陳瑜鑫， 劉惠籃

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 貴陽 550025)

0 引 言

由于社會和自然因素影響，我國各地區(qū)的城市建設(shè)情況及設(shè)施水平發(fā)展不均衡。本次研究的主要目的是對城市建設(shè)情況及設(shè)施水平的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而得出各地區(qū)城市建設(shè)水平的綜合得分，更好地了解各地區(qū)城市建設(shè)情況與設(shè)施水平的差異。

近年來，眾多研究人員對城市設(shè)施水平進(jìn)行了比較研究，得出了一些研究成果。2004年，李鳳琴[1]選取了與城市設(shè)施水平有關(guān)的7個變量，在因子分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合聚類分析對各地區(qū)城市設(shè)施水平進(jìn)行評價，由聚類分析的結(jié)果將這些地區(qū)分成3類，最終得到了城市設(shè)施水平的大致情況；2008年，張哲等[2]針對全國31個城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)數(shù)據(jù)，運用聚類分析和主成分分析進(jìn)行實證研究，結(jié)論表明：基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)水平較高的是經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的北京、上海等城市，相對于南方城市而言，北方城市的建設(shè)水平普遍較低；2013年，謝英欣等[3]基于K-均值法對我國各地區(qū)城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)水平進(jìn)行聚類，分析我國東部和西部地區(qū)城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)不均衡的具體因素，提出政府要充分發(fā)揮宏觀調(diào)控的作用，加大對我國中西部地區(qū)城市的政策幫助和資金投入，加快改善中西部落后省份城市的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)水平；2015年，張偉芳等[4]選取了甘肅省各城市10年的基礎(chǔ)設(shè)施數(shù)據(jù)，運用變異系數(shù)法計算各州市的城市基礎(chǔ)設(shè)施得分，通過圖表描繪了各城市基礎(chǔ)設(shè)施的改變，得出了甘肅省14個州市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)水平的發(fā)展存在明顯差異，從3個方面分析了城市基礎(chǔ)設(shè)施的影響因素；2016年，榮月靜等[5]選取長江三角洲地區(qū)16個城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的數(shù)據(jù)，基于多因素綜合評價等方法對該地區(qū)的城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)水平進(jìn)行研究，提出城市基礎(chǔ)設(shè)施的各個方面要協(xié)調(diào)發(fā)展，同時也指明各城市在基礎(chǔ)設(shè)施發(fā)展過程中存在的問題，并提出與之相對應(yīng)的解決方法，期望長江三角洲各個城市的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)為其他城市提供一定的經(jīng)驗；2017年，朱怡然[6]選擇了城市橋梁、綠地面積、用水普及率等22個指標(biāo)對全國31個省市自治區(qū)的城市競爭力進(jìn)行評價，利用主成分分析選取了前4個主成分并得到31個省市自治區(qū)的綜合得分，根據(jù)綜合得分將這些地區(qū)進(jìn)行排序，對城市建設(shè)水平較低的地區(qū)給出了一些很有針對性的建議。

對于城市建設(shè)水平的研究，上述學(xué)者建立了比較完善的評價指標(biāo)體系，為研究最新的城市建設(shè)水平提供了堅實的基礎(chǔ)。采用不同的多元統(tǒng)計方法研究各地區(qū)城市建設(shè)及設(shè)施水平，得到了不同地區(qū)城市建設(shè)水平發(fā)展的具體情況，針對各地區(qū)城市建設(shè)水平的差異，提出了與之相對應(yīng)的解決對策。但是以上研究大多基于主成分分析和因子分析等傳統(tǒng)多元統(tǒng)計方法，在某些情形下難以解釋。稀疏主成分方法極大地稀疏了載荷矩陣，因此，它相較于主成分方法具有更強的可解釋性。通過平衡主成分的稀疏度和解釋程度，討論了懲罰參數(shù)的選擇方法。

本文基于稀疏主成分法與聚類方法對2017年和2018年城市建設(shè)情況及設(shè)施水平的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，深入了解各地區(qū)城市建設(shè)情況與設(shè)施水平的差異，得到了2017年到2018年城市建設(shè)水平的動態(tài)變化，這些有意義的結(jié)論將促進(jìn)城市的建設(shè)與發(fā)展。

1 建立模型

1.1 主成分

主成分分析[7]是在保留絕大多數(shù)信息量的條件下，通過線性變換的方式，用較少的新變量替代原來較多的變量。它的實質(zhì)就是通過原始變量的線性組合來達(dá)到降低原始變量維度的目的，主成分就是經(jīng)過變換后得到的新變量。主成分與原始變量之間存在以下的關(guān)系：各主成分之間互不相關(guān)，原始變量的數(shù)量大于主成分的數(shù)量，多個原始變量的不同線性組合構(gòu)成了不同的主成分，選取的主成分只損失了原始變量很少部分信息。

設(shè)X=(X1，X2，…，Xp)T是p維隨機向量，均值E(X)=μ，協(xié)方差陣Cov(X，X)=∑?？紤]以下的線性變換：

容易看到：

為了得到較好的結(jié)果，希望Zi的方差比較大，同時Zi之間是互相獨立的，由于

對于任意的常數(shù)c，有

從上面的式子可以看出，對ai不加限制時，Var(Zi)將會變得任意大，這樣，所研究的問題將變得沒有意義。因此，有下面的約定：

(2)Zi與Zj相互無關(guān)，i≠j，i，j=1，2，…，p。

等式兩邊分別對a1和λ求導(dǎo)，并令其等于0

另外，主成分的選取個數(shù)可以由特征值的變化情況來確定，可以利用R軟件畫出碎石圖，通過圖形的變化趨勢來確定主成分的個數(shù)m。由相關(guān)陣R求主成分的過程與由協(xié)方差陣∑求主成分的過程是一致的，這是因為X的相關(guān)陣剛好是X*的協(xié)方差陣，X*是原始變量經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的變量。

1.2 稀疏主成分

Zou等[8]提出了稀疏主成分分析方法，稀疏主成分是建立在主成分可以寫成一個二次懲罰的回歸型優(yōu)化問題的基礎(chǔ)上的，Lasso[9]懲罰和Elastic Net[10]可以直接整合到回歸準(zhǔn)則中，從而實現(xiàn)模型具有稀疏加載的主成分。稀疏加載后的主成分，使得載荷矩陣的一部分變量系數(shù)壓縮為零，不僅提高了模型的可解釋性，而且稀疏主成分能正確地識別重要的變量，不會丟失重要變量的信息。通常情況下，稀疏主成分的求解能轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

s.t.ATA=Ik×k

其中:Xi表示原始矩陣的第i列。下面的算法總結(jié)了稀疏主成分的求解步驟：

Step1令A(yù)初始化為前k個普通主成分的載荷向量V[，1：k]。

Step2對于固定的A=[α1，…，αk]，其中αi，i=1，2，…，k表示前k個主成分的載荷向量，解下面的Elastic Net問題：

其中j=1，2，…，k。

Step3對于固定的B=[β1，β2,…，βk]，其中，βi，i=1，2，…，k表示前k個稀疏主成分的載荷矩陣。計算SVD分解XTXB=UDVT，然后更新A=UVT。

Step4重復(fù)第二步至第三步，直到收斂為止。

通常可以使用LARS-EN算法求解步驟2中的Elastic Net問題，從而得到合適的懲罰系數(shù)。同時LARS-EN算法很大程度上提高了稀疏主成分的計算效率。

準(zhǔn)確地選擇懲罰系數(shù)對求解主成分是極其關(guān)鍵的，當(dāng)n>p時，η通常被選取為零，不同的η1，j可以得到不同的稀疏主成分。本文選擇懲罰系數(shù)時，不僅要考慮主成分的稀疏度，同時也必須兼顧主成分對于原始變量的解釋程度[11]。令M表示載荷為零的變量個數(shù)，N代表總變量個數(shù)，PEV表示方差解釋程度。定義S為

用解釋方差度刻畫解釋程度，本文考慮S達(dá)到最大時所對應(yīng)的η1，j值是最優(yōu)的懲罰系數(shù)。

1.3 聚類分析

作為一種常用的多元統(tǒng)計方法，聚類分析將樣品進(jìn)行分類，根據(jù)樣品之間的相似性，把相似度越高，差異越小的樣品聚為一類，使得同一類中樣品相似度高，不同類之間樣品相似度低。這里主要研究的是Q型聚類分析。研究樣品之間的關(guān)系是對樣品進(jìn)行聚類的前提，有許多統(tǒng)計量可以用來描述樣品間的相似程度，一般用得比較多的統(tǒng)計量就是距離。樣品Xi與Xj之間的距離用dij來表示，一般有下面的要求：

(1)dij≥0，?i，j；dij=0?Xi=Xj。

(2)dij=dji，?i，j。

(3)dij≤dik+dkj，?i，j，k。

此處使用的樣品間的距離是歐式距離。其定義為

在眾多聚類方法中，應(yīng)用最為廣泛的就是系統(tǒng)聚類法，系統(tǒng)聚類法的聚類過程可以由譜系圖最終表示出來。系統(tǒng)聚類法的步驟如下：

Step1計算n個樣品兩兩之間的距離。

Step2將n個樣品對應(yīng)于n個類，保證每個類只包括一個樣品。

Step3將n個類中距離最接近的兩個類合成一個新的類。

Step4計算已有的各類與最新得到的類之間的距離；觀察類的個數(shù)是否為1。如果不是，重復(fù)步驟3和4；若是，則轉(zhuǎn)到步驟5。

Step5畫出譜系聚類圖。

Step6決定分類的個數(shù)和聚類的成員。

2 實證分析

本文使用的數(shù)據(jù)為目前所有的最新數(shù)據(jù)，來源于2018年和2019年中國統(tǒng)計年鑒，各地區(qū)城市建設(shè)情況及設(shè)施水平的統(tǒng)計指標(biāo)見表1。首先采用稀疏主成分方法對2018年各地區(qū)的城市建設(shè)情況及設(shè)施水平進(jìn)行評價，利用該方法計算各地區(qū)的綜合得分，按綜合得分的高低進(jìn)行排序。僅選取一年的城市建設(shè)水平數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，只能了解這些地區(qū)該年度的城市建設(shè)情況，無法更好地了解城市發(fā)展的趨勢。因此，將2017年和2018年我國各地區(qū)的綜合得分進(jìn)行對比，得出兩年間我國城市建設(shè)情況及設(shè)施水平的變化趨勢。同時運用系統(tǒng)聚類法對全國31個省市自治區(qū)分類。

表1 城市建設(shè)水平評價指標(biāo)Table 1 Evaluation index of urban construction level

由于各個評價指標(biāo)的單位不一致，而且指標(biāo)的量級差距較大，所以本文在使用主成分分析(表2)和稀疏主成分分析之前，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。通過稀疏主成分分析法，可以得到前5個稀疏主成分的載荷矩陣、貢獻(xiàn)率、累積貢獻(xiàn)率，懲罰系數(shù)η1，j=(0.3，0.6，0.2，1，0.6)對應(yīng)于不同的稀疏主成分。稀疏化后的載荷矩陣如表3所示。

表2 主成分的載荷矩陣Table 2 Loading matrix of principal components

表3 稀疏主成分的載荷矩陣Table 3 Loading matrix of sparse principal components

城區(qū)面積、建成區(qū)面積、城市建設(shè)用地面積、征用土地面積的綜合就是第一主成分，第一主成分主要代表城市建設(shè)中的面積；第二主成分為水氣主成分，主要與城市用水普及率和城市燃?xì)馄占奥氏嚓P(guān)；第三主成分為人均面積及密度主成分，主要表示的是人均城市道路面積、人均公園綠地面積和城市人口密度；第四主成分和第五主成分中，由于其他變量的系數(shù)被壓縮為零，分別只剩下一個變量的系數(shù)非零，因此，第四主成分表示每萬人擁有公共廁所；第五主成分表示每萬人擁有公共交通車輛。

由主成分和稀疏主成分載荷矩陣的對比分析來看，使用稀疏主成分極大地稀疏了載荷矩陣，使得每個主成分所對應(yīng)的部分變量系數(shù)被壓縮為0。由表3可知，前5個稀疏主成分的方差貢獻(xiàn)率逐漸減少，保留了原始變量72.0%的信息，同時極大地稀疏了載荷變量的個數(shù)。第一主成分中，載荷為0的變量個數(shù)有7個，第二主成分中，載荷為0的變量個數(shù)有9個，第三主成分中，載荷為0的變量個數(shù)有8個，第四主成分和第五主成分中，載荷為0的變量個數(shù)都有10個。利用稀疏主成分對各地區(qū)城市建設(shè)情況及設(shè)施水平進(jìn)行分析，可以得到各地區(qū)的綜合得分及排名如表4所示。值得注意的是，表4中綜合得分負(fù)得越大，綜合得分越高。

表4 各地區(qū)城市建設(shè)水平綜合得分及排名Table 4 Comprehensive score and ranking of urban construction level in various regions

從表4可以看到2018年我國各地區(qū)城市建設(shè)與設(shè)施水平的大致情況，具體表現(xiàn)在以下幾個方面：綜合得分排名靠前的10個地區(qū)分別是江蘇、浙江、廣東、山東、河南、北京、黑龍江、陜西、河北、福建，表明這10個地區(qū)的城市建設(shè)情況及設(shè)施水平較高。綜合得分排名第11至21名的地區(qū)分別為上海、四川、湖南等11個地區(qū)，表明這些地區(qū)的城市建設(shè)情況及設(shè)施在國內(nèi)處于中等水平，其他10個地區(qū)的綜合得分排名是比較靠后的，這10個地區(qū)的城市建設(shè)情況及設(shè)施水平與全國其他各地區(qū)存在一定的差距。

從2017年與2018年的各地區(qū)城市建設(shè)情況及設(shè)施水平的對比分析來看，綜合得分排名呈上升趨勢的地區(qū)有12個，分別是河北、內(nèi)蒙古、江蘇、浙江、安徽、福建、河南、海南、四川、云南、陜西、青海。這12個地區(qū)中，陜西、江蘇、內(nèi)蒙古和云南的上升幅度是非常明顯的，陜西的綜合得分排名從2017年的第24名上升到了第8名，江蘇次之，從2017年的第13名上升到了第1名，內(nèi)蒙古的綜合得分排名從第30名上升到了第19名，云南的綜合得分排名也上升到了第17名。這4個地區(qū)的城區(qū)面積、建成區(qū)面積都有了較大幅度的增長，導(dǎo)致了它們的綜合排名有了較為明顯的提升。這兩年間，綜合得分排名保持不變的地區(qū)共有3個，依次是山東、黑龍江和西藏。由表3可以看出，山東和黑龍江的綜合得分在2017年和2018年都是比較靠前的，其中，山東的綜合得分排名為第4名，黑龍江的綜合得分排名為第7名，西藏的綜合得分最低，它的綜合得分排名為第31名。綜合得分排名呈下降趨勢的地區(qū)有16個，分別是廣東、上海、北京、遼寧、天津、湖北、湖南、江西、山西、甘肅、新疆、廣西、重慶、貴州、吉林、寧夏。這16個地區(qū)中，遼寧、江西的下降幅度比較明顯，遼寧的綜合得分排名從2017年的第5名降到了2018年的第18名，江西的綜合得分排名從2017年的第12名下降到了2018年的第23名。

由于各變量的量綱不一致，所以使用標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計算關(guān)于歐式距離的距離矩陣，得到各個樣品之間的距離。對2018年各地區(qū)城市建設(shè)水平的相關(guān)數(shù)據(jù)選擇離差平方和法進(jìn)行系統(tǒng)聚類，可以將31個地區(qū)分為3類，聚類結(jié)果見圖1。第一類包括廣東、江蘇、山東；第二類包括天津、上海、云南、陜西、黑龍江、河南、湖南、新疆、河北、福建、海南、青海、江西、山西、貴州、甘肅、內(nèi)蒙古、寧夏、北京、浙江、安徽、四川、遼寧、湖北、廣西、吉林、重慶；第三類包括西藏。

圖1 系統(tǒng)聚類圖Fig. 1 Hierarchical clustering diagram

運用稀疏主成分法與系統(tǒng)聚類法對2018年城市建設(shè)水平進(jìn)行綜合評價，第一類的3個地區(qū)的綜合得分排名都比較靠前，第二類地區(qū)的綜合得分排名居中，第三類的西藏地區(qū)綜合得分排名最后。這也說明了由稀疏主成分得到的綜合得分排名是合理的。

3 結(jié)論與建議

從2018年各地區(qū)綜合得分的排名來看，我國各地區(qū)城市建設(shè)及設(shè)施水平的發(fā)展是存在差異的，總體趨勢是東部沿海地區(qū)的水平普遍較高，尤其是江蘇、浙江、廣東、山東的城市建設(shè)水平穩(wěn)居前列；西南和西北內(nèi)陸地區(qū)的城市建設(shè)及設(shè)施水平較低，特別是西藏、寧夏、貴州與其他地區(qū)的水平存在較大的差距。為了保證各地區(qū)城市建設(shè)水平更加均衡地發(fā)展，更好地推進(jìn)我國城市建設(shè)的進(jìn)程，在此，提出如下幾點建議：

綜合得分排名名列前茅的4個地區(qū)分別是江蘇、浙江、廣東、山東，從它們所處的地理位置來看，這幾個省都處于我國東部沿海地區(qū)，它們的城市建設(shè)及設(shè)施水平在全國處于領(lǐng)先。東部沿海地區(qū)城市建設(shè)水平迅速崛起的重要原因在于它們天然的地理優(yōu)勢，改革開放初期，首先發(fā)展沿海的策略使得這些地區(qū)的城市化水平較高，所以，東部沿海地區(qū)要保持現(xiàn)在的發(fā)展勢頭，繼續(xù)鞏固現(xiàn)存的發(fā)展優(yōu)勢，樹立可持續(xù)發(fā)展理念，實現(xiàn)城市建設(shè)又好又快發(fā)展；同時要給其他地區(qū)的城市建設(shè)樹立典范，為全國各地區(qū)的城市建設(shè)提供寶貴的經(jīng)驗。

綜合得分排名處于中間位置的這些地區(qū)，它們的城市建設(shè)及設(shè)施水平在全國范圍內(nèi)處于中等。這些地區(qū)要向城市建設(shè)較好的東部沿海地區(qū)看齊，爭取與東部沿海地區(qū)的城市建設(shè)水平接近，讓自身的城市建設(shè)邁上一個新的臺階，實現(xiàn)的跨越式發(fā)展。其中，上海和四川的城市建設(shè)水平發(fā)展極其顯著，其他的地區(qū)要積極借鑒這兩個地區(qū)的城市建設(shè)經(jīng)驗，不斷提高城市建設(shè)水平。

在錯綜復(fù)雜的因素影響下，西南地區(qū)和西北地區(qū)的城市建設(shè)水平是較低的，尤其是西藏、寧夏、貴州的城市建設(shè)長期處于較低水平。這幾個地區(qū)位于我國的內(nèi)陸地區(qū)，不僅自身經(jīng)濟(jì)實力相對偏弱，而且得到政府的資金幫助有限。因此，西南、西北地區(qū)要根據(jù)自身優(yōu)勢，因地制宜地發(fā)展經(jīng)濟(jì)，從而保證城市建設(shè)有源源不斷的資金支持。同時要充分認(rèn)識到與其他地區(qū)城市建設(shè)與設(shè)施水平發(fā)展的差距，從其他地區(qū)吸取經(jīng)驗，擺脫城市建設(shè)情況較差的面貌，實現(xiàn)我國各地區(qū)城市建設(shè)的均衡發(fā)展。