齊永超 呂玉山 李興山 許劉宛 衣軍任

(沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院 遼寧沈陽 110159)

本文作者針對凹坑結(jié)構(gòu)化表面，提出拓撲磨削的加工方法，依據(jù)工件的結(jié)構(gòu)化表面特征設(shè)計結(jié)構(gòu)化砂輪，建立磨削運動模型，并進行磨削過程仿真研究。

1 結(jié)構(gòu)化表面拓撲特征分析

1.1 結(jié)構(gòu)單元形狀拓撲特征分析

研究表明，凹坑型結(jié)構(gòu)化表面上結(jié)構(gòu)單元的形狀尺寸和排布影響著減阻減磨性能[11-12]。土壤動物蜣螂頭部和上唇基分布有圓形及橢圓形的凹坑，具有很好的減黏降阻作用[13]。文中即以橢球冠及球冠形凹坑為例，建立公式(1)所示的結(jié)構(gòu)單元數(shù)學(xué)模型。

(1)

式中：n=h/c，c為橢球冠所在橢圓z軸半徑；l、w、h分別為結(jié)構(gòu)單元長度、寬度和深度。

當l>w時,結(jié)構(gòu)單元形狀為橢球冠形,當l=w時，結(jié)構(gòu)單元形狀為球冠形。圖1為結(jié)構(gòu)單元模型圖。

圖1 凹坑結(jié)構(gòu)單元模型

由數(shù)學(xué)模型(1)可知，參數(shù)l、w、h決定結(jié)構(gòu)單元的尺寸形狀，由此提取其為拓撲特征參量，建立結(jié)構(gòu)單元拓撲特征矩陣為

(2)

1.2 結(jié)構(gòu)單元排布拓撲特征分析

依據(jù)生物表面結(jié)構(gòu)單元排布方式，建立陣列、錯位、葉序3種排布規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，圖2為單元排布示意圖。定義單元長度所在的工件與砂輪相對運動方向為工件固定坐標系xw軸方向，寬度方向為yw軸方向，垂直工件表面方向為zw軸方向，被磨削平面為zw=0平面。xw方向排布Iw列，yw方向排布Jw行。則陣列排布數(shù)學(xué)表達式：

圖2 結(jié)構(gòu)單元排布模型

(3)

錯位排布數(shù)學(xué)表達式為

(4)

式中：i=1,2,3，......,Iw；j=1,2,3,......,Jw;(xi，yj)為任意結(jié)構(gòu)單元中心點坐標;Tx、Ty分別為xw、yw方向排布周期；φx為xw方向相位差。

葉序排布數(shù)學(xué)表達式為

(5)

式中：R為Van Iterson模型[14-15]中母體圓柱半徑；c為葉序排布生長序數(shù)；葉序角θ=137.508°,k=1,2,3，......,Kw，為結(jié)構(gòu)單元序數(shù)；m為控制第k個結(jié)構(gòu)單元在xw軸方向上的排布序數(shù)；φy為yw方向相位差。

由公式(3)—(5)可知，結(jié)構(gòu)化表面的排布特征由排布周期與相位差決定，陣列排布由排布周期Tx和Ty控制結(jié)構(gòu)單元排布間距，行列之間整齊排列，相位差為0；錯位排布xw方向與yw方向排布周期分別為Tx、Ty,偶數(shù)行與奇數(shù)行之間相位差為φx；葉序排布xw方向有相位差φx，yw方向有相位差φy。則提取3種排布的周期與相位建立特征向量矩陣為

[Twp]=[TxTyφxφy]T

(6)

2 結(jié)構(gòu)化砂輪設(shè)計

2.1 凹坑結(jié)構(gòu)化表面創(chuàng)成機制

圖3所示為單元長度方向磨粒簇中心截面磨削過程示意圖，磨料簇在砂輪周向間隔排布。在工件上弧AB段為磨削階段，砂輪上A′B′段為磨粒簇與工件接觸磨削出的凹坑單元；BC段為空閑階段，砂輪上B′C′段不磨削工件，在結(jié)構(gòu)單元間形成平臺間隔。

圖3 截面磨削過程示意

中心截面各磨粒運動軌跡如圖4所示，磨削過程中磨料簇內(nèi)各個磨粒相對工件做延長外擺線運動，各磨粒運動軌跡在工件表面包絡(luò)形成結(jié)構(gòu)單元輪廓。磨料簇最低點A′從切入點開始進入磨削階段，由于磨料簇高度逐漸增大，高點磨粒從切入點左側(cè)開始切削，形成超越切入點的長度l1，且存在某一點磨粒，超越切入點距離最大為l1max。l2為磨料簇與工件接觸時長內(nèi)工件進給的距離，l3為超越切出點長度，與l1相等。設(shè)定砂輪磨料簇高度變化為f(α),磨料簇長度為L，最大高度差為H，周向排布間隔φs，砂輪基體半徑為rs，平均磨粒直徑為dg，磨削深度為ap，則長度l1為

圖4 凹坑中心截面形貌

(7)

式中:α為進入磨削狀態(tài)的磨料簇的圓心角度;β為不同α值時，對應(yīng)位置磨粒與平面開始接觸時的角度;ps為3種排布的速度比。從而得到結(jié)構(gòu)單元長度為

(8)

結(jié)構(gòu)單元間的排布周期為

(9)

由運動學(xué)關(guān)系可知，當Tx=l時，結(jié)構(gòu)單元相接，凹坑相連;Tx>l時，結(jié)構(gòu)單元相離，可形成凹坑型結(jié)構(gòu)化表面。

2.2 工件與砂輪拓撲映射關(guān)系模型

設(shè)定工件固定坐標系為工件三維拓撲空間，砂輪固定坐標系為砂輪三維拓撲空間，工件表面結(jié)構(gòu)單元與砂輪磨料簇的拓撲對應(yīng)關(guān)系中，在寬度方向與深度方向為等值變換，在長度方向，由公式(8)可知，受磨料簇形狀、速度比、磨削深度等影響，發(fā)生拉伸和彎曲變形，且結(jié)構(gòu)單元集合點與磨料簇集合點間存在一一映射關(guān)系。設(shè)定砂輪磨料簇拓撲特征矩陣與排布特征矩陣為分別為

[Tsd]=[LWH1]T

(10)

[Tsp]=[σxσyδxδy]T

(11)

式中:L、W、H分別為磨料簇的長度、寬度與高度;σx、σy、δx、δy分別為周向與軸向排布周期和相位差。

由這種拓撲變換關(guān)系，建立工件結(jié)構(gòu)單元與砂輪磨粒簇之間的拓撲映射關(guān)系矩陣[Cd]與排布特征拓撲映射矩陣[Cp]：

(12)

(13)

則工件與砂輪之間的拓撲映射關(guān)系為

(14)

2.3 結(jié)構(gòu)化砂輪數(shù)學(xué)模型

由公式(14)得到砂輪的單元特征與排布特征，在長度方向?qū)⒔Y(jié)構(gòu)單元長半軸等分為S份，由公式(1)得到磨料簇離散數(shù)學(xué)模型-f(s·L/(2S),s·W/(2S))，s=1,2,......,S，得到磨料簇數(shù)學(xué)模型中各磨粒點坐標(xs,ys,zs)。設(shè)定陣列與錯位排布砂輪表面磨粒簇周向排列Is列，軸向排列Js行，i=1,2,......,Is,j=1,2,......,Js。對于陣列排布有周向周期σx、軸向周期σy、相位差為0，由此建立陣列排布磨料簇砂輪數(shù)學(xué)模型：

(15)

錯位排布奇數(shù)行與偶數(shù)行間有周向的相位差δx=σx/2，j為奇數(shù)時，數(shù)學(xué)模型與公式(15)相同，j為偶數(shù)時砂輪數(shù)學(xué)模型為

(16)

葉序排布在砂輪表面排布Ks個磨粒簇，k=1,2,3,......,Ks，周向相位差δx=θ，軸向相位差δy為葉序生長序數(shù)c，則數(shù)學(xué)模型為

(17)

由拓撲映射關(guān)系公式(14)和砂輪的數(shù)學(xué)模型(15)—(17)設(shè)計出砂輪，使用MatLab建立圖5所示的陣列、錯位、葉序排布砂輪模型圖，砂輪由砂輪基體與規(guī)則排布的磨料簇組成。

圖5 磨料簇砂輪模型

3 磨粒運動軌跡模型

磨料簇砂輪逆磨平面結(jié)構(gòu)化表面，在磨削運動仿真中工件靜止，砂輪相對工件運動，砂輪逆時針勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為ωs=2πns/60，砂輪相對工件勻速進給，進給速度為vw，砂輪與工件坐標系之間的距離為e=r+H-ap。數(shù)學(xué)模型以時間t為變量，控制磨削運動過程，圖6為磨削過程示意圖。

圖6 磨削過程示意

定義砂輪固定坐標系Ss(xs,ys,zs)，砂輪旋轉(zhuǎn)坐標系Sn(xn,yn,zn),工件進給坐標系Sf(xf,yf,zf)，工件絕對坐標系Sw(xw,yw,zw)。通過坐標變換實現(xiàn)從砂輪固定坐標到工件固定坐標系的轉(zhuǎn)換，建立砂輪固定坐標系到砂輪旋轉(zhuǎn)坐標的變換矩陣[Msn]，砂輪旋轉(zhuǎn)坐標系到工件進給變換矩陣[Mnf]，工件進給坐標系到工件固定坐標系變換矩陣[Mfw]，分別為

(18)

(19)

(20)

由變換矩陣(18)—(20)得到磨料簇砂輪上各個磨粒在不同時刻運動軌跡的數(shù)學(xué)模型：

[Q]=[Mfw]×[Mnf]×[Msn]×[P]

(21)

4 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)砂輪數(shù)學(xué)模型和運動軌跡模型使用MatLab進行仿真。仿真中砂輪基體半徑為50 mm，軸向?qū)挾葹?3 mm，磨粒平均直徑為95 μm，磨料簇弧長為30 mm,磨料簇寬度為2 mm，磨料簇最大高度差為20 μm，設(shè)定砂輪轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，通過控制工件進給速度來控制轉(zhuǎn)速比，研究不同的排布規(guī)律、速度比與磨削深度對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響。

4.1 排布對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響

對于陣列排布砂輪，磨料簇軸向排布4行，周期3 mm，周向排布4列；錯位排布軸向7行，周期1.5 mm，周向排布4列，偶數(shù)與奇數(shù)行間相位差1.5 mm；葉序排布軸向相位差0.8 mm，周向相位差為葉序角θ，排布12個磨料簇。設(shè)置3種排布的速度比ps分別為12.9、9、9，磨削深度ap=20 μm。仿真形貌分別如圖7所示，通過改變結(jié)構(gòu)單元的排布拓撲特征[Tw]，可得到不同排布的結(jié)構(gòu)化表面形貌，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化表面形貌的多樣化。此時陣列排布為相接的臨界狀態(tài)，而錯位排布與葉序排布可在更小的速度比下，形成相離狀態(tài)的凹坑結(jié)構(gòu)化表面，具有更高的表面占用率。

圖7 不同排布形貌仿真結(jié)果

4.2 速度比對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響

以陣列排布為例，研究速度比對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響。設(shè)置磨削深度為20 μm不變，圖7(a)和圖8(a)、(b)是轉(zhuǎn)速比ps分別在12.9、14和16時工件表面的形貌，結(jié)構(gòu)單元的長度分別為3.18、3.22、3.38 mm，結(jié)構(gòu)單元的排布間距分別為3.18、3.5、4 mm。由仿真結(jié)果可知，當l=Tx時，凹坑單元相接處于臨界狀態(tài)，隨著速度比進一步增大，結(jié)構(gòu)單元深度h與寬度w不變，結(jié)構(gòu)單元長度l與周期Tx均增大。且進一步研究得，在ps較小時，長度l增長速率較小，ps較大時增長速率較大且趨于線性增長；排布周期Tx與轉(zhuǎn)速比ps成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為σx/(2π)，且增大的速率大于單元長度的增長速率。

圖8 不同轉(zhuǎn)速比形貌仿真結(jié)果

4.3 磨削深度對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響

在速度比一定時，研究磨削深度對結(jié)構(gòu)化表面形貌的影響。設(shè)置速度比為12.9，圖9(a)、(b)和圖7(a)是磨削深度ap分別在10、15和20 μm時工件表面的形貌，單元的長度l分別為2.25、2.77、 3.22 mm，單元的排布間距Tx均為3.22 mm。隨著磨削深度的增大，單元排布周期Tx值不變，結(jié)構(gòu)單元長度l與寬度w均增大，且增長速率受單元形狀影響均逐漸減小。

圖9 不同磨削深度形貌仿真結(jié)果

5 結(jié)論

(1)基于磨削運動學(xué)關(guān)系與點集拓撲理論，提出拓撲磨削結(jié)構(gòu)化減阻表面的方法，該方法可根據(jù)工件與砂輪的拓撲映射關(guān)系設(shè)計磨料簇砂輪，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化表面形貌多樣化，從而加工出特定單元形狀與排布規(guī)律的凹坑型結(jié)構(gòu)化表面，達到預(yù)期的減阻、減磨性能。

(2)通過建立工件與砂輪拓撲空間的映射關(guān)系矩陣，設(shè)計出磨粒簇砂輪并建立磨削運動軌跡模型，進行拓撲磨削過程仿真，仿真結(jié)果表明：工件與砂輪的速度比ps與磨削深度ap是影響結(jié)構(gòu)單元形貌的主要因素。磨削深度一定時，工件與砂輪的速度比增大，結(jié)構(gòu)單元的長度l逐漸增大，排布周期Tx隨速度比線性增大，當結(jié)構(gòu)單元長度與排布周期Tx相等時，凹坑單元相接；單元寬度w與周期Ty不變。在速度比一定時，磨削深度越大，結(jié)構(gòu)單元的長度與單元的寬度均越大，且結(jié)構(gòu)單元的排布周期與磨削深度無關(guān)。

(3)仿真結(jié)果驗證了拓撲磨削結(jié)構(gòu)化表面方法的可行性，后續(xù)將進行磨料簇砂輪的制造與磨削實驗，對上述結(jié)論進行實驗驗證。