方文波 李書(shū)剛 程婷 代晉軍 李正幫

【摘要】本文在總結(jié)國(guó)內(nèi)外線性代數(shù)教材的基礎(chǔ)上，介紹了以線性方程組為明線，以線性變換為暗線構(gòu)架線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容體系的一些具體做法以及該體系的特點(diǎn).《線性代數(shù)及其應(yīng)用》教材（根據(jù)該構(gòu)架體系編寫(xiě)）入選國(guó)家“十二五”規(guī)劃教材，2018年獲得國(guó)家教學(xué)成果二等獎(jiǎng).

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)，內(nèi)容體系、線性方程組、線性變換、明線、暗線

【基金項(xiàng)目】“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下線性代數(shù)新形態(tài)教材建設(shè)及教學(xué)模式探索（華中師范大學(xué)教研項(xiàng)目，2016）

一、背 景

我們的研究團(tuán)隊(duì)十多年來(lái)致力于線性代數(shù)課程數(shù)字化教學(xué)資源的研發(fā).目前已研發(fā)出的線性代數(shù)教學(xué)軟件有演算系統(tǒng)、測(cè)試系統(tǒng)、線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)、求解模型等，在高等教育出版社出版了5套線性代數(shù)電子教案.在研發(fā)這些數(shù)字化教學(xué)資源過(guò)程中，我們參閱了大量國(guó)內(nèi)外優(yōu)秀的線性代數(shù)教材，并對(duì)它們進(jìn)行了研究.國(guó)內(nèi)外線性代數(shù)教材的主要內(nèi)容基本相同：行列式、矩陣代數(shù)、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、特征值與特征向量、二次型、向量空間和線性變換等.不同之處在于：國(guó)外教材內(nèi)容相對(duì)較全面，難點(diǎn)分散，著重強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)方法和應(yīng)用，在內(nèi)容編排上略顯松散;國(guó)內(nèi)教材在內(nèi)容上有所刪減，在編排上知識(shí)體系的邏輯性較好、較緊湊，強(qiáng)調(diào)理論和方法，對(duì)應(yīng)用重視不夠，幾乎不涉及數(shù)值計(jì)算.

在內(nèi)容組織上，國(guó)內(nèi)線性代數(shù)教材的內(nèi)容組織可分成兩種：無(wú)主線型和有主線型.無(wú)主線型是按知識(shí)點(diǎn)的前后邏輯順序進(jìn)行編排;有主線型是以某一個(gè)問(wèn)題或知識(shí)點(diǎn)為主線將各內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)形成一個(gè)整體，有主線型的主線一般為方程組、矩陣、初等變換、向量等.以方程組為主線編排的指導(dǎo)思想是希望以方程組的研究來(lái)引入其他內(nèi)容，或用方程組來(lái)解釋某些內(nèi)容.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，線性代數(shù)已不僅僅是其他學(xué)科的基礎(chǔ)和工具，它已成為可以直接創(chuàng)造價(jià)值的數(shù)學(xué)技術(shù).基于此，我們產(chǎn)生了編寫(xiě)一本吸收國(guó)內(nèi)外優(yōu)秀線性代數(shù)教材優(yōu)點(diǎn)的且符合我國(guó)國(guó)情的線性代數(shù)教材的想法.

二、內(nèi)容確定

在確定內(nèi)容時(shí)，我們考慮到我國(guó)高校工科專業(yè)線性代數(shù)課程的學(xué)時(shí)數(shù)較少（一般為32～52學(xué)時(shí)），以及教學(xué)大綱和考研的要求，最后確定的內(nèi)容有：行列式、矩陣代數(shù)、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、特征值與特征向量、二次型.將線性空間濃縮成一節(jié)放在向量組的線性相關(guān)性中;將線性變換簡(jiǎn)化成矩陣變換，分散在不同的知識(shí)點(diǎn)中，形成內(nèi)容體系的暗線.同時(shí)考慮到大部分同學(xué)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目的是應(yīng)用，我們精選并設(shè)計(jì)了14個(gè)應(yīng)用案例：平行四邊形的面積、平行六面體的體積、平面圖形變換、齊次坐標(biāo)、希爾密碼、劍橋減肥食譜、電路網(wǎng)絡(luò)、配平化學(xué)方程式、網(wǎng)絡(luò)流、向量在差分方程中的應(yīng)用、馬爾可夫鏈、二次曲線的研究、條件優(yōu)化、離散動(dòng)力系統(tǒng).

三、內(nèi)容構(gòu)架

使用了雙主線：以方程組的研究為明線，以線性變換為暗線.

1.明線的設(shè)計(jì)

我們知道，線性代數(shù)這門(mén)學(xué)科是在研究線性方程組的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的，因此，以方程組為明線的設(shè)計(jì)思路符合這門(mén)學(xué)科的發(fā)展規(guī)律.為了突出明線的作用，我們?cè)黾恿司€性方程組的研究這一章，在這章里通過(guò)幾個(gè)具體的例子來(lái)引入線性方程組解的三種情形以及在研究線性方程組時(shí)需解決的三個(gè)問(wèn)題.除了特征值特征向量及二次型外，其他內(nèi)容都是為了解決這三個(gè)問(wèn)題而展開(kāi)的.

行列式是在研究線性方程組的過(guò)程中最早產(chǎn)生的一個(gè)重要概念.為了記憶二元和三元線性方程組唯一解的求解公式，引入了二階和三階行列式.研究了行列式的定義和性質(zhì)后，克拉默法則解決了有n 個(gè)未知量n 個(gè)方程的線性方程組有唯一解的條件以及唯一解的求解公式.

為了研究一般線性方程組，需要引入新的概念、新的工具，建立新的理論.由于線性方程組與未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩形數(shù)表一一對(duì)應(yīng)，所以線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化成對(duì)這個(gè)矩形數(shù)表的研究，這樣很自然地引入了矩陣這個(gè)概念，矩陣為線性方程組的研究提供了有力工具.

如何利用矩陣來(lái)研究線性方程組？還需要引入哪些概念和方法呢？為了解決這些問(wèn)題，我們?cè)黾恿讼?消元法是先用初等變換將方程組化為階梯形方程組，然后通過(guò)階梯形方程組來(lái)討論原方程組的解.利用消元法可以對(duì)具體線性方程組解的情形進(jìn)行判別，但對(duì)一般的線性方程組，由于得不到階梯形方程組，因而此時(shí)消元法的結(jié)論好看不好用.為了使消元法的結(jié)論變得好用，可利用矩陣這一有力工具.為此先將消元法中方程組的初等變換、階梯形方程組、同解方程組、階梯形方程組中有效方程的個(gè)數(shù)等概念移植到矩陣中去，這樣便得到了矩陣的初等行變換、行階梯形矩陣、矩陣等價(jià)、矩陣的秩等概念.這樣處理使得矩陣的相關(guān)概念的引入變得非常自然，學(xué)生更容易接受.有了這些準(zhǔn)備后，就可以用矩陣語(yǔ)言將消元法的結(jié)論進(jìn)行描述，得到了在理論和具體應(yīng)用中都非常有用的線性方程組解的判別定理.由此，使學(xué)生既可以看到矩陣?yán)碚撝械暮芏嘀匾拍詈头椒ǖ囊氩皇菙?shù)學(xué)家憑空想出來(lái)的，而是有的放矢，又可從中學(xué)到分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法.

雖然利用矩陣的秩可以判別方程組解的情形，利用矩陣的初等行變換可以求出方程組的全部解即通解，但方程組的研究還沒(méi)有結(jié)束，因?yàn)樵谕ń庵惺怯糜邢迋€(gè)解來(lái)表示全部的解，也就是說(shuō)通解是有結(jié)構(gòu)的.為了研究通解的結(jié)構(gòu)，需要用到線性代數(shù)中的另一重要工具——向量.另外，線性方程組中的每個(gè)方程可以唯一確定一個(gè)向量，故線性方程組與向量組構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因而線性方程組理論中的很多概念，如線性表示、線性相關(guān)、同解方程組、保留方程組、保留方程組中方程的個(gè)數(shù)等移植到向量組中去就產(chǎn)生了線性表示、線性相關(guān)、向量組等價(jià)、極大無(wú)關(guān)組、向量組的秩等概念.同時(shí)，在建立向量組理論的過(guò)程中還會(huì)反復(fù)地用到線性方程組的理論.向量組的理論形成后，就可以用它來(lái)解釋線性方程組通解的結(jié)構(gòu).

矩陣的特征值特征向量理論、二次型理論可以看成是線性方程組理論和前面已形成的矩陣?yán)碚?、向量組理論的應(yīng)用.

綜上所述，用線性方程組將線性代數(shù)中的其他經(jīng)典內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)有以下優(yōu)點(diǎn)：一是可使得原本相互獨(dú)立的知識(shí)模塊構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體，使整個(gè)內(nèi)容體系脈絡(luò)清晰;二是可使學(xué)生掌握線性代數(shù)處理問(wèn)題的思維和方法，掌握線性代數(shù)中的兩種重要語(yǔ)言——矩陣語(yǔ)言和向量語(yǔ)言;三是有利于進(jìn)行問(wèn)題式、研究式教學(xué).

2.暗線設(shè)計(jì)

將線性變換作為內(nèi)容體系的暗線是基于以下考慮：一是因?yàn)榫€性變換是線性代數(shù)這門(mén)學(xué)科的核心內(nèi)容之一;二是線性變換的矩陣形式在工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用;三是為了增加趣味性和直觀性.

在本內(nèi)容體系中，線性變換首次出現(xiàn)在用于引出矩陣概念的引例中，說(shuō)明線性變換與矩陣形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，線性變換的研究可轉(zhuǎn)化為矩陣的研究.

利用線性變換引出逆矩陣的概念，驗(yàn)證一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的逆矩陣，求逆矩陣.例如，利用線性變換求矩陣A=1-111的逆矩陣.矩陣A所確定的線性變換設(shè)為 y=Ax，則求逆矩陣即為求逆變換.在高等數(shù)學(xué)圖形系統(tǒng)MathGS中可以直觀地發(fā)現(xiàn)，線性變換y=Ax是先把原像x逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度然后放大一個(gè)倍數(shù)即得像y，因此只要能求出旋轉(zhuǎn)角和放大的倍數(shù)值即可求出逆變換.這兩個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)矩陣的簡(jiǎn)單運(yùn)算不難得到.因?yàn)锳=1-111= 2 22- 22 22 22= 200 2 22- 22 22 22= 200 2cos π4-sin π4sin π4cos π4，

所以，旋轉(zhuǎn)角為π4，放大倍數(shù)為 2，于是逆變換的矩陣即所求逆矩陣為

A-1=1 2001 2cos - π4-sin - π4sin - π4cos - π4=1212- 1212.

利用初等矩陣的理論來(lái)解釋計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖形變換只有對(duì)稱、伸縮和錯(cuò)切等三種基本變換，而其他任何可逆線性變換均可由這三種基本變換復(fù)合而成.

利用線性變換可直觀地引出矩陣特征值與特征向量的概念.事實(shí)上，矩陣特征值與特征向量正是數(shù)學(xué)家在研究線性變換時(shí)發(fā)現(xiàn)的.一般情況下，向量x在線性變換y=Ax下的像y的長(zhǎng)度和方向都會(huì)改變，而有些線性變換則存在一些特殊的向量，這些特殊向量在該線性變換下的像與原像共線，這兩條特殊的向量就是特征向量.

所以，利用線性變換引出特征值與特征向量的概念，既符合特征值理論的形成過(guò)程，也能使學(xué)生感覺(jué)是自己在發(fā)現(xiàn)知識(shí)，而不僅僅是在學(xué)習(xí)知識(shí).

二次型的研究本身就離不開(kāi)線性變換.為了說(shuō)明特征值特征向量的幾何意義，我們還增加了利用正交變換研究二次曲線和二次曲面兩個(gè)案例.

內(nèi)容體系暗線的設(shè)計(jì)有以下優(yōu)點(diǎn)：一是使內(nèi)容體系本身更加豐滿，二是使抽象的內(nèi)容直觀化，從而降低理解的難度，三是使理論和應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，增加了趣味性，四是使部分知識(shí)點(diǎn)更適合進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué).

基于以上思路，我們已編寫(xiě)了《線性代數(shù)及其應(yīng)用》教材，該教材已在高等教育出版社出版，并已成功入選國(guó)家“十二五”規(guī)劃教材.教材出版后得到了國(guó)內(nèi)相關(guān)專家的肯定，也得到了廣大師生的好評(píng)，包含該教材的教研成果2018年獲得國(guó)家教學(xué)成果二等獎(jiǎng).正是由于該教材得到了廣泛肯定，我們才有信心將我們的編寫(xiě)思路拿出來(lái)供大家參考，希望能起到拋磚引玉的作用，特別是希望能對(duì)廣大青年教師的線性代數(shù)課程教學(xué)有所幫助.

【參考文獻(xiàn)】

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