn)確描述誤差在空間中的分布情況，每一項(xiàng)誤差都描述為由均值與方差表示的矩陣形式。相比傳統(tǒng)齊次坐標(biāo)變換法建立的傳遞矩陣，引入二階矩信息的誤差傳遞矩陣包含了誤差的分布情況，能夠計(jì)算在誤差傳遞后誤差分布相互耦合產(chǎn)生的影響。考慮正態(tài)化的誤差特征矩陣中，為方便表示，將誤差項(xiàng)Δx1記作一行二列數(shù)組(a，b2)，其中a表示Δx1均值，b表示Δx1標(biāo)準(zhǔn)差。Z軸相對(duì)于床身的帶分布誤差傳遞矩陣可表示為：

(2)

式中：μ表示誤差的均值，o表示誤差的方差。同理B軸相對(duì)Z軸的誤差傳遞矩陣也可表達(dá)為同一形式。則B軸相對(duì)于床身的誤差傳遞矩陣可表示為：

MOB=MOZ·MZB

(3)

分析式(3)可以發(fā)現(xiàn)，在多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，二階矩形式的誤差特征矩陣包含4種運(yùn)算：常數(shù)與誤差項(xiàng)相加，常數(shù)與誤差項(xiàng)相乘，誤差項(xiàng)與誤差項(xiàng)相加，誤差項(xiàng)與誤差項(xiàng)相乘，因此必須確定上述4種運(yùn)算如何進(jìn)行，才能使用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方法對(duì)誤差進(jìn)行建模。為將帶分布的運(yùn)算符號(hào)與數(shù)值運(yùn)算符號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái)，本文定義符號(hào)#+和#*分別為帶分布加法和帶分布乘法運(yùn)算符，之后將以#+表示帶分布的加法運(yùn)算，以#*表示帶分布的乘法運(yùn)算。

1.2.2 常數(shù)與誤差項(xiàng)相加

因?yàn)槌?shù)c可以看作均值為c，方差為0的誤差項(xiàng)，因此可以將常數(shù)c表示為(c，0)，根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)c與正態(tài)分布Δx1相加，均值相加，標(biāo)準(zhǔn)差不變，可表示為：

c+Δx1=(a,b2)#+(c,0)=(a+c,b2)

(4)

1.2.3 常數(shù)與誤差項(xiàng)相乘

根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)c與正態(tài)分布Δx1相乘，均值為兩者均值的乘積，標(biāo)準(zhǔn)差為兩者標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，可表示為：

c·Δx1=(a,b2)#*(c,0)=(a·c,(c·b)2)

(5)

1.2.4 誤差項(xiàng)與誤差項(xiàng)相加

因?yàn)棣1、Δx2為獨(dú)立正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)，兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布相加，得到的分布為正態(tài)分布，均值為兩者均值之和，方差為兩者方差之和，可表示為：

Δx1+Δx2=(a1,b12)#+(a2,b22)=

(a1+a2,b12+b22)

(6)

1.2.5 誤差項(xiàng)與誤差項(xiàng)相乘

兩個(gè)誤差項(xiàng)為獨(dú)立正態(tài)分布，即滿足

(7)

(8)

在Matlab中創(chuàng)建兩個(gè)大小相同的符合N(0,1)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)列a與b，分析N(0，1)·N(0，1)的性質(zhì)。創(chuàng)建c=a·b，即滿足c=N(0，1)·N(0，1)，使用normfit函數(shù)求得c的均值與方差，可得到c的均值為0，方差為1，表達(dá)式可表示為：

(9)

分析式(9)可以發(fā)現(xiàn)，公式左側(cè)為二次多項(xiàng)式形式，最高次項(xiàng)為Δx1*Δx2且僅有一項(xiàng)，因此可以根據(jù)式(3)～(9)經(jīng)運(yùn)算得到Δx1*Δx2的分布情況

Δx1Δx2-a1x2-a2x1+a1a2～(0,(b1b2)2)

(10)

進(jìn)一步推導(dǎo)可得

(11)

Δx1*Δx2的標(biāo)準(zhǔn)差可表示為：

(12)

1.2.6 驗(yàn)證公式正確性

由于均值的四則運(yùn)算和傳統(tǒng)運(yùn)算相同，因此僅驗(yàn)算標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式。

由于Δx1·Δx2運(yùn)算具有對(duì)稱(chēng)性，Δx1·Δx2=Δx2·Δx1顯然成立。任取一組不同的均值與方差，另一組保持不變，通過(guò)式(12)計(jì)算理論標(biāo)準(zhǔn)差。表2記錄了實(shí)驗(yàn)選取的不同均值與標(biāo)準(zhǔn)差以及經(jīng)過(guò)式(12)計(jì)算得到的理論標(biāo)準(zhǔn)差。

表2 選取不同均值與方差檢驗(yàn)公式正確性

創(chuàng)建兩個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量數(shù)組a和b，定義c為這兩個(gè)正態(tài)分布的乘積。從數(shù)組a和b中選取隨機(jī)變量進(jìn)行數(shù)值模擬，求得c的實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)差并將結(jié)果記錄在表3中。將表2和表3中的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)繪制在圖2同一坐標(biāo)軸上，比較數(shù)值模擬和公式計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差。觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)式(12)計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差和通過(guò)數(shù)值模擬得到的標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際值基本吻合，證明了公式的正確性。

表3 部分標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值模擬結(jié)果

2 C100P五軸數(shù)控機(jī)床誤差建模

2.1 結(jié)構(gòu)分析

以圖3所示C100P轉(zhuǎn)臺(tái)擺頭式五軸數(shù)控機(jī)床為例，它由床身、擺頭(A軸)、轉(zhuǎn)臺(tái)(B軸)、橫向滑臺(tái)(X軸)、升降臺(tái)(Y軸)、縱向滑臺(tái)(Z軸)和主軸組成。

基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論簡(jiǎn)化機(jī)床，由于各部分之間為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，所以可將機(jī)床抽象為具有兩條分支的樹(shù)系統(tǒng)拓?fù)錁?gòu)型。第一分支由床身、縱向滑臺(tái)和轉(zhuǎn)臺(tái)構(gòu)成，第二分支由床身、橫向滑臺(tái)、升降臺(tái)和擺頭構(gòu)成[9]。

2.2 機(jī)床運(yùn)動(dòng)矩陣和誤差傳遞矩陣的建立

假設(shè)研究對(duì)象為C100P轉(zhuǎn)臺(tái)擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床，根據(jù)式(3)推導(dǎo)出各運(yùn)動(dòng)軸實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣并記錄于表4。

表4 各運(yùn)動(dòng)軸實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣

表中：MX、MY、MZ、MA和MB分別為X、Y、Z、A和B軸的理想運(yùn)動(dòng)矩陣，eX、eY、eZ、eA和eB分別為X、Y、Z、A和B軸平動(dòng)誤差，eCX、eCY、eCA和eCB分別為X、Y、A和B軸轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，eW為工件對(duì)刀點(diǎn)相對(duì)于B軸旋轉(zhuǎn)中心的相對(duì)坐標(biāo)，et為刀尖點(diǎn)相對(duì)于A軸旋轉(zhuǎn)中心的相對(duì)坐標(biāo)。

根據(jù)各運(yùn)動(dòng)軸實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣可得到工件和刀具實(shí)際位姿矩陣公式的具體形式分別為：

pw=TOZ·TZB·TBW

(13)

pt=TOX·TXY·TYA·TAT

(14)

式中：pw為工件實(shí)際位姿矩陣，pt為刀具實(shí)際位姿矩陣。同理可以得到工件和刀具理想位姿矩陣公式分別為：

(15)

(16)

pwt=Et-Ew

(17)

pwt′=Et′-Ew′

(18)

機(jī)床空間定位誤差e即刀尖相對(duì)于工件對(duì)刀點(diǎn)的理想位置矢量與實(shí)際位置矢量之差，可表示為：

e=pwt-pwt′

(19)

3 誤差模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證誤差模型，本文采用對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)方法，測(cè)量數(shù)控機(jī)床幾何誤差參數(shù)[10-11]測(cè)量結(jié)果記錄于表5。針對(duì)表5中給出的C100P轉(zhuǎn)臺(tái)擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床誤差數(shù)據(jù)，通過(guò)誤差模型預(yù)測(cè)刀具定位誤差，繪制圖像。

表5 C100P五軸數(shù)控機(jī)床誤差參數(shù)

在X、Y和Z三根直線軸上均勻選取8組采樣點(diǎn)，將表5中的誤差數(shù)據(jù)代入式(13)～(19)，得到機(jī)床理論極限定位誤差；計(jì)算各項(xiàng)誤差的極限誤差代入傳統(tǒng)齊次坐標(biāo)變換法計(jì)算得到理論極限定位誤差；對(duì)于實(shí)際定位誤差采用蒙特卡洛法進(jìn)行模擬。蒙特卡洛法是一種通過(guò)抽樣隨機(jī)原始誤差，模擬位姿誤差數(shù)學(xué)模型在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生與實(shí)際加工具有相同統(tǒng)計(jì)特征的定位誤差數(shù)據(jù)的數(shù)值近似方法。根據(jù)表5中的均值與方差分別創(chuàng)建各誤差項(xiàng)的隨機(jī)數(shù)組，從隨機(jī)數(shù)組中選取元素計(jì)算定位誤差，通過(guò)多次選取隨機(jī)數(shù)模擬實(shí)際加工過(guò)程中誤差項(xiàng)分布情況，用蒙特卡洛模擬法模擬8次機(jī)床實(shí)際定位極限誤差，并對(duì)X軸極限定位誤差計(jì)算余差，結(jié)果輸出在圖4。

分析圖4可知，傳統(tǒng)誤差模型理論隨X軸位置變化預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為1.29 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為0.36 μm；傳統(tǒng)誤差模型理論隨Y軸位置變化預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為3.16 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為0.25 μm；傳統(tǒng)誤差模型理論隨Z軸位置變化預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為2.65 μm，基于誤差二階矩信息的誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果余差均值為0.43 μm。基于誤差二階矩信息建模計(jì)算得到的C100P五軸數(shù)控機(jī)床極限定位誤差相比傳統(tǒng)齊次坐標(biāo)變換法具有較理想的預(yù)測(cè)性能。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以五軸數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，通過(guò)引入誤差二階矩信息，將誤差分布情況納入誤差模型。詳細(xì)討論了正態(tài)分布隨機(jī)變量間的運(yùn)算規(guī)則，討論了帶分布誤差傳遞矩陣的建立方法，空間定位誤差的計(jì)算原理及方法。為了驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，以C100P轉(zhuǎn)臺(tái)擺頭型五軸數(shù)控機(jī)床為例，通過(guò)測(cè)量采集誤差數(shù)據(jù)計(jì)算出理論定位誤差，與蒙特卡洛模擬法計(jì)算出的定位誤差進(jìn)行比較。結(jié)果表明，基于二階矩信息的誤差模型能夠正確預(yù)測(cè)數(shù)控機(jī)床空間定位誤差分布情況，具有較好的預(yù)測(cè)精度。通過(guò)與傳統(tǒng)誤差模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了該模型相比傳統(tǒng)誤差模型能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)機(jī)床空間定位誤差。為機(jī)床空間定位誤差的改善提供了參考。